Reprenons mon exemple de recette : Je calcule mes ingrédients pour 8 personnes
Je peux mettre ces données dans un tableau :
Comment je passe de ma colonne de droite à ma colonne de gauche ?? En multipliant toutes les données par 2 Ou encore
Comment je passe de ma ligne de dessus à ma ligne de dessous ?? En multipliant toutes les données par 2 Les proportions sont respectées : j'en ai 2 fois plus
Comme dans mon
exemple : quels ingrédients pour 8 personnes
?? Je dirai que
mes ingrédients augmentent (ou diminuent
proportionnellement au nombre de
personnes)
6 personnes = 1,5 x 4 (6 ÷ 4 = 1,5 ) mes proportions pour 6 personnes seront donc 1,5 fois plus importantes que pour 4 personnes : je multiplierai donc toutes mes proportions par 1,5
Je viens ainsi de réaliser mes premiers tableaux de proportionnalités : Et voilà : les histoires de proportions, j'y suis confrontée tous les jours : dans ma cuisine, comme je viens de le voir, mais dans beaucoup d'autres situations encore ..... L'essentiel : bien se demander si mes valeurs sont ou non proportionnelles Règle : 2 valeurs sont proportionnelles si elles augmentent ou diminuent toujours de la même façon : En language mathématique : 2 valeurs sont proportionnelles si je les multiplie ou les divise toujours par le même nombre Réfléchissons : Mes valeurs sont-elles proportionnelles ? La taille et l'âge d'un individu ? NON : ces 2 valeurs n'ont pas de rapport entre elle : en effet, la taille n'augmente pas en fonction de l'âge et inversement : heureusement que la règle n'est pas de prendre 1 ou 2 ou 3 cm chaque fois que je prends un an !! Exemple : si mon espérance de vie
est de 80 ans, je mesurerais :
Le tableau doit respecter des règles de construction en fonction des données d'un énoncé Exercice
d'exemple :
De quoi me
parle-t-on dans mon problème ? Quelles sont les
valeurs qui semblent étroitement liées
??
Remarque : je n'oublie pas de mentionner l'unité considérée, lorsqu'il s'agit d'argent, de poids, de mesure .....
On me donne :
des valeurs nombre de cassettes achetées : 3 , 7 ,
10 et 12
Je sais que 3 cassettes coûtent 2,70 : ce sont ces 2 valeurs que je placerai dans ma 1ère colonne : c'est elle qui vont établir mon rapport de proportion Le rapport entre les 2 : je cherche comment je passe du nombre de cassette achetées au prix payé : en fait, ce sera ici en multipliant le nommbre de cassettes par le priix unitaire : Quel est ce prix unitaire ?? Et bien il est le résultat de 2,70 / 3 = 0,9 Je place donc à l'extérieur de mon tableau l'opération qui me permet de passer de haut en bas : multiplication par 0,9 Et inversement : de bas en haut : division par 0,9
0,9 s'appelle le coefficient de proportionnalité de mon tableau : c'est lui qui m'indique le rapport entre les 2 valeurs proportionnelles : c'est aussi ce nombre que je dois utiliser, en multiplication ou en divsion, pour passer d'une valeur à l'autre : je dois bien toujours indiquer au moyen d'une flèche le sens du rapport : si je multiplie de haut en bas (comme mon exemple) , je divise de bas en haut et inversement : Mon tableau est maintenant correctement structuré : il ne me reste plus qu'à y insérer les valeurs à chercher : je dois chercher le prix à payer pour 7 cassettes, 10 cassettes et 12 cassettes Je mets les valeurs dans mon tableau : à la ligne nombre de cassettes achetées, bien évidemment
Il ne me reste plus alors qu'à calculer le rapport de ces nombres avec le prix à payer, de la même façon que j'ai calculé le rapport entre les deux valeurs données par l'énoncé (3 et 2,70 ): je passe du nombre de cassettes à leur prix en multipliant pas 0,9 Donc : Si j'achète 7 cassettes, je paierai  7 x
0,90 = 6,3 Si j'achète 10 cassettes, je paierai 10
x 0,90 = 9 Et si j'achète 12 cassettes, je paierai 12
x 0,90 = 10,80 Mes calculs sont terminés : je peux remplir mon tableau
Mon tableau de proportionnalité est complété : grâce au calcul du coefficient de proportionnalité (rapport entre les 2 valeurs proportionnelles), j'ai pu trouvé facilement les valeurs que je cherchais
On peut me demander une seule équivalence dans un rapport donné : Dans ces cas là, j'ai 2 possibilités d'arriver au résultat de mon exercice : Exemple de problème :
J'y ajoute les valeurs données : 1 terrain de 1200m2 = 30000 ; 1 autre terrain de 900 m2 = ? La 1ère équivalence de valeurs va me permettre de trouver le coefficient de proportionnalité : Comment passer de 1200 à 30 000 ?? Et bien je dois multiplier par 25 (30 000 ÷ 1200 = 25) ; j'ajoute dans le tableau mon coefficient, en n'oubliant pas d'indiquer le sens de l'opération
Je peux ainsi trouver ma valeur manquante : il ne me reste qu'à multiplier aussi 900 par 25, pour trouver le prix du terrain en uros : 900 x 25 = 22500 Je complète mon tableau et fais une phrase de réponse à mon problème :
Le prix d'un terrain de 900 m2 est de 22500 uros 2/ Résolution pratique : par le produit en croix Une deuxième solution s'offre à moi : c'est la technique du produit en croix : souvenez-vous !! Nous avons vu cette technique lorsque nous avons traité de l'égalité de 2 fractions : "2 fractions sont égales si leur produit en croix sont égaux" : bien sûr si cette règle est sortie de ma mémoire, je peux aller faire un petit tour à la fiche correspondante : les fractions Et bien sachez que la proportionnalité adopte ce même principe :
Regardez plutôt : a/ 1 terrain de 1200m2 = 30000 1 première donneé = 1 premier rapport Et qu'est-ce qu'un rapport ?? Et bien c'est une fraction Je peux donc écrire le premier rapport :  b/ 1 terrain de 900m2 = ? 1 deuxième donnée = 1 deuxième rapport =  Et alors ?? Et bien je sais maintenant que puisque les 2 valeurs sont proportionnelles, tous les rapports de ces valeurs doivent être égaux : Je peux donc écrire :
doit être égal à Et pour que ces rapports (fractions) soient égaux il faut que leur produit en croix soient égaux 
Je peux donc écire : 30 000 x 900 = 1200 x ? 30000 x 900 = 27 000 000 27 000 000 = 1200 x ? ? =  ? = 22 500 Et voilà : 2 méthodes pour un même résultat : Cette deuxième solution est bien pratique lorsque je n'ai qu'une valeur à trouver (4è valeur) : vous verrez qu'on l'utilise beaucoup notamment avec les pourcentages, les échelles, les vitesses (voir ci-dessous) et notamment pour établir des règles de calcul sur les proportionnalités En effet également et certaines fois, le coefficient directeur peut être complexe (par exemple une fraction), et les calculs peuvent devenir compliqués : dans ce cas là le produit en croix est une technique plus simple à utiliser
Règle : La représentation graphique d'une série proportionelle est une droite qui passe par l'origine du repère : cela va nous servir par exemple lorsque nous aborderons le chapitre des fonctions : car c'est le principe même de la fonction linéaire Représentons par exemple graphiquement la série de l'exercice de tout à l'heure : Nombre de cassettes achetées / Prix payé en Une petite révision du repère s'impose ?? Alors, n'attendez pas !! Je prends comme échelle : Sur l'axe des abscisse = nombre de cassettes achetées : 1 graduation = 1 cassette Sur l'axe des ordonnées = prix payé en : 1 graduation = 2  Remarque : la représentation graphique d'une série peut m'aider inversement à dire si ma série est ou non proportionnelle : si c'est une droite qui passe par l'origine (point O) alors oui, les valeurs de ma série sont proportionnelles
La vitesse - Les échelles - Les pourcentages Ces 3 notions impliquent forcément des valeurs proportionnelles ; ce sont aussi des cas typiques de calcul d'une 4è valeur, comme expliqué ci-dessus : Elles font également partie intégrante de notre vie quotidienne : il faut donc les comprendre pour savoir les utiliser Comprenons ces notions : Elles font l'objet chacune d'une fiche particulière pour mieux les comprendre
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