Repères & Coordonnées

 

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Le repère ortho-normé


Qu'est-ce que c'est ?

C'est une partie du plan délimitée par 2 droites perpendiculaire orthogonal et normées : munies d'une norme

Comment ça marche ?

Le repère est tracé sur un quadrillage pour plus de facilité de lecture(quadrillage 5 x 5 mm)

Vocabulaire :

L'intersection des 2 droites perpendiculaires est appelée origine du repère : point O

les 2 droites perpendiculaires sont appelées axes :

axe des x ou axe des abcisses pour l'axe horizontal
axe des y ou axe des ordonnées pour l'axe vertical

Les vecteurs et représentent la norme : soit 2 carreaux soit 1 cm : c'est l'échelle de graduation des axes à partir du point d'origine O


Tracer un repère orthonormé tel que = = 1 cm revient à tracer deux droites perpendiculaires, ayant pour intersection le point O, qui devient l'origine du repère : la droite verticale sera toujours en y et représente l'axe des ordonnées ; la droite horizontale sera toujours en x et représente l'axe des abcisses: les 2 axes seront gradués selon l'échelle de la norme représentée par les vecteurs et. Ici la norme est de 1 cm :

Le point i du vecteur sera toujours placé sur l'axe des abcisses

Le point j du vecteur sera toujours placé sur l'axe des ordonnées

Principe de graduation : les 2 axes seront gradués tous les 1 cm (ou 2 carreaux) à partir de l'origine O qui représente pour chacun des 2 axes respectifs la valeur zéro (0)

Graduation de l'axe des abcisses (x) :

à droite du 0 les nombres positifs : + 1 à chaque graduation
à gauche du 0 : les nombres négatifs : - 1 à chaque graduation

Graduation de l'axe des ordonnées (y) :

au dessus du 0 les nombres positifs : + 1 à chaque graduation
en dessous du 0 : les nombres négatifs : - 1 à chaque graduation

Le repère ainsi tracé et gradué va me permettre d'établir un système de coordonnées de points.


Les coordonnées de points


Je vais partir du principe que tout point placé dans le repère que je viens de tracer aura une valeur sur l'axe des abscisses comme sur l'axe des ordonnées : je vais dire que mon point aura 2 coordonnéés :

une valeur x et une valeur y

Soit un point A : ses coordonnées seront notées ainsi : A ( x ; y )

Comment établir les coordonnées d'un point ?

1. Je place un point dans mon repère : je me sers des carreaux

2. Je lis ses coordonnées : comment ?

  • sa valeur x sera la valeur du point de rencontre de la droite passant par A et perpendiculaire à l'axe des abscisses
  • sa valeur y sera la valeur du point de rencontre de la droite passant par A et perpendiculaire à l'axe des ordonnées
    Cela a l'air compliqué au 1er abord, mais vous allez voir, c'est en fait très simple :

    Je trace les 2 droites passant par A et respectivement perpendiculaires à l'axe des abcisses et à l'axe des ordonnées: ici, à nouveau les carreaux me sonr d'une grande aide : je n'ai qu'à suivre les lignes, puisque le quadrillage impose déjà l'orthogonalité.
     
      Il ne me reste plus ensuite qu'à lire la valeur des intersections de ces droites avec les 2 axes de mon repère :

    • Sur l'axe des abscisses, la droite rencontre l'axe à sa 2è graduation à droite de 0, donc à la graduation 2 :
        j'écris x = 2
    • Sur l'axe des ordonnées, la droite rencontre l'axe à sa 2è graduation au dessus de 0, donc à la graduation 2
        j'écris y = 2
    • Si j'ai compris que n'importe quel point du repère a pour coordonnées une valeur de x et une valeur de y, je peux dire que mon point A a pour coordonnées :
        x = 2 ; y = 2


      Je peux écrire : A (2 ; 2) : j'ai déterminé les coordonnées de mon point A : facile non ??


      NB : on peut aussi me demander (et on me le demandera souvent d'ailleurs), de placer des points dans un repère, conformément à leurs coordonnées.


      Exemple : placer les points A, B et C tels que A ( 3 ; 1) B (0 ; -1) C ( 2 ; 0)

      La démarche est exactement la même que pour la lecture de coordonnées mais à l'inverse :

      N'importe quel point à placer dans un repère, sera le résultat de l'intersection des 2 droites respectivement perpendiculaires à l'axe des abscisses en un x donné, et perpendiculaire à l'axe des ordonnées, en un y donné.


      Prenons l'exemple du point A : il a comme n'importe quel autre point et par définition, des coordonnées x et y : A ( x ; y )

      D'après les informations que l'on me donne en énoncé, je lis que ce point A doit avoir pour coordonnées x = 3 et y = 1

      Comme tout à l'heure, je vais tirer grâce au quadrillage mes droites perpendiculaires respectivement aux deux axes, mais cette fois-ci je pars de 2 points de ces axes :

    Explications :

    Sur l'axe des abcisses, je me place à la graduation 3 , et tire la droite issue de ce point en suivant les lignes du quadrillage

    Sur l'axe des ordonnées, je me place à la graduation 1 , et tire la droite issue de ce point en suivant les lignes du quadrillage.

    L'intersection de ces 2 droites ainsi tracées sera mon point A : je peux le vérifier en faisant la lecture de ses coordonnées (comme ci-dessus) : Mon point A a bien pour coordonnées : x = 3 et y = 1 A ( 3 ; 1 )
    Je vais par conséquent placer les points B et C de la même façon.

    ATTENTION : particularité de leurs coordonnées :

    Le point B a pour coordonnées x = 0
    Le point C a pour coordonnées y = 0


    Qu'entraîne cette particularité
    ?

  • Et bien simplement que le point B va être placé sur l'axe des ordonnées au point de graduation :
      y = -1
  • Et que le point C va être placé sur l'axe des abscisses au point de graduation :
      x = 2


    Je retiens ces 2 conditions particulières de placement des points :


    Si un point a pour coordonnée x = 0, il sera placé sur l'axe des ordonnées à la valeur donnée de y
    Si un point a pour coordonnée y = 0, il sera placé sur l'axe des abscisses à la valeur donnée de x

     
      Maintenant que je sais placer n'importe quel point dans un repère, je vais voir la fiche suivante, qui concerne l'utilisation de ces coordonnées de points dans des calculs : fiche suivante

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