LES ECHELLES

Une échelle : qu'est-ce que c'est ?

On retrouve les échelles en géographie, sur des plans, des dessins, des cartes : une échelle sert à retranscrire des dimensions réelles en dimensions que l'on peut reproduire et mesurer sur le papier

Exemples : cette carte routière est à l'échelle 1/100 000è (se lit : un millionnième) - construire la figure à l'échelle 1/20è (se lit un vingtième) etc....

Que veulent dire 1/1 000 000 ? ; 1/20 ?

Et bien simplement que :

1/1 000 000 1 cm sur le dessin, représente 1 000 000 centimètres dans la réalité (c'est à dire 10 Km)
1/20 1 cm sur le dessin, représente 20 cm dans la réalité etc.....

Remarque : regardez les mesures dessin/réalité : elles seront toujours exprimées dans la même unité de mesure : j'aurais également pu choisir le mètre, le kilomètre etc.....l'unité qui me convient le mieux, pourvu que ce soit la même dessin/rélaité

Les 2 valeurs, mesure sur le dessin et mesure dans la réalité sont proportionnelles :

En effet, si mon dessin mesure 2 cm, il représentera alors 2 000 000 cm (2 km) dans la réalité à l'échelle 1/1 000 000 ( 2 x 1 000 000), 40 cm à l'échelle 1/20 etc. ( 2 x 20).....etc....

J'ai ici le rapport entre des dimensions sur le dessin et des dimensions réelles : c'est une histoire de proportions (agrandissement ou réduction)

Je peux faire ainsi le tableau de proportionnalité suivant :

Pour une échelle de 1/1 000 000



x 106	dimensions sur le dessin en cm	1
	dimensions réelles en cm	1 000 000				÷ 106


J'ai retranscris la signification de mon échelle (1/1000 000è = 1 centimètre sur le dessin représente 1 000 000 centimètres dans la réalité) : j'ai ensuite calculé le rapport entre les 2 (comment je passe de ma valeur 1 à ma valeur 1 000 000 ?? en multipliant par 1000 000 ; et en divisant par 1 000 000 dans le sens contraire ; 1 000 0000 = 10⁶)

Pour une échelle de 1/20



x 20	dimensions sur le dessin en cm	1
	dimensions réelles en cm	20				÷ 20


Même chose que précédemment, en remplaçant la valeur 1 000 000 par la valeur 20




A quoi peuvent me servir ces tableaux ?


Et bien pour une échelle donnée, je peux :

1/ Calculer des dimensions sur le dessin afin de pouvoir par exemple faire une figure à l'échelle
2/ Inversement calculer des dimensions réelles, par rapport à un dessin

Ou alors : pour des dimensions dessin/réalité données, calculer une échelle


Exemples :

Cas N° 1 :

[Une poutre mesure 1,75 m : quelle sera sa mesure à l'échelle 1/20 ?]


Je reprends mon tableau de l'échelle 1/20, et y note cette fois une nouvelle mesure réelle :



x 20	dimensions sur le dessin en cm	1	?
	dimensions réelles en cm	20	175	÷ 20


ATTENTION : je fais bien attention de convertir 1,75 m en cm
1,75 m = 175 cm

Je dois passer de la ligne du bas à celle du haut : je divise alors par 20
175 ÷ 20 = 8,75

ou encore avec le produit en croix puisque je cherche une 4è valeur :

1 x 175 = 20 x ?
1 x 175 = 175
175 ÷ 20 = ?
? = 8,75

Je mets le résultat de mon calcul dans le tableau :



x 20	dimensions sur le dessin en cm	1	35
	dimensions réelles en cm	20	175	÷ 20


Je fais une phrase de réponse :
"A l'échelle 1/20, la poutre mesure 8,5 cm"

On peut aussi trouver des énoncés de type :

[On donne ABCD un rectangle avec les dimensions suivantes : Longueur : 86 cm - largeur : 60 cm
Afin de pouvoir le représenter sur la feuille, on le dessinera à l'échelle 1/20 : faire le dessin aux dimensions ainsi réduites :
Il me faut donc pour cela calculer les 2 dimensions à l'échelle (longueur et largeur)]

A vous de jouer ....


Cas N° 2 :

[Sur la carte routière, la distance entre 2 villes est représentée par un segment de 8 cm : l'échelle de la carte est 1/1000 000è : calculer la distance en kilomètres entre ces 2 villes]


Je reprends mon tableau de l'échelle 1/1000 000, et y note cette fois une nouvelle mesure de dessin :



x 106	dimensions sur le dessin en cm	1	8
	dimensions réelles en cm	1 000 000	?	÷ 106


Je dois passer de la ligne du haut à celle du bas : je multiplie alors par 1 million
8 x 1 000 000 = 8 000 000

ou encore avec le produit en croix puisque je cherche une 4è valeur :

1 x ? = 8 x 1 000 000
8 x 1 000 000 = 8 000 000
8 000 000 ÷ 1 = ?
? = 8 000 000

Je mets le résultat de mon calcul dans le tableau :



x 106	dimensions sur le dessin en cm	1	8
	dimensions réelles en cm	1 000 000	8 000 000	÷ 106


Puisque mon échelle est exprimée en cm, mes dimensions de dessin également j'obtiens un résultat en cm : or, on me demande le résultat en km : je dois donc convertir les cm en km
8 000 000 cm = 80 Km

Je fais une phrase de réponse :
"La distance sur la carte représente une distance réelle de 80 Km"


On peut aussi trouver des énoncés de type :

[Voici une figure rectangulaire représentée à l'échelle 1/20è : calculer son aire en dimension réelle]:



Je n'ai pas d'autre indication que le dessin pour calculer les dimensions réelles de la figure : je devrai donc d'abord mesurer à l'aide de ma règle graduée, les dimensions de la figure sur le dessin, pour ensuite les convertir en dimensions réelles grâce à mon tableau de proportionnalité
Après avoir obtenu les dimensions réelles de mon rectangle, il ne me sera alors pas difficile de calculer son aire :
Encore faut-il que je me rappelle de la formule de calcul de l'aire d'un rectangle :
Sinon,je n'hésite pas à revoir la fiche sur les aires (partie géométrie)


Cas N° 3 :


[Je mesure cette poutre : elle mesure 1,75 m : je regarde sa représentation sur le schéma de construction : elle est représentée par un schéma de 8,75 cm : quelle est l'échelle du schéma ??]


Je reprends mon tableau et y note les informations données par l'énoncé : 1,75 m en réalité est représenté par 8,75 cm sur le dessin : cette fois-ci je ne connais pas l'échelle

1,75 m = 175 cm



dimensions sur le dessin en cm	8,75
dimensions réelles en cm	175


Différence avec les autres tableaux ?
Cette fois-ci, je n'ai plus d'échelle de référence : comment alors trouver mon échelle ?

Et bien je sais que l'échelle est toujours exprimée sous la forme :

1/n

Qqu'est-ce que cela veut dire ?? Et bien que l'échelle ramène toujours les proportions à 1 (cm, m, dm, km etc....) sur le dessin : je peux donc remplir ma case dimensions sur le dessin = 1 ; je devrai alors trouver son équivalent n en dimensions réelles :



dimensions sur le dessin en cm	8,75	1
dimensions réelles en cm	175	?

Dans ce cas, la méthode la plus rapide de résolution est le produit en croix :
1 x 175 = 8,75 x ?
1 x 175 = 175
? = 175 ÷ 8,75
? = 20

Je mets ma valeur dans le tableau :



dimensions sur le dessin en cm	8,75	1
dimensions réelles en cm	175	20



Je viens d'écrire que 1 cm sur le dessin représente 20 cm dans la réalité : c'est donc par définition la signification même d'une échelle : le dessin de ma poutre a été réalisé à l'échelle 1/20 (se lit 1 vingtième)

Rien de plus normal : si vous avez bien suivi l'explication, le problème a déjà été résolu en sens inverse ci-dessus !!



Pour aller plus vite.....


Et si et seulement si j'ai bien compris la notion d'échelle :

En regardant bien tous les calculs réalisés dans les différents cas d'échelles, grâce aux produits en croix et en enlevant la valeur 1 pour arriver au calcul final, je peux extraire des formules toutes faites, qui m'évitent le tableau de proportionnalité : mais je dois pour cela avoir parfaitement compris le principe de la proportion :

1. J'ai une échelle 1/n et une dimension réelle : je dois calculer les dimensions sur le dessin :

La représentation sur le dessin sera n fois plus petite que la réalité :

Je dois donc diviser toutes les dimensions réelles par n


Exemples :

• échelle 1/20 : le dessin sera 20 fois plus petit que la réalité : toutes les dimensions réelles seront divisées par 20
  
• échelle 1/1 000 000 : le dessin sera 1 000 000 de fois plus petit que la réalité : toutes les dimensions réelles seront divisées par 1 000 000

etc.....

ATTENTION : Ce calcul n'est possible que si l'unité de mesure est la même entre les dimensions réelles et les dimensions sur le dessin

 

2. J'ai une échelle 1/n et une dimension sur le dessin : je dois calculer une dimension réelle :

La dimension réelle sera inversement n fois plus grande que le dessin :

Je dois donc multiplier toutes les dimensions du dessin par n


Exemples :

• échelle 1/20 : la réalité sera 20 fois plus grande que le dessin : toutes les dimensions du dessin seront multipliées par 20
  
• échelle 1/1 000 000 : la réalité sera 1 000 000 fois plus grande que le dessin : toutes les dimensions du dessin seront multipliées par 1 000 000 etc.....
  

Attention également : l'unité de mesure des dimensions réelles sera la même que l'unité retenue pour les dimensions sur le dessin

 

3.Et enfin : J'ai une dimension réelle et son équivalent sur le dessin : je dois calculer une échelle :

L'échelle sera égale à 1/ n avec :

n = rapport entre dimension réelle et dimension sur le dessin ; c'est à dire
n = dimension réelle divisée par dimension sur le dessin


Exemple : échelle 1/20 obtenue par la division de 175 (dim. réelle) et de 8,5 (dim. sur le dessin) dans le précédent exercice

Une fois encore ce calcul n'est possible que si l'unité de mesure est la même entre les dimensions réelles et le dessin
Attention donc aux unité des mesures : lorque les mesures sont exprimées dans des unités différentes, je devrai les convertir :
Rappel du tableau de conversion : voir fiche la vitesse




Cas particulier : les échelles d'agrandissement



Exemple : "échelle 3/1" (se lit : échelle 3 sur un)

La proportion est conservée : le 1er chiffre 3 indique toujours les dimensions sur le dessin ; le deuxième, 1, indique toujours la dimension correspondante dans la réalité :

Cette échelle signifie donc que :

3 cm sur le dessin représentent 1 cm dans la réalité :

L'objet est donc reproduit 3 fois plus grand que l'original = c'est une échelle d'agrandissement des proportions : en effet, alors , l'objet par exemple est si petit dans la réalité que même reproduit en dimensions réelles, sa représentation sur le dessin ne serait pas significative : il faut donc le grossir


Dans la recherche de l'échelle par rapport à des dimensions données, c'est donc cette fois une échelle exprimée sous la forme n/1, que je devrai trouver : l'échelle en agrandissement, ramène toujours également à la valeur 1, (cm, m, dm, km etc....) ......mais, dans la réalité cette fois

Exemple d'exercice :

[La tête de cette épingle mesure 2 mm : sur le dessin elle est représentée par un segment de 4 cm : quelle est l'échelle du dessin ??]

J'ai un millimètre dans la réalité pour 4 centimètres sur le dessin : mes unités ne sont pas les mêmes : je mets donc tout en millimètre

4 cm = 40 mm

Je fais mon tableau de proportionnalité :



dimensions sur le dessin en mm	40	?
dimensions réelles en mm	2	1



Je recherche alors la dimension sur le dessin pour une dimension réelle de 1 mm (unité de l'échelle) :
Mon calcul revient en fait, grâce au produit en croix, à diviser ma dimension du dessin par son équivalent en dimension réelle :
1 x 40 = 2 x ?
1 x 40 = 40
40 = 2 x ?
? = 40 ÷ 2 = 20

Mon calcul revient en fait, grâce au produit en croix, à diviser ma dimension du dessin par son équivalent en dimension réelle : 40 ÷ 2 = 20

Pour une dimension de 1 mm en réalité, j'obtiens un dessin de 20 millimètre : mon dessin est en en fait 20 fois plus grand que la réalité : Mon dessin est à l'échelle d'agrandissement 20/1 (se lit : 20 sur 1)