Une fraction sert
aussi pour exprimer une part de quelque
chose, au même titre que les
pourcentages :
Exemple : Mon potager occupe les trois quarts de mon
terrain qui mesure 80 ares (se traduit en language
mathématique par )
Cela revient à dire que je
découpe mon terrain en 4 parties, et que mon
potager occupe 3 parties sur les 4, soit :
( 240 ÷ 4 = 60 )
Pincipe
général :
1/2 : je prends
une
moitié de mon total (se lit 1 demi) ; Je
divisise mon total par 2 et multiplie par 1
2/3 : je prends
2 parts de mon total sur 3 (se lit deux tiers) - Je divise
mon total par 3 et multiplie par 2
3/4 : je prends
3 parts de mon total sur 4 (se lit trois quarts) - Je divise
mon total par 4 et multiplie par 3
4/5 : je prends
4 parts de mon total sur 5 (se lit quatre cinquièmes)
- Je divise mon total par 5 et multiplie par 4
etc......
Je peux aussi écrire : =
0,75 ( 3 ÷ 4 = 0,75 )
80 0,75 = 60 : j'obtiens bien le
même résultat
Il est important de bien comprendre ce qu'est une
fraction, de façon à pouvoir
l'interpréter, la calculer ou la remplacer dans
tous les cas
J'apprends
maintenant les propriétés des fractions
:
Conformément aux propriétés de
division des nombres relatifs (voir rubrique), et puisque une fraction est une
division de nombres, je peux écrire les 2
propriétés suivantes:
Propriété N° 1 : ou
Propriété N° 2 :
Cette
propriété des produits en croix va me
servir chaque fois que je dois comparer 2 fractions. Elle
me servira aussi pour trouver deux fractions
égales (dans le théorème de
Thalès en géométrie
notamment)
NB : pour comparer 2 fractions je
peux aussi simplifier la plus grande (voir ci-dessous
pour la méthode de simplification) :
est bien égal à
Simplification d'une
fraction
|
J'apprends la
règle :
Règle : Je peux
simplifier une fraction si je peux
diviser le
numérateur et le dénominateur par
un même nombre, selon la
propriété suivante :
|
Cette
propriété me dit 2
choses :
- Pour
pouvoir simplifier une fraction, je dois d'abord
décomposer le numérateur et le
dénominateur en une multiplication de
nombres
- Si je fais
apparaître un nombre commun, je peux simplifier
(c'est à dire diviser) le numérateur et
le dénominateur par ce nombre
Exercice : Est-ce que je peux
simplifier la fraction : ?
(c'est-à-dire, est-ce que je peux diviser le
numérateur et le dénominateur par un
même nombre ?)
1ère
étape :
Je dois décomposer 121 et 363 en multiplications de
nombres
Pour m'aider, je peux utiliser la propriété
des multiples que je connais :
- Je sais
qu'un nombre se divise par 2, s'il se termine par 2,
4, 6, 8 ou 0
- Je sais
qu'un nombre se divise par 3 si la somme de ses termes
se divise par 3
- Je sais
qu'un nombre se divise par 5 s'il se termine par 5 ou
0
- Je sais
qu'un nombre se divise par 10 s'il se termine par
0
- Je sais
qu'un nombre se divise par 11 si :
Quand c'est
un nombre à 2 chiffres, les deux chiffres
sont identiques
Quand c'est un nombre à 3 chiffres, le
chiffre du milieu est la somme des 2 autres
- Je sais que
7, 13,19, 23 sont des nombres premiers : ils ne sse
divise par rien d'autre que eux mêmes
A la lumière de cette propriété je
regarde mes 2 nombres :
Je vois que 363 peut se diviser par 3 :
363 = 3 121
Eh, c'est
magique ! cela veut dire que 363 peut également se
diviser par 121
Je vais pouvoir
écrire :
Je vois
bien que ma fraction va se simplifier par 121 (puisque
121 est commun au numérateur et au
dénominateur), par contre mon numérateur
n'est pas sous la forme de nombres multipliés
Comment faire ?
Je réfléchis : 121, n'est-ce pas 121
1 ??? Youpi ! J'ai ma
simplification.......
2ère
étape :
Une fois
que j'ai trouvé le diviseur de ma fraction, je
dois écrire sa forme simplifiée
Si je divise la
fraction par 121, que me reste-t-il ?
Au numérateur ? Il me reste 1
Au dénominateur ? Il me reste 3
Ma fraction
simplifiée sera donc
|
Remarque
: On me
demandera toujours de simplifier les fractions sous leur
forme irréductible (c'est-à dire
simplification maximum) : la règle veut que tant
que je trouve des diviseurs communs au numérateur
et au dénominateur, je peux continuer ma
simplification :
Concernant ma
fraction , par exemple, j'aurais très bien pu
partir sur la décomposition suivante :
Je vois,
conformément à la propriété
des multiples, que mes 2 nombres peuvent se diviser par
11 (nombres à 3 chiffres, dont le chiffre du
milieu est égal à la somme des 2 autres)
:
121 = 11
11
363 = 33 11
J'aurais alors
pu écrire : = ,
et simplifier de ce fait ma fraction par 11
Fraction simplifiée :
ATTENTION :
la fraction n'a pas été simplifiée
au maximum : Je vois que 11 et 33 peuvent à
nouveau se diviser par 11 ( les deux chiffres sont
identiques ) :
11 = 11
1
33 = 11 3
De nouveau,
j'aurais pu écrire :,
et simplifier à nouveau ma fraction par 11
Fraction simplifiée :
Eh, mon résultat est le même que plus haut :
2 méthodes, un même résultat !!!!
Décidément les mathématiques, c'est
de plus en plus magique
3ème
étape :
Je dois quand même vérifier que je ne peux
plus du tout simplifier ma fraction pour la mettre
éventuellement sous la forme d'un nombre entier
:
Je regarde si je peux encore simplifier
1= 1
1
3= 3 1
Si je simplifie les deux termes par 1,
j'obtiendrai toujours ; ma fraction ne peut
plus se simplifier
Je vérifie enfin que 1 sur 3 ne me
donne pas un nombre entier, par la division : 1
÷ 3 =
0,3333333.......
Effectivement, la division ne se termine pas : je
conserve le nombre sous sa forme fractionnaire :
est la forme
irréductible de la fraction
L'algorithme d'Euclide : une
méthode rapide et efficace pour calculer le PGCD
de 2 nombres, et simplifier une fraction :
Qu'est-ce que le PGCD de 2 nombres ? C'est
le plus grand commun
diviseur. Je viens de voir que chaque fois que je
veux simplifier une fraction, je dois chercher à
diviser le numérateur et le dénominateur
par un même nombre : l'algorithme d'Euclide va donc
me permettre de trouver un diviseur commun à mon
numérateur et à mon dénominateur.
Bien pratique n'est-ce pas ? Le plus du PGCD ? Et bien,
c'est le plus grand diviseur commun à 2 nombres.
Pour la simplification d'une fraction, diviser le
numérateur et le dénominateur par leur
PGCD, me permet d'être sûre à 100 %
que ma fraction est simplifiée au maximum (mise
sous sa forme irréductible)
Cela vaut la
peine d'apprendre à calculer le PGCD de 2
nombres par l'algorithme d'Euclide, vous ne trouvez
pas ?
Le principe de
l'algorithme d'Euclide est simple : il est basé
sur le principe de la division :
Méthode
de l'algorithme d'Euclide
Je divise entre eux les 2
nombres dont je recherche le PGCD : le résultat
de ma division me donne un quotient, et un reste :
tant
que le reste n'est pas égal à 0, je vais
continuer à faire des divisions.
Quelles divisions ? Je vais
faire les divisions successives des diviseurs (qui
deviennent dividendes) et des restes (qui deviennent
diviseurs) des divisions précédentes
(voir l'exercice d'exemple pour mieux comprendre), et
ce jusqu'à ce que le reste de ma division soit
égal à 0.
Que se passe-t-il lorsque le reste de ma
division est égal à 0 ? Cela signifie
que j'ai trouvé le PGCD de mes 2 nombres ; quel
est le PGCD de mes 2 nombres ? C'est le dernier
diviseur que j'ai utilisé, et qui m'a permis
d'avoir un reste égal à 0. Et
voilà : regarder bien l'exercice d'exemple pour
photographier la méthode : après, c'est
toujours pareil !
Une règle à savoir : Lorsque le PGCD de
2 nombres est égal à 1, cela signifie
que ma fraction est irréductible
(c'est-à dire je n'ai pas d'autre diviseur
commun à mes 2 nombres que 1 = donc ma fraction
ne change pas).
Exercice d'exemple :
Ecrire sous la forme d'une fraction
irréductible.
Méthode : Je cherche le PGCD des nombres 3575
et 2730 par l'algorithme d'Euclide :
Concrètement, qu'est-ce que cela
signifie ? que 65 est le
diviseur commun à 3575 et 2730 pour rendre ma
fraction irréductible (simplification
maximale)
Je regarde : si je divise 3575 par 65,
j'obtiens 55 ; si je divise 2730 par 65 j'obtiens
42
65 est donc bien un diviseur commun
à 3575 et 2730 ; je peux écrire :
=
Si je suis le raisonnement, puisque j'ai
divisé le numérateur et le
dénominateur par leur plus grand diviseur commun
(PGCD), la fraction , doit être la
forme irréductible de la fraction
Je vais quand même vérifier que 55 et 42 ne
peuvent plus se simplifier. Comment ? Toujours avec
l'algorithme d'Euclide, "une fraction est
irréductible, si le PGCD du numérateur et
du dénominateur est égal à 1 " :
Mon reste
est égal à 0 : j'ai le PGCD de 3575 et
2730 : c'est mon dernier diviseur, soit 1
Le PGCD de 55 et de 42 est égal
à 1 ; cela veut donc dire que ma fraction est irréductible
Remarque : Je suis obligée de
connaître ce qu'est le PGCD de 2 nombres, et
comment le calculer, car il fait l'objet d'exercices, et
notamment dans certains sujets de brevets. Pour certains,
il peut également être une méthode
plus rapide et surtout plus sûre que la recherche
de multiples commun, pour mettre une fraction sous sa
forme irréductible. Si par exemple j'avais
tenté de faire la décomposition de ma
fraction en multiples , j'aurais trouvé :
Et voilà, je retombe sur =
;
mais je ne suis pas sûre encore que ma fraction est
irréductible ; avec le PGCD au moins, c'est
garanti !! Mais bon, c'est à chacun de choisir sa
méthode de simplification !!
Calculs
avec des fractions
|
Les fractions correspondent à des nombres : elles
peuvent donc être soumises aux opérations
habituelles : je dois respecter les règles de
calcul que j'ai apprises dans la rubrique propriété des
opérations, et les appliquer aux
propriétés de calcul des fractions, comme
ci-dessous :
1/ Addition et soustraction
1ère propriété
: je ne peux pas additionner ou de
soustraire des fractions avec des termes en ( ou y,a, t...) ou
avec des racines carrées.
2ème
propriété :
Par
contre, je peux additionner ou soustraire des fractions
entre elles, et/ou avec des nombres (entiers ou
décimaux). Pour cela, je dois appliquer la
propriété suivante
Pour additionner ou
soustraire des fractions, je dois
- D'abord les mettre
sous le même
dénominateur ;
- Ensuite transformer
les
numérateurs de la même
façon que j'ai transformé
les dénominateurs
- Enfin additionner ou
soustraire les numérateurs entre
eux
|
Comment mettre des fractions (et des
nombres entiers) sous le même dénominateur
?
Méthode : Pour mettre des
fractions (et des nombres) sous le même
dénominateur, je dois chercher le 1er
dénominateur commun à tous mes termes,
c'est à dire leur plus petit multiple
commun
Exercice : calculer :
1ère
étape : Je dois mettre mes fractions
(et mon nombre entier) sous le même
dénominateur :
Rappel : un nombre (entier ou décimal) correspond
à une fraction avec 1 au dénominateur (voir
plus haut)
Quels sont les
dénominateurs des termes de mon opération
?
8 ; 2 ; 4 et 1
Quel est le
1er
multiple commun à ces 4 nombres ?
Réponse : 8
Je
vérifie : 8 est
effectivement un multiple de 8 (8 1), de 2 (2
4), de 4 (4
2) et de
1 (1 8)
Mon dénominateur commun sera donc
8
2ème
étape : J'ai mon dénominateur :
je m'occupe maintenant des numérateurs. Que
deviennent-ils ?
Je les multiplie de la même
façon que j'ai multitplié les
dénominateurs :
Je regarde chacun de mes termes:
- : Pour faire 8,
j'ai multiplié le dénominateur par 1 - je
multiplie donc le numérateur par 1
Résultat : ma fraction ne change
pas :
- : Pour faire 8, j'ai multiplié le
dénominateur par 4 - je multiplie donc le
numérateur par 4 : 6 4 = 24
Résultat : ma fraction se
transforme en
- : Pour faire 8, j'ai multiplié le
dénominateur par 2 - je multiplie donc le
numérateur par 2 : 2 2 = 4
Résultat : ma fraction se
transforme en
- : Pour faire 8, j'ai multiplié le
dénominateur par 8 - je multiplie donc le
numérateur par 8 : 3 8 = 24
Résultat : ma fraction se
transforme en
3ème
étape : j'ai maintenant mon
dénominateur commun, et mes numérateurs
modifiés : je peux réécrire mon
opération :
Les
numérateurs s'additionnent ou se soustraient entre
eux, conformément aux
différentes règles qui régissent
l'addition et la soustaction ; attention notamment
à respecter les règles de chacun des
termes, en cas de présence de termes de nature
différente.
3 + 24 - 4 + 24 =
47
=
Résultat de mon opération :
4ème
étape : ma dernière étape
sera de mettre mon résultat sous la sa forme
irréductible : je cherche donc à simplifier
au
maximum :
8 se divise par 2 ou 4, par contre 47 est
un nombre premier (il ne se divise que par
lui-même)
Je ne peux donc pas simplifier ; mon
résultat sera donc
Je vérifie tout de même que 47 sur 8 ne me
donne pas un nombre entier, par la division :
47 ÷ 8 = 5,875
A moins qu'on ne me demande de donner le résultat
sous la forme d'un nombre décimal, je conserve le
nombre sous sa forme fractionnaire :
est la forme
irréductible du résultat de mon
opération
NB :
Comment trouver facilement le
dénominateur commun à plusieurs fractions
(c'est-à-dire le plus petit multiple commun)
?
Cas N° 1 : je cherche le
dénominateur commun à ;
et
Il n'y a rien de commun entre 4, 3 et 5 :
le plus petit multiple commun à
ces 3 nombres sera le résultat de leur
multiplication : 4 3 5 =
60
Cas N° 2 : je cherche le
dénominateur commun à ;
et
Il n'y a rien de commun entre 4, et 3 : je les
multiplie entre eux : 4 3 =
12
Par contre 8 = 4 x 2 ; je vois que j'ai
déjà pris en compte le 4 dans mon calcul :
je ne le prend pas en compte deux fois :
le plus petit multiple commun à
ces 3 nombres sera le résultat de
: 4 3 2 =
24
Facile non ???
2/ Multiplication
1ère propriété
: je ne peux pas multiplier des
fractions avec des termes en ( ou y,a, t...) ou avec des racines
carrées. Par contre, grâce à la
propriété de la multiplication je peux les
associer et ma fraction prendra la nature du terme en x
ou de la racine carrée :
=
;
2 = 2
Nature des résultats :
est un terme en
2 est une racine carrée
Pour tout
calcul avec ces 2 nombres, on utilisera respectivement
les propriétés des termes en et des racines carrées
2ème
propriété :
Par
contre je peux facilement multiplier deux fractions entre
elles ou avec un nombre (entier ou décimal). La
règle est simple :
Pour multiplier deux
fractions entre elles ou avec un nombre, il me
suffit de multiplier les numérateurs et
les dénominateurs entre eux,
conformément aux différentes
règles de multiplication
|
Exercice : Calculer 3
1ère étape : j'applique la règle de
multiplication des fractions (les numérateurs et
les dénominateurs se multiplient entre eux) :
Rappel :
Je peux
écrire :
3 =
10 3 2 3 = 180
5 8 3 = 120
3 =
2ème
étape : Je mets mon
résultat sous la forme d'une fraction
irréductible (je simplifie ma fraction au maximum)
:
180 et 120 sont deux multiples de 10 :
180 = 18 10
120 = 12 10
Si je simplifie ma fraction par 2
j'obtiens =
Est-ce que je peux encore simplifier
?
Oui : 18 et 12 sont deux multiples de 6 :
18 = 3 6
12 = 2 6
Si je simplifie ma fraction par 2
j'obtiens =
Je ne peux plus simplifier
Je vérifie tout de même que 3 sur 2 ne me
donne pas un nombre entier, par la division :
3 ÷ 2 = 1,5
A moins qu'on ne me demande de donner le résultat
sous la forme d'un nombre décimal, je conserve le
nombre sous sa forme fractionnaire :
est la forme
irréductible du résultat de ma
multiplication
Remarque :
Vu que les numérateurs et les
dénominateurs se multiplient entre eux, je me
retrouve en situation de multiplication de nombres
(conformément à la règle de
simplification voir ci-dessus). Par conséquent, je
peux (et j'ai même intérêt) simplifier
au maximum ma multiplication avant de la calculer
Reprenons mon
exercice de multiplication :
J'ai
intérêt à simplifier ma fraction
avant de la calculer :
Je décompose au maximum mon numérateur et
mon dénominateur :
10 = 5 2
8 = 4 2
4 = 2 2
Le
résultat de ma multiplication est donc (ou
1,5 si on me demande le résultat en nombre
décimal)
Eh, c'est le même que tout à l'heure, et
sans faire le moindre calcul : j'ai tout de même
intérêt à simplifier ma
multiplication avant de la calculer non ???
3/ Division
1 seule
règle à connaître pour tous les cas
de figure :
Diviser une fraction par
un nombre (ou une autre fraction), c'est
multiplier la fraction
par l'inverse de ce nombre (ou de cette
fraction)
|
La division de fractions revient donc à faire une
multiplication (voir ci-dessus)
La difficulté : comprendre ce qu'est l'inverse
d'un nombre
Quelques
exemples :
Inverse de 3 =
Inverse de - = -
etc....
Attention : il ne faut surtout
pas confondre inverse d'un nombre et opposé d'un
nombre (rubrique les nombres relatifs), comme cela arrive
souvent. Au niveau des signes, l'inverse conserve le
même signe que le nombre
Exercice :
a/ calculer : / 3 (on trouve aussi
l'écriture : )
J'applique la propriété de la division
:
Inverse de 3 = =
Comme dans les exemples ci-dessus,
j'applique la priorité de la multiplication de
fractions (avec décomposition maximum du
numérateur et du dénominateur ) :
Je simplifie
maintenant par tous les termes communs au
numérateur et au dénominateur :
b/ calculer :
÷ (- )
J'applique la propriété de la division
:
Inverse de (- ) = (-
) ÷ (- ) = (-
)
Comme dans les exemples ci-dessus,
j'applique la priorité de la multiplication de
fractions (avec décomposition maximum du
numérateur et du dénominateur ) :
Je simplifie
maintenant par tous les termes communs au
numérateur et au dénominateur :
Que me
reste-t-il ?
Au numérateur : (-3)
Au dénominateur : 2 2 = 4
Le
résultat de ma division est donc (-)
IMPORTANT : Lorsque j'ai plusieurs opérations avec
des fractions, je ne dois pas oublier de respecter les
règles de calcul et notamment les
opérations prioritaires : je me souviens : les
parenthèses et les multiplications (voir
fiche le calcul à la
base)