LES FRACTIONS


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Qu'est-ce qu'une fraction ?

 

    Une fraction correspond à un nombre, entier ou décimal, écrit sous la forme d'une division :

    Exemples :

  • ou 10/5 : se lit dix cinquième

    le 10 est appelé
    numérateur ; le 5 est appelé dénominateur - la barre de fraction correspond à la division

    correspond à la division de 10 par 5
    correspond au nombre entier 2
  • ou 10/4 : se lit dix quart

    correspond à la division de 10 par 4
    correspond au nombre décimal 2,5

  • ou 10/3 : se lit dix tiers

    correspond à la division de 10 par 3
    correspond au nombre 3,33333333333.................

    Cas particuliers :

    Une fraction avec 1 au dénominateur correspond à un nombre (entier ou décimal) :


    Une fraction qui possède le même nombre au numérateur et au dénominateur est égale à 1 :


Règle : En règle générale, on ne calcule la fraction que si elle correspond à un nombre entier. Si elle correspond à un nombre décimal, et encore plus s'il ne se termine pas, on préférera, garder l'écriture fractionnaire du nombre (sauf quand on me demande d'exprimer la valeur d'une fraction, ou de donner un résultat approximatif).

    Une fraction sert aussi pour exprimer une part de quelque chose, au même titre que les pourcentages :

    Exemple : Mon potager occupe les trois quarts de mon terrain qui mesure 80 ares (se traduit en language mathématique par )

    Cela revient à dire que je découpe mon terrain en 4 parties, et que mon potager occupe 3 parties sur les 4, soit :


      ( 240 ÷ 4 = 60 )

    Pincipe général :

    1/2 : je prends une moitié de mon total (se lit 1 demi) ; Je divisise mon total par 2 et multiplie par 1
    2/3 : je prends 2 parts de mon total sur 3 (se lit deux tiers) - Je divise mon total par 3 et multiplie par 2
    3/4 : je prends 3 parts de mon total sur 4 (se lit trois quarts) - Je divise mon total par 4 et multiplie par 3
    4/5 : je prends 4 parts de mon total sur 5 (se lit quatre cinquièmes) - Je divise mon total par 5 et multiplie par 4

    etc......

    Je peux aussi écrire : = 0,75 ( 3 ÷ 4 = 0,75 )
    80
    0,75 = 60 : j'obtiens bien le même résultat

    Il est important de bien comprendre ce qu'est une fraction, de façon à pouvoir l'interpréter, la calculer ou la remplacer dans tous les cas

    J'apprends maintenant les propriétés des fractions :

     

    Fractions et signes

    Conformément aux propriétés de division des nombres relatifs (voir
    rubrique), et puisque une fraction est une division de nombres, je peux écrire les 2 propriétés suivantes:

    Propriété N° 1 : ou

    Propriété N° 2 :


    Egalité de fractions


      J'apprends la règle :

      Règle : deux fractions sont égales si leurs "produit en croix" sont égaux

      Produit en croix : je multiplie le numérateur de chaque fraction à comparer par le dénominateur de l'autre
      Exercice : dire si ..... et sont égales :

      Je fais le produit en croix :
      = je dois comparer 6
      8 et 4 12

      8
      6 = 48
      12
      4 = 48

      Les produits en croix sont égaux ; les fractions sont égales

    Cette propriété des produits en croix va me servir chaque fois que je dois comparer 2 fractions. Elle me servira aussi pour trouver deux fractions égales (dans le théorème de Thalès en géométrie notamment)


      NB : pour comparer 2 fractions je peux aussi simplifier la plus grande (voir ci-dessous pour la méthode de simplification) :



      est bien égal à


    Simplification d'une fraction

    J'apprends la règle :


    Règle : Je peux simplifier une fraction si je peux diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, selon la propriété suivante :

      Cette propriété me dit 2 choses :

    • Pour pouvoir simplifier une fraction, je dois d'abord décomposer le numérateur et le dénominateur en une multiplication de nombres

    • Si je fais apparaître un nombre commun, je peux simplifier (c'est à dire diviser) le numérateur et le dénominateur par ce nombre

    Exercice : Est-ce que je peux simplifier la fraction : ? (c'est-à-dire, est-ce que je peux diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre ?)

    1ère étape :

    Je dois décomposer 121 et 363 en
    multiplications de nombres

    Pour m'aider, je peux utiliser la propriété des multiples que je connais :
     

    • Je sais qu'un nombre se divise par 2, s'il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0
    • Je sais qu'un nombre se divise par 3 si la somme de ses termes se divise par 3
    • Je sais qu'un nombre se divise par 5 s'il se termine par 5 ou 0
    • Je sais qu'un nombre se divise par 10 s'il se termine par 0
    • Je sais qu'un nombre se divise par 11 si :
        Quand c'est un nombre à 2 chiffres, les deux chiffres sont identiques
        Quand c'est un nombre à 3 chiffres, le chiffre du milieu est la somme des 2 autres
    • Je sais que 7, 13,19, 23 sont des nombres premiers : ils ne sse divise par rien d'autre que eux mêmes


    A la lumière de cette propriété je regarde mes 2 nombres :

      Je vois que 363 peut se diviser par 3 : 363 = 3 121

    Eh, c'est magique ! cela veut dire que 363 peut également se diviser par 121

    Je vais pouvoir écrire :
    Je vois bien que ma fraction va se simplifier par 121 (puisque 121 est commun au numérateur et au dénominateur), par contre mon numérateur n'est pas sous la forme de nombres multipliés Comment faire ?
    Je réfléchis : 121, n'est-ce pas 121
    1 ??? Youpi ! J'ai ma simplification.......

    2ère étape :

    Une fois que j'ai trouvé le diviseur de ma fraction, je dois écrire sa forme simplifiée

      Si je divise la fraction par 121, que me reste-t-il ?
      Au numérateur ? Il me reste
      1
      Au dénominateur ? Il me reste
      3

    Ma fraction simplifiée sera donc

    Remarque : On me demandera toujours de simplifier les fractions sous leur forme irréductible (c'est-à dire simplification maximum) : la règle veut que tant que je trouve des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur, je peux continuer ma simplification :

    Concernant ma fraction , par exemple, j'aurais très bien pu partir sur la décomposition suivante :

    Je vois, conformément à la propriété des multiples, que mes 2 nombres peuvent se diviser par 11 (nombres à 3 chiffres, dont le chiffre du milieu est égal à la somme des 2 autres) :

      121 = 11 11
      363 = 33
      11

    J'aurais alors pu écrire : = , et simplifier de ce fait ma fraction par 11
    Fraction simplifiée :

    ATTENTION : la fraction n'a pas été simplifiée au maximum : Je vois que 11 et 33 peuvent à nouveau se diviser par 11 ( les deux chiffres sont identiques ) :

      11 = 11 1
      33 = 11
      3

    De nouveau, j'aurais pu écrire :, et simplifier à nouveau ma fraction par 11
    Fraction simplifiée :

    Eh, mon résultat est le même que plus haut : 2 méthodes, un même résultat !!!! Décidément les mathématiques, c'est de plus en plus magique

    3ème étape :

    Je dois quand même vérifier que je ne peux plus du tout simplifier ma fraction pour la mettre éventuellement sous la forme d'un nombre entier :
    Je regarde si je peux encore simplifier

      1= 1 1
      3= 3
      1

    Si je simplifie les deux termes par 1, j'obtiendrai toujours ; ma fraction ne peut plus se simplifier
    Je vérifie enfin que 1 sur 3 ne me donne pas un nombre entier, par la division : 1 ÷ 3 = 0,3333333.......
    Effectivement, la division ne se termine pas : je conserve le nombre sous sa forme fractionnaire :

    est la forme irréductible de la fraction

    L'algorithme d'Euclide :
    une méthode rapide et efficace pour calculer le PGCD de 2 nombres, et simplifier une fraction :

    Qu'est-ce que le PGCD de 2 nombres ? C'est
    le plus grand commun diviseur. Je viens de voir que chaque fois que je veux simplifier une fraction, je dois chercher à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre : l'algorithme d'Euclide va donc me permettre de trouver un diviseur commun à mon numérateur et à mon dénominateur. Bien pratique n'est-ce pas ? Le plus du PGCD ? Et bien, c'est le plus grand diviseur commun à 2 nombres. Pour la simplification d'une fraction, diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, me permet d'être sûre à 100 % que ma fraction est simplifiée au maximum (mise sous sa forme irréductible)

      Cela vaut la peine d'apprendre à calculer le PGCD de 2 nombres par l'algorithme d'Euclide, vous ne trouvez pas ?

    Le principe de l'algorithme d'Euclide est simple : il est basé sur le principe de la division :

      Rappel : Principe de division : si un nombre A divise un nombre B, A est appelé dividende, B est appelé diviseur ; la division de A par B, donne un résultat : c'est le quotient : si A n'est pas multiple de B, il y a un reste
         

      Exemple : Division de 15 par 2 : 15 est le dividende - 2 est le diviseur

        15 ÷ 2 = 7 - 7 est le quotient ; 7 2 = 14 ; 15 - 14 = 1 ; 1 est le reste de la division

    Méthode de l'algorithme d'Euclide


      Je divise entre eux les 2 nombres dont je recherche le PGCD : le résultat de ma division me donne un quotient, et un reste : tant que le reste n'est pas égal à 0, je vais continuer à faire des divisions.

      Quelles divisions ? Je vais faire les divisions successives des diviseurs (qui deviennent dividendes) et des restes (qui deviennent diviseurs) des divisions précédentes (voir l'exercice d'exemple pour mieux comprendre), et ce jusqu'à ce que le reste de ma division soit égal à 0.

      Que se passe-t-il lorsque le reste de ma division est égal à 0 ? Cela signifie que j'ai trouvé le PGCD de mes 2 nombres ; quel est le PGCD de mes 2 nombres ? C'est le dernier diviseur que j'ai utilisé, et qui m'a permis d'avoir un reste égal à 0. Et voilà : regarder bien l'exercice d'exemple pour photographier la méthode : après, c'est toujours pareil !

      Une règle à savoir : Lorsque le PGCD de 2 nombres est égal à 1, cela signifie que ma fraction est irréductible (c'est-à dire je n'ai pas d'autre diviseur commun à mes 2 nombres que 1 = donc ma fraction ne change pas).

     

      Exercice d'exemple : Ecrire sous la forme d'une fraction irréductible.

      Méthode : Je cherche le PGCD des nombres 3575 et 2730 par l'algorithme d'Euclide :
        Je fais la division des 2 nombres : 3575 ÷ 2730 = 1 ; reste 845
        Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 2730 et du reste, 845 (qui devient diviseur) :
          2730 ÷ 845 = 3 ; reste 195

        Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 845 et du reste, 195 (qui devient diviseur) :

          845 ÷ 195 = 4 ; reste 65

        Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 195 et du reste, 65 (qui devient diviseur) :

          195 ÷ 65 = 3 ; reste 0

        Mon reste est égal à 0 : j'ai le PGCD de 3575 et 2730 : c'est mon dernier diviseur, soit 65

    Concrètement, qu'est-ce que cela signifie ? que 65 est le diviseur commun à 3575 et 2730 pour rendre ma fraction irréductible (simplification maximale)

      Je regarde : si je divise 3575 par 65, j'obtiens 55 ; si je divise 2730 par 65 j'obtiens 42

      65 est donc bien un diviseur commun à 3575 et 2730 ; je peux écrire :
        =

    Si je suis le raisonnement, puisque j'ai divisé le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD), la fraction , doit être la forme irréductible de la fraction

    Je vais quand même vérifier que 55 et 42 ne peuvent plus se simplifier. Comment ? Toujours avec l'algorithme d'Euclide, "une fraction est irréductible, si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1 " :

      Je fais la division des 2 nombres : 55 ÷ 42 = 1 ; reste 13
      Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 42 et du reste, 13 (qui devient diviseur) :
        42 ÷ 13 = 3 ; reste 3

      Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 13 et du reste, 3 (qui devient diviseur) :

        13 ÷ 3 = 4 ; reste 1

      Mon reste n'est pas égal à 0 : je fais la division du diviseur 3 et du reste, 1 (qui devient diviseur) :

        3 ÷ 1 = 3 ; reste 0
      Mon reste est égal à 0 : j'ai le PGCD de 3575 et 2730 : c'est mon dernier diviseur, soit 1
      Le PGCD de 55 et de 42 est égal à 1 ; cela veut donc dire que ma fraction est irréductible

    Remarque : Je suis obligée de connaître ce qu'est le PGCD de 2 nombres, et comment le calculer, car il fait l'objet d'exercices, et notamment dans certains sujets de brevets. Pour certains, il peut également être une méthode plus rapide et surtout plus sûre que la recherche de multiples commun, pour mettre une fraction sous sa forme irréductible. Si par exemple j'avais tenté de faire la décomposition de ma fraction en multiples , j'aurais trouvé :

      3575 et 2730 se divisent par 5 car ils se terminent pas 5 et 0
        3575 = 715 5
        2730 = 546
        5

      Ensuite, il me faut voir que 715 et 546 se divisent tous 2 par 13 (pas évident n'est-ce pas ?) :

        715 = 55 13
        546 = 42
        13

    Et voilà, je retombe sur = ; mais je ne suis pas sûre encore que ma fraction est irréductible ; avec le PGCD au moins, c'est garanti !! Mais bon, c'est à chacun de choisir sa méthode de simplification !!

       

    Calculs avec des fractions

    Les fractions correspondent à des nombres : elles peuvent donc être soumises aux opérations habituelles : je dois respecter les règles de calcul que j'ai apprises dans la rubrique
    propriété des opérations, et les appliquer aux propriétés de calcul des fractions, comme ci-dessous :

    1/ Addition et soustraction

    1ère propriété :
    je ne peux pas additionner ou de soustraire des fractions avec des termes en ( ou y,a, t...) ou avec des racines carrées.

      + = + ; + 2 = + 2

    2ème propriété : Par contre, je peux additionner ou soustraire des fractions entre elles, et/ou avec des nombres (entiers ou décimaux). Pour cela, je dois appliquer la propriété suivante

       


      Pour additionner ou soustraire des fractions, je dois

      • D'abord les mettre sous le même dénominateur ;
      • Ensuite transformer les numérateurs de la même façon que j'ai transformé les dénominateurs
      • Enfin additionner ou soustraire les numérateurs entre eux

    Comment mettre des fractions (et des nombres entiers) sous le même dénominateur ?

    Méthode : Pour mettre des fractions (et des nombres) sous le même dénominateur, je dois chercher le 1er dénominateur commun à tous mes termes, c'est à dire leur plus petit multiple commun

    Exercice : calculer :
    1ère étape : Je dois mettre mes fractions (et mon nombre entier) sous le même dénominateur :

    Rappel : un nombre (entier ou décimal) correspond à une fraction avec 1 au dénominateur (voir plus haut)

    Quels sont les dénominateurs des termes de mon opération ?

      8 ; 2 ; 4 et 1

    Quel est le 1er multiple commun à ces 4 nombres ?
     Réponse :
    8
    Je vérifie : 8 est effectivement un multiple de 8 (8 1), de 2 (2 4), de 4 (4 2) et de 1 (1 8)

    Mon dénominateur commun sera donc
    8

    2ème étape : J'ai mon dénominateur : je m'occupe maintenant des numérateurs. Que deviennent-ils ?

    Je les multiplie de la même façon que j'ai multitplié les dénominateurs :

    Je regarde chacun de mes termes:

  • : Pour faire 8, j'ai multiplié le dénominateur par 1 - je multiplie donc le numérateur par 1

    Résultat : ma fraction ne change pas :

  • : Pour faire 8, j'ai multiplié le dénominateur par 4 - je multiplie donc le numérateur par 4 : 6 4 = 24

    Résultat : ma fraction se transforme en

  • : Pour faire 8, j'ai multiplié le dénominateur par 2 - je multiplie donc le numérateur par 2 : 2 2 = 4

    Résultat : ma fraction se transforme en

  • : Pour faire 8, j'ai multiplié le dénominateur par 8 - je multiplie donc le numérateur par 8 : 3 8 = 24

    Résultat : ma fraction se transforme en

    3ème étape : j'ai maintenant mon dénominateur commun, et mes numérateurs modifiés : je peux réécrire mon opération :

      = + - +

    Les numérateurs s'additionnent ou se soustraient entre eux, conformément aux différentes règles qui régissent l'addition et la soustaction ; attention notamment à respecter les règles de chacun des termes, en cas de présence de termes de nature différente.

      je peux écrire :

      + - + =

    3 + 24 - 4 + 24 = 47

    =
    Résultat de mon opération :
    4ème étape : ma dernière étape sera de mettre mon résultat sous la sa forme irréductible : je cherche donc à simplifier au maximum :
    8 se divise par 2 ou 4, par contre 47 est un nombre premier (il ne se divise que par lui-même)
    Je ne peux donc pas simplifier ; mon résultat sera donc
    Je vérifie tout de même que 47 sur 8 ne me donne pas un nombre entier, par la division :
    47
    ÷ 8 = 5,875
    A moins qu'on ne me demande de donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal, je conserve le nombre sous sa forme fractionnaire :

    est la forme irréductible du résultat de mon opération

    NB :
    Comment trouver facilement le dénominateur commun à plusieurs fractions (c'est-à-dire le plus petit multiple commun) ?

    Cas N° 1 : je cherche le dénominateur commun à ; et
    Il n'y a rien de commun entre 4, 3 et 5 :
    le plus petit multiple commun à ces 3 nombres sera le résultat de leur multiplication : 4 3 5 = 60

    Cas N° 2 : je cherche le dénominateur commun à ; et
    Il n'y a rien de commun entre 4, et 3
    : je les multiplie entre eux : 4 3 = 12
    Par contre 8 = 4 x 2 ; je vois que j'ai déjà pris en compte le 4 dans mon calcul : je ne le prend pas en compte deux fois : le plus petit multiple commun à ces 3 nombres sera le résultat de : 4 3 2 = 24
    Facile non ???


    2/ Multiplication

    1ère propriété :
    je ne peux pas multiplier des fractions avec des termes en ( ou y,a, t...) ou avec des racines carrées. Par contre, grâce à la propriété de la multiplication je peux les associer et ma fraction prendra la nature du terme en x ou de la racine carrée :

      = ; 2 = 2
      Nature des résultats :
      est un terme en
      2 est une racine carrée

    Pour tout calcul avec ces 2 nombres, on utilisera respectivement les propriétés des termes en et des racines carrées

    2ème propriété : Par contre je peux facilement multiplier deux fractions entre elles ou avec un nombre (entier ou décimal). La règle est simple :


    Pour multiplier deux fractions entre elles ou avec un nombre, il me suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux, conformément aux différentes règles de multiplication

      Exercice : Calculer 3

    1ère étape : j'applique la règle de multiplication des fractions (les numérateurs et les dénominateurs se multiplient entre eux) :
    Rappel :

      Je peux écrire : 3 =

      10
      3 2 3 = 180

      5
      8 3 = 120
      3 =

    2ème étape : Je mets mon résultat sous la forme d'une fraction irréductible (je simplifie ma fraction au maximum) :

    180 et 120 sont deux multiples de 10 :

    180 = 18 10
    120 = 12
    10

    Si je simplifie ma fraction par 2 j'obtiens =
    Est-ce que je peux encore simplifier ?
    Oui : 18 et 12 sont deux multiples de 6 :

    18 = 3 6
    12 = 2
    6
    Si je simplifie ma fraction par 2 j'obtiens =
    Je ne peux plus simplifier
    Je vérifie tout de même que 3 sur 2 ne me donne pas un nombre entier, par la division :
    3
    ÷ 2 = 1,5

    A moins qu'on ne me demande de donner le résultat sous la forme d'un nombre décimal, je conserve le nombre sous sa forme fractionnaire :

    est la forme irréductible du résultat de ma multiplication

    Remarque :
    Vu que les numérateurs et les dénominateurs se multiplient entre eux, je me retrouve en situation de multiplication de nombres (conformément à la règle de simplification voir ci-dessus). Par conséquent, je peux (et j'ai même intérêt) simplifier au maximum ma multiplication avant de la calculer

       Reprenons mon exercice de multiplication :

        3 =

    J'ai intérêt à simplifier ma fraction avant de la calculer :
    Je décompose au maximum mon numérateur et mon dénominateur :

    10 = 5
    2
    8 = 4
    2
    4 = 2
    2

       Je peux écrire :

      =

       Je simplifie maintenant par tous les termes communs au numérateur et au dénominateur :



       Que me reste-t-il ?

      Au numérateur : 3
      Au dénominateur : 2
      1 = 2

    Le résultat de ma multiplication est donc (ou 1,5 si on me demande le résultat en nombre décimal)
    Eh, c'est le même que tout à l'heure, et sans faire le moindre calcul : j'ai tout de même intérêt à simplifier ma multiplication avant de la calculer non ???


    3/ Division

    1 seule règle à connaître pour tous les cas de figure :



    Diviser une fraction par un nombre (ou une autre fraction), c'est multiplier la fraction par l'inverse de ce nombre (ou de cette fraction)


    La division de fractions revient donc à faire une multiplication (voir ci-dessus)

    La difficulté : comprendre ce qu'est l'inverse d'un nombre

    Quelques exemples :

    Inverse de 3 =
    Inverse de - = -
    etc....

    Attention : il ne faut surtout pas confondre inverse d'un nombre et opposé d'un nombre (rubrique les nombres relatifs), comme cela arrive souvent. Au niveau des signes, l'inverse conserve le même signe que le nombre


    Exercice :
    a/ calculer :
    / 3 (on trouve aussi l'écriture : )
    J'applique la propriété de la division :
    Inverse de 3 = =

    Comme dans les exemples ci-dessus, j'applique la priorité de la multiplication de fractions (avec décomposition maximum du numérateur et du dénominateur ) :

      =

     Je simplifie maintenant par tous les termes communs au numérateur et au dénominateur :



       Que me reste-t-il ?

      Au numérateur : 1
      Au dénominateur : 2
      3 = 6

      Le résultat de ma division est donc

    b/ calculer : ÷ (- )
    J'applique la propriété de la division :

    Inverse de (- ) = (- )
    ÷ (- ) = (- )

    Comme dans les exemples ci-dessus, j'applique la priorité de la multiplication de fractions (avec décomposition maximum du numérateur et du dénominateur ) :

      (- ) =

     Je simplifie maintenant par tous les termes communs au numérateur et au dénominateur :



       Que me reste-t-il ?

      Au numérateur : (-3)
      Au dénominateur : 2
      2 = 4

    Le résultat de ma division est donc (-)
    IMPORTANT : Lorsque j'ai plusieurs opérations avec des fractions, je ne dois pas oublier de respecter les règles de calcul et notamment les opérations prioritaires : je me souviens : les parenthèses et les multiplications (voir
    fiche le calcul à la base)

 

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