LES POURCENTAGES

 

Ah, ces fameux pourcentages !! Qui n'a jamais bloqué sur cette technique qui est pourtant le cas par excellence de la proportionnalité ?? C''est le cas aussi que l'on rencontre le plus souvent, et qui peut être adapté aux situations les plus variées : donc il vaut mieux le connaître non ??

Un pourcentage : qu'est-ce que c'est ?

On le retrouve partout dans notre vie quotidienne : poourcentages de réduction, pourcentages d'augmentation sur des prix, des quantités, pourcentages d'effectifs à l'école, pourcentages de réussite à un examen etc....etc...

La représentation écrite du pourcentage : le signe %

Exemples : Il y a eu cette année 79 % (se lit : soixante-dix neuf pour cent) de réussite au brevet des collèges - Pendant les soldes, j'ai eu cet article à moins 30 % (se lit trente pour cent) etc....

Que veulent dire 79 % ? ; 30 % ?

Et bien simplement que :
79 % de réussite79 élèves sur cent ont réussi leur examen
30 % de réduction J'ai eu une réduction de 30 € sur 100 € du prix de l'article etc.....

Règle : Exprimer un pourcentage, c'est donc ramener la valeur dont il est question par rapport au nombre 100 : on le dit d'ailleurs lorsqu'on lit le pourcentage :

30 % : se lit trente pour cent : veut dire "pour cent, j'en ai trente"
79 % : se lit soixante-dix-neuf pour cent : veut dire "pour cent, j'en ai soixante-dix-neuf"
etc....

J'ai donc ici une notion de part : le total de ma valeur est ramené à un total de 100, et la part de cette valeur est exprimée par le nombre qui se trouve devant le pourcentage : il faut donc bien comprendre quelle est la valeur en question :


Exemple 1 : 79 % de réussite à l'examen : cela signifie que 79 éléves sur 100 ont réussi l'examen : Je peux faire ainsi le tableau de proportionnalité suivant :




total des élèves	100
élèves ayant réussi l'examen	79



J'ai retranscris la signification de mon pourcentage (sur un total de 100 élèves, 79 ont réussi l'examen) : mes valeurs sont bien proportionnelles : en effet, si j'ai un total de 200 élèves, le pourcentage implique que j'ai deux fois la base cent, donc en proportions, 2 fois plus d'élèves qui ont réussi à l'examen etc.....

Je peux alors par rapport à ces données, et grâce à ce tableau, répondre à deux types de questions :


• Je donne un total d'élèves de 3è, et grâce au pourcentage, je cherche combien ont eu leur examen
• Ou au contraire, je donne un nombre d'élèves de 3è qui ont réussi leur examen, et grâce au pourcentage, je cherche combien d'élèves au total ont passé l'examen


Enoncé 1 :


[L'année dernière, 300 élèves de 3è du collège X.ont passé le brevet des collèges : le collège a enregistré un taux de réussite de 79 % : combien d'élèves de 3è ont eu leur examen ??]


Méthode :
Je mets les données dans mon tableau :
1. Traduction du pourcentage
2. On me donne une nouvelle indication; : total des élèves = 300 : je remplis une nouvelle case "total des élèves"



total des élèves	100	300
élèves ayant réussi l'examen	79	?


Il ne me reste plus qu'à faire le calcul : je fais le produit en croix :
100 x ? = 79 x 300
79 x 300 = 23700
100 x ? = 23700
? = 23700 ÷ 100
? = 237

Je mets la valeur calculée dans le tableau :



total des élèves	100	300
élèves ayant réussi l'examen	79	237



Je fais une phrase de réponse à mon problème : "237 élèves de 3è du collège X ont eu leur examen"

Enoncé 2 : le problème inverse


[L'année dernière, 320 élèves de 3è du collège X.ont obtenu leur examen du brevet des collèges : cela représentait un taux de réussite de 79 % : combien d'élèves de 3è ont passé l'examen ??]


Je mets les données dans mon tableau :
1. Traduction du pourcentage
2. On me donne une nouvelle indication; cette fois-ci, ce n'est plus le total des élèves mais le nombre des élèves ayant réussi leur examen = 320: je remplis une nouvelle case "élèves ayant réussi l'examen"



total des élèves	100	?
élèves ayant réussi l'examen	79	320



Il ne me reste plus qu'à faire le calcul : je fais le produit en croix :
100 x 320 = 79 x ?
100 x 320 = 32000

79 x ?= 32000
? = 32000 ÷ 79
? = 405,06

Vu qu'il s'agit au départ d'un nombre d'élèves, je dois arrondir au nombre entier le + proche = 405

Je mets la valeur calculée dans le tableau :



total des élèves	100	405
élèves ayant réussi l'examen	79	320


Je fais une phrase de réponse à mon problème : "405 élèves de 3è du collège X ont passé l'examen"



Autre cas de figure très souvent rencontré :




Augmentations et diminutions par un pourcentage


C'est le cas de mon exemple : "réduction sur un article : - 30 %"
Il est important de bien comprendre cette situation car nous y sommes souvent confrontés :

Que veut dire l'étiquette posée sur un article : - 30 % ??
Et bien simplement que sur la base d'un prix de 100 €, le magasin accorde une réduction de 30 € sur l'article :
Je peux faire ainsi le tableau de proportionnalité suivant :




Prix de l'article en €	100
réduction en €	30


J'ai retranscris la signification de mon pourcentage (pour un article étiqueté à 100 €, j'ai une réduction de 30 €) : mes valeurs sont bien proportionnelles : le calcul de ma réduction va en effet augmenter ou diminuer en fonction du prix étiqueté : si un article est étiqueté 200 €, j'aurai le double de réduction , soit 30 x 2 = 60 € etc....)

Je peux alors par rapport à ces données, et grâce à ce tableau, répondre à deux types de questions :


• Je donne un prix étiqueté avant réduction : je cherche de combien mon article sera réduit
• Ou au contraire, je connais la réduction : je vais alors chercher le prix de l'article étiqueté au départ :


Enoncé 1 :


[Je viens de recevoir un bon de réduction sur catalogue : - 30 % à valoir sur un article. Cette petite robe me plaît bien : elle coûte 24 € ; avec la réduction, elle ne devrait pas me coûter trop cher !!]

Mais au fait, à combien va se monter la réduction sur un prix de 24 € ??

Je mets les données dans mon tableau :
1. Traduction du pourcentage
2. On me donne une nouvelle indication; : prix de l'article = 24 € : je remplis une nouvelle case "Prix de l'article en €"



Prix de l'article en €	100	24
réduction en €	30	?


Il ne me reste plus qu'à faire le calcul : je fais le produit en croix :
30 x 24 = 100 x ?
30 x 24 = 720
100 x ? = 720
?= 720 ÷ 100
? = 7,2

Je mets la valeur calculée dans le tableau :



Prix de l'article en €	100	24
réduction en €	30	7,2


Je sais maintenant que une réduction de 30 % sur 24 € représente une réduction de 7,2 €

Résultat : si je commande, combien vais-je payer ma robe ??
Et bien : 24 - 7,2 = 16,80 €

Remarque : la question aurait très bien pu être : combien vais-je payer ma robe après réduction :

2 solutions alors s'offrent à moi :

Soit, comme je viens de le faire, je calcule le montant de ma réduction sur mon article et le retranche de son prix

Soit dans l'interprétation de mon pourcentage, je traduis ce qu'il me reste de mon prix et non plus ma réduction :

Explications : si 30 % de réduction signifie que sur un article étiqueté 100 €, j'ai 30 € de réduction : ne puis-je pas dire alors que pusique j'ai 30 € de réduction, il me restera 70 € à payer ?? (100 - 30 = 70)
Ce sont ces valeurs cette fois que je vais inscrire dans mon tableau :
"Sur un article étiqueté 100 € il me restera à payer 70 € après la réduction" : mes intitulés de ligne deviennent alors :




Prix de départ de l'article en €	100	24
Prix de l'article en € après réduction	70	?



Je sais alors que mon calcul aboutira directement au prix de l'article à payer après réduction :

Je fais le produit en croix :
70 x 24 = 100 x ?
70 x 24 = 1680
100 x ? = 1680
?= 1680 ÷ 100
? = 16,80

Résultat : Le prix de l'article après réduction est bien de 16,80 € : à chacun de choisir sa méthode !!

Et si on avait augmenté le prix ?? Et bien de la même façon, j'aurais :

Méthode N° 1 : Calculé la valeur de l'augmentation dans mon tableau, puis je l'aurais additionnée à mon prix de départ :


Exemple : augmentation de 30 % sur 24 € = 7,2 € d'augmentation
Donc prix après augmentation : 24 + 7,2 = 31,2 €


Méthode N° 2 : Calculé directement le prix à payer après l'augmentation en ajoutant la valeur de l'augmentation au prix de départ 100 :


Exemple : augmentation de 30 % = 100 + 30 = 130
Prix à payer après augmentation = 130
donc dans mon tableau :




Prix de départ de l'article en €	100	24
Prix de l'article en € après augmentation	130	?


Calcul par le produit en croix : 24 x 130 / 100 = 31,20 €
31,20 € est effectivement le prix à payer après augmentation


Enoncé 2 :

[Sur mon ticket de caisse je lis : réduction - 30 % = 10,20 €.
Mais zut !! J'ai perdu l'étiquette de la robe que je viens d'acheter : et je ne me souviens plus combien elle coutait au départ : le problème ici est donc inverse : je connais le montant de ma réduction : je dois chercher le prix de départ ]


Je mets les données dans mon tableau :

1. Traduction du pourcentage
2. On me donne une nouvelle indication; : réduction = 10,20 € : je remplis une nouvelle case "Réduction en €"



Prix de l'article en €	100	?
réduction en €	30	10,20


Il ne me reste plus qu'à faire le calcul : je fais le produit en croix
10,20 x 100 = 30 x ?
10,20 x 100 = 1020
? = 1020 ÷ 30
? = 34

Je mets la valeur calculée dans le tableau :



Prix de l'article en €	100	34
réduction en €	30	10,20


Je sais maintenant que si avec une réduction de 30 %, j'ai économisé 10,20 € c'est que le prix de la robe était de 34 € au départ : je n'ai plus besoin de retrouver l'étiquette : j'ai la réponse à ma question !!


Remarque : regardons bien les différentes opérations de calcul réalisé :
Pour un pourcentage donné : soit


J'ai ma valeur de départ : je recherche la part que le pourcentage représente :

Je fais toujours la même opération :



Exemple : 79 % de 300 élèves = = 237

Du coup et grâce aux propriétés des fractions, je peux écrire aussi : x 300 (300/1) : l'écriture du pourcentage est alors sous forme de fraction : 79 % =
ou encore 0,79 x 300 (écriture du pourcentage sous forme décimale si je calcule la fraction = 79 ÷ 100 = 0,79)

Inversement

J'ai la valeur de ma part : je dois trouver grâce au pourcentage la valeur de départ :

Je fais là aussi toujours la même opération :

Exemple : 320 élèves représentent 79 % du total ;
Pour trouver le total de 405 , j'ai bien fait l'opération :

Ces formules, une fois que le pourcentage est compris, peuvent me permettre de calculer plus rapidement : mais attention : je dois toujours me souvenir du fonctionnement du tableau de proportionnalité au cas où ces formules me fassent défaut : je pourrai alors ainsi facilement les retrouver....




Répartition grâce à un pourcentage


Le pourcentage étant comme je vous l'ai dit une part de quelque chose, il peut, au même titre que les fractions, être utilisé dans un problème de répartition :

Ce type de problème est couramment rencontré, et souvent les élèves ne sont pas beaucoup inspirés (pas plus que pour les problèmes avec des fractions d'ailleurs) :


Exemple d'énoncé :

[Dans un collège, les des élèves sont demi-pensionnaires, 30 % des élèves sont internes, et les 72 élèves restants sont externes : calculer le nombre d'élèves inscrits dans cet établissement]


Je réfléchis :

Le nombre total des élèves inscrits est égal au nombre des demi-pensionnaires + le nombre des internes + le nombre des externes

Jusque là rien de bien compliqué

Total = demi-pensionnaires + internes + externes

Je connais le nombre des externes : 72
Et à côté de cela, on me donne :

1/ La part des élèves demi-pensionnaires : du total
2/ La part des élèves internes : 30 % du total


Voici schématiquement la répartition :



• Si je me souviens bien de la signification d'une fraction (sinon, je révise) je sais que prendre du total signifie que :
  Je divise le total en 5 parties égales et j'en prends 3 :
  j'ai donc : x 3 = x total = 0,6 x total (car 3 ÷ 5 = 0,6)

   

• Puisque je viens de voir les pourcentages, je connais aussi leur signification : je sais que prendre 30% du total des élèves signifie que :
  Sur 100 élèves, j'en prendrai 30 : donc sur le total, j'en prendrai : , ou encore x total ou encore 0,3 x total

  Je me souviens de mon tableau de proportionnalité et du produit en croix à effectuer :
  
  

  total des élèves	100	total
  total des élèves internes	30	?

  
  J'ai donc bien : 30 x total = 100 x ?
  et donc ? =
  
  Je suis bien avancée : je me retrouve donc avec :
  
  total = 0,6 x total + 0,3 x total + 72
  
  Mais comment alors obtenir mon total ??
  
  Ah heureusement que je connais quelques notions de mathématiques, et que je sais que pour trouver une valeur inconnue, j'ai une solution bien pratique : la résolution d'équation : (si je ne m'en souviens pas, comme d'habitude, je révise)
  Et si j'appelais x mon total d'élèves, j'aurais alors :
  x = 0,6 x x + 0,3 x x + 72
  Je résous l'équation : x = 0,6x + 0,3x + 72
  x - 0,6x - 0,3x = 72
  x - 0,6x - 0,3x = 0,1 x
  0,1 x = 72
  x =
  x = 720 (72 ÷ 0,1 = 720)
  
  Mon total d'élèves serait donc de 720 : je vérifie en calculant maintenant la répartition chiffrée des demi-pensionnaires, externes, et internes :
  demi pensionnaire = du total donc de 720 = = 432
  internes = 30 % du total donc 30 % de 720 = = 216
  externes = 72 : je connaissais déjà le nombre
  Est-ce que l'addition de 432, 216 et72 donne bien un total de 720 ?
  
  Réponse OUI : ma répartition est effectuée, mes valeurs manquantes sont chiffrées : mon problème est résolu !
  
  
  

  Opération inverse : recherche d'un pourcentage

  
  
  Cette fois je ne connais pas la valeur en pourcentage que représente ma part sur mon total : je dois la rechercher

  Enoncé type :

  [J'ai acheté 1 robe en soldes : elle coûtait au départ 24 € ; j'ai eu une réduction de 5,40 € sur son prix : Quel est le pourcentage de la réduction qui m'a été accordé ??]

  
  Comme d'habitude, je marque mes données dans un tableau :
  y note les informations données par l'énoncé : J'ai obtenu 5,40 € de réduction sur un article étiqueté à 24 € : cette fois-ci je ne connais pas le pourcentage
  
  

  Prix de l'article en €	24
  réduction en €	5,40

  
  Je sais que par définition un pourcentage est toujours une part ramenée à une valeur totale initiale de 100 : je vais donc remplir une nouvelle case "prix de l'article en €" = 100
  
  

  Prix de l'article en €	24	100
  réduction en €	5,40	?

  
  J'ai 3 valeurs sur 4 : il ne me reste plus qu'à effectuer le produit en croix :
  5,40 x 100 = 24 x ?
  5,40 x 100 = 540
  540 = 24 x ?
  ? = 540 ÷ 24
  ? = 22,50
  
  Je mets le résultat de mon calcul dans le tableau :
  
  

  Prix de l'article en €	24	100
  réduction en €	5,40	22,50

  
  Je viens de calculer la valeur de la réduction pour 100 € ; je viens donc de calculer la valeur de mon pourcentage de réduction :
  
  Si j'ai 5,40 € de réduction sur un article étiqueté 24 €, j'aurai alors eu 22,50 % de réduction
  Et voilà pour le calcul du pourcentage : cela doit paraître simple, si on a parfaitement compris le tableau de proportionnalité type des pourcentages : car à force, c'est toujours la même chose !!
  
  Remarque : j'aurais très bien pu avoir aussi un énoncé du genre :
  "Une robe dont le prix marqué est 24 € a été payée après remise 18,60 € : calculer le pourcentage de remise accordé sur cet article"

  Je devrai d'abord calculer le montant de la remise : 24 - 18,60 = 5,40 €, pour pouvoir calculer ensuite le pourcentage de cette remise, comme ci-dessus

  Conclusion :
  
  Quelle opération devont-nous effectuer pour calculer la valeur d'un pourcentage ??

  ou encore :

  
  (5,40 ÷ 24) x 100
  5,40 ÷ 24 = 0,225
  0,225 x 100 = 22,5
  Pourcentage : 22,50 %