CALCUL AVEC DES X


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Bien comprendre l'utilisation des lettres en mathématique


Une lettre, en mathématique sert à remplacer n'importe quel nombre. Je symboliserai dans cette fiche l'utilisation d'une lettre par la lettre ,car c'est celle qu'on retrouve le plus souvent dans les exercices. Par contre, s'il vous arrive de rencontrer des termes en y, en t, en z, en a ou en b, alors pas de panique : le principe est exactement le même : je dois bien comprendre qu'une lettre remplace un nombre.


Exemple : Je sais que les lettres sont souvent utilisées pour énoncer une généralité mathématique : exemple des puissances :

an = a a ................(n fois)


Explication : je sais que le principe des puissances est le suivant : n'importe quel nombre mis à n'importe quelle puissance, correspond à ce nombre multiplié autant de fois par lui même que la puissance :(voir fiche correspondante) . Au lieu de prendre des exemples avec quantité de nombre, je peux écrire ma formule générale avec des lettres : Quand je fais un exercice sur les puissances, il ne me reste plus qu'à remplacer mes lettres par les nombres de mon exercice :

Si je dois par exemple calculer 23 cela signifie que conformément à ma formule :

Mon nombre a est 2 , et ma puissance n est 3 ; aussi je pourrai écrire :

2 2 2 (3 fois) ; 23 est donc égal à 8


avec les
(ou les lettres en général), 3 possibilités :

1. Je trouve des dans des calculs : ils répondent alors à des règles de calcul que je dois connaître : c'est ce que je vais voir dans cette fiche

2. On peut me demander de remplacer
par des valeurs dans des expressions : c'est le cas de mon exemple sur les formules ci-dessus ; c'est aussi le principe même des fonctions : j'en verrai quelques exemples plus bas - des fiches sur les fonctions affines et linéaires seront mises en ligne prochainement. sont les fonctions

3. On peut me demander de calculer la valeur de
: ce sont les équations , ou un ensemble de valeurs pour : ce sont les inéquations : ces 2 aspects sont développés dans des fiches particulière (voir fiche équations et inéquations)


Calculs avec des

 Je retrouve souvent des dans les calculs qu'on me demande de faire : pas de panique : je sais que ce sont des nombres, mais lorsqu'ils se retrouvent dans des calculs, en développement par exemple, on ne me demande pas de donner leur valeur.

 

Je vais donc simplement apprendre leurs propriétés de calcul, et les considérer comme une catégorie de termes à part entière, que j'appelerai les termes en .

Comme tous les autres termes de différente nature (racines carrées, fractions) les termes en
peuvent être soumis aux opérations habituelles : je dois respecter les règles de calcul que j'ai apprises dans la rubrique propriété des opérations, et les appliquer aux propriétés de calcul ci-dessous :


1/ Addition et soustraction

 

Avec des termes de nature différente : je ne peux pas additionner ou soustraire des termes en avec tout autre terme de nature différente (nombres (dont fractions) et racines carrées).

2 + = 2 + ; 3 - = 3 -

    Avec d'autres x : Par contre, je peux parfaitement additionner ou soustraire des entre eux, conformément à la règle ci-dessous :


      Pour additionner ou soustraire des
      , j'additionne ou soustrais entre eux le nombre de

    Principe : Je compare à quelque chose de concret, et lorque l'on me donne des termes en , je me demande combien cela fait de :

      Exemple :
      On me donne
      , je me demande combien cela fait de - Réponse : 1
      On me donne 2
      , je me demande combien cela fait de - Réponse : 2
      On me donne 3
      , je me demande combien cela fait de - Réponse : 3

    Et si on me donne : + 2 + 3 : cela veut bien dire que j'ai 1 que je lui en ajoute 2 puis 3. J'aurai alors combien de ? 1 + 2 + 3 = 6 : J'aurai 6

    Je peux écrire :
    + 2 + 3 = 6 ; je viens de faire une addition de termes en , en utilisant la propriété d'addition des nombres de + 2 + 3 = (1 + 2 + 3) = 6

    Le principe est exactement le même avec des soustractions ! Essayez de faire 3 - + 4, pour voir si vous avez compris !


    ATTENTION : Les ne s'additionnent ou se soustraient qu'avec d'autres : je ne peux pas les additionner ou les soustraire avec des y par exemple ou encore avec des puissances de (voir ci-dessous)


    2/ Multiplication


    Règle:
    je ne peux pas multiplier avec des nombres (et fractions) ou avec des racines carrées. Par contre, grâce à la propriété de la multiplication je vais pouvoir associer tous ces termes aux et ils prendront alors la nature de terme en :

      2 = 2 ; = ; 2 = 2
      Nature des résultats :

      2 est un terme en
      est un terme en
      2 est un terme en

    Pour tout calcul avec ces nouveaux nombres, on utilisera alors les propriétés des opérations avec termes en


      A savoir :

      = 1
      -
      = -1

    Avec d'autres termes en : Par contre je peux facilement multiplier deux ou deux termes en entre eux . La règle est simple :


      Règle N° 1 : Multiplication de par : comme n'importe quel nombre, si je multiplie par lui-même, j'obtiendrai une puissance de : la seule différence avec un autre nombre, est que je ne peux pas le calculer : je dirai donc que :
        = 2
        = 3
        = 4
        etc.....

      un point c'est tout !

      Règle N° 2 : Multiplication de termes en entre eux ou avec un terme de nature différente (nombre entier, décimal, fraction, racine carrée...) :

    Je regarde : conformément à la propriété de la multiplication vue ci-dessus, si j'ai par exemple 2, qu'est-ce que cela signifie ? Simplement que 2 = 2

    Je réfléchis : si je multiplie maintenant 4 par 2, j'aurai 4 2 = 4 2

      je vois que je peux multiplier 4 et 2 ensemble puisque ce sonr deux nombres entiers :
        4 2 = 8 ; 4 2 v = 8

    Je me retrouve en présence d'un nombre entier multipliant un : je sais que je ne peux pas les multiplier par contre, je peux les associer : 8 = 8 ; ce résultat est à nouveau un terme en

    Multiplions maintenant 2 avec 3 : 2 3

      Conformément à la propriété de la multiplication, je peux restaurer les signes multipliés qui existent :
        2 3 = 2 3

      Je sais que je peux multiplier les termes de même nature entre eux : je les regroupe et les calcule :

        2 3 = 2 3
        2 3 = 6
        = 2 ; conforémément à la propriété vue ci-dessus.

      J'obtiens par conséquent :   2 3 = 6 2
      comme les , les 2 ne se multiplient pas avec des nombres mais ils s'associent
      Je peux donc écrire : 6
      2 = 62 ; j'obtiens un terme en 2

    Je retiens : ces 2 exemples me permettent d'établir une règle générale :


      Lorsque je dois multiplier un terme en
      , (type 2), avec un autre terme en x ou un terme de nature différente , il me suffit de multiplier entre eux les termes de même nature : les ensemble, les nombres (+ fractions) ensemble, les racines carrées ensemble : j'obtiendrai alors forcément un terme en , ou une puissance de ( 2 , 3, 4.......)

       



      Exemples :

      2 3 = 2 3 2 = 62 ; le résultat devient un terme en 2
      = 1 ( = 1 ) 2 = 2 ; le résultat devient un terme en 2
      3 22 = 3 2 3 = 63 ; le résultat devient un terme en 3

      etc....

    ATTENTION : les puissances de ne s'additionnent ou ne se soustraient qu'entre elles : les termes en 2 ne s'additionnent et soustraient qu'avec des termes en 2 ; les termes en 3 ne s'additionnent et soustraient qu'avec des termes en 3 ; les termes en 4 ne s'additionnent et soustraient qu'avec des termes en 4
    etc.......
     

    3/ Division :

    Règle :
    Les ou termes en ne se divisent qu'entre eux :

      Exemples :

      ;


    Division avec des termes de nature différente :

      Exemple : ; je peux écrire : = = ; j'obtiens un terme en
        diviser par 2 revient à le multiplier par son inverse, soit


    Pour diviser un
    ou un terme en , par un autre terme de nature différente, je le multiplierai par l'inverse de cet autre terme : le résultat deviendra ainsi un terme en


    Je remplace par une valeur donnée

    Dans certains exercices, on peut me demander de remplacer
    dans une expression par une valeur donnée ; je sais que pouvant remplacer n'importe quel nombre, cela ne me posera aucun problème. L'exercice est très simple en lui même, puisque, si j'ai compris les propriétés des ci-dessus, l'exercice revient simplement à calculer une expression normale, sans terme en . Pourtant, ce type d'exercice pose souvent des problèmes aux élèves. Pourquoi ? Je pense qu'ils comprennent parfaitement le but de l'exercice, c'est souvent les consignes qui ne sont pas comprises.

      Exemples d'exercice où je dois remplacer x par une valeur donnée :

      Exercice N° 1 :
        Soit l'expression A = 2 + 7 - 3 + 6 - calculer A avec = (-2)

    C'est une des consignes les plus claires pour ce type d'exercice puisqu'on vous demande clairement de remplacer par (-2) :

      Je remplace donc dans mon expression : je la réécris pour faire apparaître toutes les opérations :
        je sais que 2 = 2 ; 3 = 2

        2 + 7 - 3 + 6 = 2 + 7 - 3 + 6

      Je peux maintenant remplacer sans problème les par (-2) :

        2 (-2) + 7 - 3 (-2) + 6

      J'obtiens alors une expression toute simple composée de multiplications, d'additions et de soustractions de nombres entiers :

        1. Je calcule les multiplications, opérations prioritaires :
          2 (-2) = - 4
          - 3 (-2) = + 6

        2. Je remplace le résultat de mes multiplications dans mon expression :

          - 4 + 7 + 6 + 6

        3. Je n'ai que des nombres entiers, je les calcule ensemble :

          - 4 + 7 + 6 + 6 = 15

        4. J'écris la valeur de mon expression A quand = (-2) :

          A = 15 ; mon exercice est terminé

     

       Exercice N° 2 :
        Soit l'expression f() = 4 + 2 - calculer f (3)

    Alors là tout de suite ça se complique !!

    Et pourtant l'exercice est exactement le même. La différence est que j'arrive dans le domaine des fonctions, et qu'il faut par conséquent comprendre ce qu'on me demande.

    Qu'est-ce qu'une fonction ? une fonction est une expression numérique qui va me permettre de trouver l'image de
    :

      Exemple notre exercice : soit f la fonction définie par f() = 4 +2

    Qu'est-ce que cela signifie ?

      Que pour n'importe quelle valeur de on aura : image de par la fonction f : = 4 +2

    C'est déjà plus clair n'est-ce pas ??

    Et calculer f (3) , qu'est-ce que cela signifie ? Et bien tout simplement qu'il me faut
    trouver l'image de par la fonction f, quand = 3 (3 remplace dans ma fonction)

    suivons le raisonnement :
    si f(
    ) = 4 +2 signifie que l'image de par la fonction f est égale à 4 + 2 ; alors l'image de 3 sera égale à :

      4 3 + 2 = 14

    Je peux écrire : f (3) = 14 : c'est à dire l'image de 3 par la fonction f est égale à 14.

      Qu'est-ce que j'ai fait concrètement ?

    J'ai remplacé dans mon expression par une valeur donnée : 3 ; c'est-à dire exactement la même chose que dans l'exercice N° 1......

    Est-ce que j'ai compris les fonctions ? Bof..... Je ne m'inquiète pas : j'aurai l'occasion de les revoir dans la fiche sur les fonctions affines et linéaires, qui seront en ligne prochainement.

    Pour l'instant, ce que j'ai besoin de savoir c'est la signification d'un tel énoncé d'exercice. Je dois me dire que toutes les fois que l'on me demande de calculer la fonction d'une valeur (ex f (3)) , cela revient exactement au même que si l'on me demandait de calculer l'expression avec
    = 3 ;

    Deux types d'énoncé pour un seul et même exercice.

    Il est important de connaître et de comprendre ces exercices car ils sont souvent au programme du Brevet des collèges, partie activité numérique. On les trouve généralement après un développement d'expression. En effet, une expression développée est toujours sous sa forme la plus simple (car elle a été réduite et ordonnée : voir fiche
    le développement) ; elle est donc proprice pour un remplacement des . En règle générale, ce type d'exercice au brevet, fait presque toujours l'objet de consignes aussi claires que celle de l'exercice N° 1 .....Mais on ne sais jamais ........

    J'aurai l'occasion de m'entraîner à ce type d'exercice dans les exercices type "annales de brevet" qui seront mis en ligne très prochainement. Je peux d'ores et déjà m'entraîner un peu avec l'exercice N° 4 , de la partie développement.......

       

 

 

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