Bien
comprendre l'utilisation des lettres en
mathématique
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Une lettre, en
mathématique sert à remplacer n'importe quel
nombre. Je symboliserai dans cette fiche
l'utilisation d'une lettre par la lettre ,car c'est celle qu'on retrouve le
plus souvent dans les exercices. Par contre, s'il vous
arrive de rencontrer des termes en y, en t, en z, en a ou en
b, alors pas de panique : le principe est exactement le
même : je dois bien comprendre qu'une lettre
remplace un nombre.
Exemple : Je sais que les lettres sont
souvent utilisées pour énoncer une
généralité mathématique :
exemple des puissances :
an = a a ................(n
fois)
Explication : je sais que le principe des
puissances est le suivant : n'importe quel nombre mis
à n'importe quelle puissance, correspond à ce
nombre multiplié autant de fois par lui même
que la puissance :(voir fiche correspondante) . Au lieu de
prendre des exemples avec quantité de nombre, je peux
écrire ma formule générale avec des
lettres : Quand je fais un exercice sur les puissances, il
ne me reste plus qu'à remplacer mes lettres par les
nombres de mon exercice :
Si je
dois par exemple calculer 23 cela signifie que conformément
à ma formule :
Mon nombre a est 2
, et ma puissance n est 3 ; aussi je pourrai écrire
:
2 2 2 (3 fois) ;
23 est donc égal à
8
avec les (ou les lettres en
général), 3 possibilités :
1. Je
trouve des dans des calculs : ils
répondent alors à des règles de calcul
que je dois connaître : c'est ce que je vais voir dans
cette fiche
2. On peut me demander de remplacer par des valeurs dans des expressions
: c'est le cas de mon exemple sur les formules ci-dessus ;
c'est aussi le principe même des fonctions : j'en
verrai quelques exemples plus bas - des fiches sur les
fonctions affines et linéaires seront mises en ligne
prochainement. sont les fonctions
3. On peut me demander de calculer la valeur de
: ce sont les
équations , ou un ensemble de valeurs pour
: ce sont les inéquations :
ces 2 aspects sont développés dans des fiches
particulière (voir fiche équations et inéquations)
Calculs avec
des
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Je retrouve
souvent des dans les calculs qu'on me demande de
faire : pas de panique : je sais que ce sont des nombres,
mais lorsqu'ils se retrouvent dans des calculs, en
développement par exemple, on ne me demande pas de
donner leur valeur.
Je vais donc
simplement apprendre leurs propriétés de
calcul, et les considérer comme une catégorie
de termes à part entière, que j'appelerai
les
termes en .
Comme tous les autres termes de différente nature
(racines carrées, fractions) les termes en
peuvent être soumis aux
opérations habituelles : je dois respecter les
règles de calcul que j'ai apprises dans la rubrique
propriété des
opérations, et les appliquer aux
propriétés de calcul ci-dessous :
1/ Addition et soustraction
Avec des termes de nature différente
: je ne peux pas additionner ou
soustraire des termes en avec tout autre terme de nature
différente (nombres (dont fractions) et racines
carrées).
2 + = 2 + ; 3 -
= 3 -
Avec d'autres x : Par contre, je peux
parfaitement additionner ou soustraire des
entre eux,
conformément à la règle ci-dessous
:
Pour additionner ou soustraire des
, j'additionne
ou soustrais entre eux le nombre de
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Principe : Je compare à quelque chose
de concret, et lorque l'on me donne des termes en
, je me demande combien
cela fait de :
Exemple :
On me donne , je me demande combien cela
fait de - Réponse : 1
On me donne 2 , je me demande combien cela
fait de - Réponse : 2
On me donne 3 , je me demande combien cela
fait de - Réponse : 3
Et si on me
donne : + 2 + 3 : cela veut bien dire que j'ai 1
que je lui en ajoute 2
puis 3. J'aurai alors combien de ? 1 + 2 + 3 = 6 :
J'aurai 6
Je peux écrire : + 2 + 3 = 6 ; je viens de faire une addition
de termes en , en utilisant la
propriété d'addition des nombres de
+ 2 + 3 = (1 + 2 +
3) = 6
Le principe est
exactement le même avec des soustractions ! Essayez
de faire 3 - + 4, pour voir si vous avez compris
!
ATTENTION : Les ne s'additionnent ou se
soustraient qu'avec d'autres : je ne peux pas les additionner
ou les soustraire avec des y par exemple ou encore avec
des puissances de (voir ci-dessous)
2/ Multiplication
Règle: je ne peux pas multiplier
avec des nombres (et
fractions) ou avec des racines carrées. Par
contre, grâce à la propriété
de la multiplication je vais pouvoir associer tous ces
termes aux et ils prendront alors la nature de
terme en :
Pour tout
calcul avec ces nouveaux nombres, on utilisera alors les
propriétés des opérations avec
termes en
Avec d'autres termes en : Par contre je peux
facilement multiplier deux ou deux termes en entre eux . La
règle est simple :
Je
regarde
: conformément à la propriété
de la multiplication vue ci-dessus, si j'ai par exemple
2, qu'est-ce que cela
signifie ? Simplement que 2 = 2
Je
réfléchis : si je multiplie maintenant 4
par 2, j'aurai 4
2 = 4 2
je vois que je
peux multiplier 4 et 2 ensemble puisque ce sonr deux
nombres entiers :
Je me retrouve
en présence d'un nombre entier multipliant un
: je sais que je ne
peux pas les multiplier par contre, je peux les associer
: 8 = 8 ; ce résultat
est à nouveau un terme en
Multiplions
maintenant 2 avec 3 : 2
3
Je
retiens
: ces 2 exemples me permettent d'établir une
règle générale :
ATTENTION
: les
puissances de ne s'additionnent ou ne se
soustraient qu'entre elles : les termes en
2 ne s'additionnent et
soustraient qu'avec des termes en 2 ; les termes en
3 ne s'additionnent et
soustraient qu'avec des termes en 3 ; les termes en
4 ne s'additionnent et
soustraient qu'avec des termes en 4
etc.......
3/ Division :
Règle :
Les
ou termes en
ne se divisent qu'entre
eux :
Exemples :
;
Division avec des termes de nature
différente :
Exemple : ; je peux écrire :
= = ; j'obtiens un terme
en
diviser par 2 revient
à le multiplier par son inverse, soit
Je
remplace par une valeur
donnée
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Dans certains exercices, on peut me demander de remplacer
dans une expression par
une valeur donnée ; je sais que pouvant remplacer
n'importe quel nombre, cela ne me posera aucun
problème. L'exercice est très simple en lui
même, puisque, si j'ai compris les
propriétés des ci-dessus, l'exercice revient
simplement à calculer une expression normale, sans
terme en . Pourtant, ce type d'exercice
pose souvent des problèmes aux
élèves. Pourquoi ? Je pense qu'ils
comprennent parfaitement le but de l'exercice, c'est
souvent les consignes qui ne sont pas comprises.
Exemples
d'exercice où je dois remplacer x par une
valeur donnée :
Exercice N°
1 :
Soit
l'expression A = 2 + 7 - 3 + 6 - calculer A
avec = (-2)
C'est une des
consignes les plus claires pour ce type d'exercice
puisqu'on vous demande clairement de remplacer
par (-2) :
Je remplace
donc dans mon expression : je la réécris
pour faire apparaître toutes les
opérations :
Je peux
maintenant remplacer sans problème les
par (-2) :
2
(-2)
+ 7 - 3
(-2)
+ 6
J'obtiens
alors une expression toute simple composée de
multiplications, d'additions et de soustractions de
nombres entiers :
1. Je
calcule les multiplications, opérations
prioritaires :
2 (-2) = - 4
- 3 (-2) = + 6
2. Je
remplace le résultat de mes multiplications
dans mon expression :
3. Je
n'ai que des nombres entiers, je les calcule
ensemble :
4.
J'écris la valeur de mon expression A quand
= (-2) :
A = 15
; mon exercice est terminé
Exercice N°
2 :
Soit
l'expression f() = 4 + 2 - calculer f
(3)
Alors là
tout de suite ça se complique !!
Et pourtant l'exercice est exactement le même. La
différence est que j'arrive dans le domaine des
fonctions, et qu'il faut par conséquent comprendre
ce qu'on me demande.
Qu'est-ce qu'une fonction ? une fonction est une
expression numérique qui va me permettre de
trouver l'image de :
Exemple notre exercice :
soit f la fonction définie par
f() = 4 +2
Qu'est-ce que
cela signifie ?
Que pour
n'importe quelle valeur de on aura : image de
par la fonction f :
= 4 +2
C'est
déjà plus clair n'est-ce pas ??
Et calculer f (3) , qu'est-ce que cela signifie ? Et bien
tout simplement qu'il me faut trouver l'image de par la fonction f,
quand =
3 (3 remplace
dans ma fonction)
suivons le raisonnement :
si f() = 4 +2 signifie que l'image de
par la fonction f est
égale à 4 + 2 ; alors l'image de
3 sera égale à
:
4
3 + 2 = 14
Je peux
écrire : f (3) = 14 : c'est à dire l'image
de 3 par la fonction f est égale à
14.
Qu'est-ce
que j'ai fait concrètement ?
J'ai
remplacé dans mon expression par une
valeur donnée : 3 ; c'est-à dire exactement
la même chose que dans l'exercice N°
1......
Est-ce que j'ai
compris les fonctions ? Bof..... Je ne m'inquiète
pas : j'aurai l'occasion de les revoir dans la fiche sur
les fonctions affines et linéaires, qui seront en
ligne prochainement.
Pour l'instant, ce que j'ai besoin de savoir c'est la
signification d'un tel énoncé d'exercice.
Je dois me dire que toutes les fois que l'on me demande
de calculer la fonction d'une valeur (ex f (3)) , cela
revient exactement au même que si l'on me demandait
de calculer l'expression avec = 3 ;
Deux
types d'énoncé pour un seul et même
exercice.
Il est important de connaître et de comprendre ces
exercices car ils sont souvent au programme du Brevet des
collèges, partie activité numérique.
On les trouve généralement après un
développement d'expression. En effet, une
expression développée est toujours sous sa
forme la plus simple (car elle a été
réduite et ordonnée : voir fiche
le développement) ; elle est donc
proprice pour un remplacement des . En règle
générale, ce type d'exercice au brevet,
fait presque toujours l'objet de consignes aussi claires
que celle de l'exercice N° 1 .....Mais on ne sais
jamais ........
J'aurai
l'occasion de m'entraîner à ce type
d'exercice dans les exercices type "annales de brevet"
qui seront mis en ligne très prochainement. Je
peux d'ores et déjà m'entraîner un
peu avec l'exercice N° 4 , de la partie développement.......