LE DEVELOPPEMENT

Que veux dire développer une expression ?

Développer une expression, c'est faire le calcul de cette expression, conformément à toutes les règles de calcul que je connais :

Je fais le point sur les règles que je vais utiliser en développement :

Les opérations :

Les opérations prioritaires
La distributivité de la multiplication

La règle des signes avec les nombres relatifs

Les différentes natures de termes, et de leurs propriétés de calcul (termes en , puissances de , racines carrées, fractions ....) entre eux, et avec d'autres termes

Les propriétés des parenthèses (priorité du calcul, changement du signe des termes)
Les propriétés des puissances

Les identités remarquables

 

Si j'ai l'impression de maîtriser toutes ces règles de calcul , je peux continuer. Sinon, je retourne voir les fiches d'explication qui me semblent encore un peu vagues. Bon d'accord, je peux aussi regarder les exercices d'exemple qui vont suivre. Peut-être cela m'aidera-t-il d'avantage à savoir où j'en suis :

Exemples de développement :


Exeercice N° 1 : Développer l'expression :

10 5 + 12 - 2 + 6 3

 

Propriétés de calcul utilisées :

• Priorité de la multiplication
• Opérations et signes

 

1ère étape : Je commence par les calculs prioritaires : ici les multiplications : je calcule chacune des multiplications séparemment :

10 5 = 50
6 3 = 18

2è étape : j'inclue le résultat des multiplications dans mon calcul :

Mon expression devient : 50 + 12 - 2 + 18

Résultat de mon développement : 78

 

Exercice N° 2 : Développer l'expression :

(10 + 3 - 6 ) - (2² + 8 - 3)


Propriétés de calcul utilisées :

• Propriétés des parenthèses (priorité et règle pour enlever les parenthèses)
• Les différentes natures de termes, et leurs propriétés de calcul entre eux, et avec d'autres termes
• Et toujours : opérations et signes

 

1ère étape : Je commence par les calculs prioritaires : ici les parenthèses : je calcule chacune des parenthèses séparemment :


(10 + 3 - 6) = (10 - 6 + 3) = (4 + 3) : association des termes de même nature grâce à la propriété associative des opérations, et calcul entre eux des termes de même nature


(2² + 8 - 3) = (2² + 8 - 3) : je ne peux rien calculer à l'intérieur de la parenthèse, puisque j'ai 3 termes de nature différente.

Mon expression devient : (4 + 3) - (2² + 8 - 3)


2ème étape : Pour pouvoir terminer mon calcul, je dois supprimer les parenthèses - je fais attention à la règle que je connais par coeur : pour enlever des parenthèses dans un calcul, je dois changer les signes des termes de la parenthèse, s'il y a un signe - devant la parenthèse :

Dans mon exemple : (4 + 3) - (2² + 8 - 3)

1ère parenthèse : pas de signe - devant : je peux donc enlever la parenthèse sans rien modifier

2è parenthèse : je vois qu'il y a un signe - devant : pour enlever la parenthèse, je dois changer les signes de chacun des termes :

2² devient - 2²
+ 8 devient - 8
-3 devient + 3


Je peux maintenant écrire mon expression sans parenthèses :

4 + 3 - 2² - 8 + 3

Je vois que je peux encore effectuer des opérations : je regroupe les termes de même nature entre eux :

4 + 3 = 7
+ 3 - 8 = - 5
- 2² ne change pas puisqu'il n'y a pas d'autres termes en ²

Résultat de mon développement : 7 - 5 - 2²


Remarque : Dans un développement, on me demandera toujours d'ordonner mon résultat. Qu'est-ce que cela veut dire ? Il existe une règle de présentation des résultats selon la loi du "plus fort" : présnetation des termes du "plus fort" au "plus faible"). Pour chacun de mes résultats de développement j'observerai donc le même ordre de présentation, comme suit : Résultat de mon développement : - 2² - 5 + 7


par odre : les puissances de , les , les racines carrées puis les nombres

Je vais donc réécrire mon résultat en l'ordonnant : - 2² - 5 + 7




Exercice N° 3 : Développer l'expression :

10 (5 + 4) ou 10 (5 + 4) : (absence de signe = multiplication)


Propriétés de calcul utilisées :

• Distributivité de la multiplication
• Et toujours : opérations et signes + Les différentes natures de termes, et leurs propriétés de calcul entre eux, et avec d'autres termes

 

1ère étape : je regarde ma parenthèse , qui va être ma priorité de calcul. Je vois qu'elle est simplifiée au maximum puisque je ne peux pas additionner des et des nombres entiers. Je vais donc m'occuper de la multiplication : je vois qu'un nombre multiplie une parenthèse ; conformément aux différentes règles que je connais, je sais que je dois 'appliquer la distributivité de la multiplication, c'est à dire distribuer (multiplier) 10 par chacun des temes de ma parenthèse : je peux écrire :

10 5 + 10 4

2è étape : Je fais le calcul de l'expression en effectuant les multiplications en priorité


Résultat de mon développement : 50 + 40

Je vérifie au passage que mon résultat est correctement ordonné : les termes en sont bien avant les nombres ; mon résultat est correctement ordonné.




Exercice N° 4 : Développer l'expression :

 

Propriétés de calcul utilisées :

• Multiplication de 2 parenthèses
• Et toujours : opérations et signes + Les différentes natures de termes, et leurs propriétés de calcul entre eux, et avec d'autres termes
  

  Développement N° 1: (3 + 5) (2 - 4)

 

1ère étape : Je commence par les calculs prioritaires : ici les parenthèses : je calcule chacune des parenthèses séparemment : je ne peux rien calculer à l'intérieur des parenthèses, puisque j'ai des termes de nature différente.

2è étape : Je vais donc effectuer le calcul demandé : quel est le calcul demandé? une multiplication bien sûr, puisqu'il n'y a pas de signe entre les 2 parenthèses :
j'applique la distributivité de la multiplication : je distribue (multiplie) chacun des termes de la 1ère parenthèse, sur (avec) chacun des termes de la 2è parenthèse : j'obtiens ceci :

3 2 + 3 (-4) + 5 2 + 5 (-4)


3è étape : J'effectue le calcul de chaque multiplication :

3 2 = (3 2) ( ) = 6 ² = 6²

3 (-4) = (3 -4) = -12 = -12

5 2 = (5 2) = 10 = 10x

5 (-4) = - 20



4è étape : Je réécris mon expression en incluant les résultats de mes multiplications :

6² - 12 + 10 - 20

5è étape : J'effectue le calcul de mon expression, en calculant les termes de même nature :

-12 + 10 = - 2

Résultat ordonné de mon développement : 6² - 2 - 20

 

Développement N° 2 : 4 + 7 - (3 + 5) (2 - 4)


La différence avec le développement N° 1 : des calculs sont venus s'ajouter avant la multiplication des 2 parenthèses, et du coup il y a un signe - devant la première parenthèse.

Qu'est-ce que cela signifie ? Concrètement, on me demande de soustraire le résultat de ma multiplication de parenthèses.


Qu'est ce que cela implique au niveau du calcul ? : je dois faire le calcul de ma mulplication entre parenthèses (car c'est la totalité du résultat de cette multiplication qu'on me demande de soustraire).

Et pourquoi conserver les parenthèses ? C'est le signe - qui me l'oblige. En effet, pour enlever les parenthèses, je devrai changer le signe de chacun des termes du résultat de ma multiplication.

 Je reprends mon calcul :


Dans la 1ère partie, je ne peux rien calculer, car je ne peux pas additionner des termes en et des nombres entiers. Je vais donc m'occuper de la multiplication des parenthèses, en prenant bien garde à conserver les parenthèses


 Je reprends le résultat du calcul déjà effectué dans le développement N° 1 :

Mon expression devient : 4 + 7 - (6² - 2 - 20)


L'étape suivante consistera donc à enlever les parenthèses ; comme il y a un signe - devant, bien entendu, je change les signes de chacun des termes :

4 + 7 - 6² + 2+ 20

Il ne me reste plus maintenant qu'une série d'additions et de soustractions : je regroupe les termes de même nature pour les calculer :


7 + 20 = 27
4 + 2 = 6
- 6² ne change pas puisqu'il n'y a pas d'autres termes en x²

Résultat ordonné de mon développement : - 6² + 6 + 27


Et voilà, le tour est joué ! Avouez que si je n'avais pas gardé les parenthèses, puis changé les signes des termes le résultat aurait été complètement différent non ?? Totalement faux d'ailleurs. Alors il faut toujours bien penser à cela :

signe - devant une parenthèse = danger !!


Exercice N° 5 : Développer l'expression :

(2 - 3)²

Propriétés de calcul utilisées :

• Puissances
• Identités remarquables
• Et toujours : opérations et signes + Les différentes natures de termes, et leurs propriétés de calcul entre eux, et avec d'autres termes

1ère étape : Je commence par les calculs prioritaires : ici c'est simple il n'y a que des parenthèses : je ne peux rien calculer à l'intérieur des parenthèses, puisque j'ai des termes de nature différente.

La puissance étant une multiplication, (voir fiche les puissances) je vais donc effectuer le calcul de la puissance.

Pour ce calcul , 2 solutions :

1ère solution : je sais qu'un nombre au carré est un nombre multiplié par lui-même ; une parenthèse au carré est donc une parenthèse multipliée par elle-même non ???
j'écris : (2 - 3)² = (2 - 3) (2 - 3)


Je me retrouve alors avec une multiplication de parenthèses : j'applique la distributivité de la multiplication (je multiplie chacun des termes de la 1ère parenthèse par chacun des termes de la seconde parenthèse.

(2 - 3) (2 - 3) = 2 2 + 2 (- 3) - 3 2 - 3 (- 3)

J'effectue le calcul de chaque multiplication :

2 2 = (2 2) ( ) = 4 ² = 4²

2 (- 3) = (2 - 3) = - 6 = - 6

- 3 2 = (-3 2) = - 6 = - 6

- 3 (- 3) = 9



Je réécris mon expression en incluant les résultats de mes multiplications :

4² - 6 - 6 + 9

J'effectue le calcul de mon expression, en calculant les termes de même nature :

- 6 - 6 = - 12

Résultat ordonné de mon développement : 4² - 12 + 9



2ème solution : j'ai lu, compris et appris la fiche sur les identités remarquables, et sais que je peux reconnaître la présence d'une identité remarquable lorsque j'ai une parenthèse au carré (voir fiche les identités remarquables) : une parenthèse au carré = une identité remarquable ???

Je regarde à laquelle des 3 identités remarquables (2 - 3)² peut correspondre. Je suis en développement, voici les identités remarquables dont je dispose :

(a + b)2

(a - b)2

(a + b) (a - b)

(2 - 3)² ne correspond-il pas au 2è des modèles : (a - b)² ?
Sans aucun doute oui, avec a = 2 et b = 3

J'ai reconnu une identité remarquable. Que me reste-t-il à faire ? A donner son équivalence développée :

Je récite la formule correspondante :

(a - b)² = a² - 2ab + b² (2ab = 2 a b)

 

Et je remplace a et b dans ma formule développée :

(2 - 3)² = (2) ² - 2 2 3 + (-3)²


Je termine les calculs :

(2) ² = 2^{2 2} (ou 2 2 ) = 4x²
- 2 2 3 = ( - 2 2 3) = - 12 = - 12x
(-3)² = (-3) (-3) = 9

Je réécris mon expression en incluant les résultats de mes multiplications :

4² - 12 + 9

Je ne peux plus rien calculer : j'ai le résultat ordonné de mon développement.


Remarque : les 2 méthodes sont valables, mais je trouve personnellement que l'utilisation des identités remarquables permet un gain de temps, et sûrement d'éviter beaucoup d'erreurs avec la distributivité, notamment au niveau des signes. Mais encore une fois, chacun choisit la méthode qu'il préfère, et surtout qu'il arrive le mieux à utiliser, pour faire des développements qui soient justes : n'est-pas après tout l'unique but de tout cela ????

Tenez un petit test, juste pour voir :
Développer l'expression : (4 + 3) (4 - 3)

Deux méthodes sont possibles (cela veut tout dire, n'est-ce pas ?). Allez forcez-vous un peu ! Développez l'expression avec les 2 méthodes, et jugez par vous même : laquelle est la + simple ??


Exercice N° 6 : Développer l'expression :

-5 (2 - 3)² - 36

Propriétés de calcul utilisées :

• Puissances et multiplications
• Identités remarquables
• Et toujours : opérations et signes + Les différentes natures de termes, et leurs propriétés de calcul entre eux, et avec d'autres termes

1ère étape : Je commence par les calculs prioritaires : ici les parenthèses : je ne peux rien calculer à l'intérieur des parenthèses, puisque j'ai des termes de nature différente.

2è étape : Je vais donc regarder les autres calculs demandés : quel sont ces calculs ? une parenthèse avec une puissance, une multiplication et une soustraction :

J'applique l'ordre des priorités que je connais :

1. Calcul de la puissance
2. Calcul de la multiplication
3. Soustraction

1. J'ai déjà calculé (2 - 3)² dans mon exercice précédent :

(2 - 3)² = 4² - 12 + 9

Je remplace ce résultat dans mon expression :

-5 (4² - 12 + 9) - 36 ; je laisse le résultat entre parenthèses car la multiplication porte sur la totalité des termes de la parenthèses

2. Je calcule maintenant la multiplication en applicant la distributivité : JE FAIS TRES ATTENTION AU SIGNE -

-5 (4² - 12 + 9) = -5 4² - 5 (-12) - 5 9 = -20² + 60 - 45

Je remplace ce résultat dans mon expression :

-20² + 60 - 45 - 36

3. Je termine mon développement : je peux calculer - 45 - 36 = - 81

Le résultat réduit et ordonné de mon développement est : -20² + 60 - 81


Grâce à tous ces exercices d'exemple, vous êtes maintenant parés à faire des exercices vous mêmes non ??? Les schémas d'expression dans les exercices de développement, ressemblent presque tout le temps à ceux que nous venons de voir ; certaines fois, ce peut être un mélange de tous ces exemples, mais ça ne change rien à la méthode utilisée pour les calculer. Si vous avez bien compris le détail de tous les calculs, vous serez bientôt les champions du monde du développement !!!!!!!!