 , y, a, b, t ....)Pourquoi ai-je besoin de me rappeler la définition d'une équation ? Et bien tout simplement parce que pour l'inéquation, c'est la même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation est une inégalité : comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents termes, dont au moins une inconnue.
 Egalité : symbolisée par le
signe = ; Lorque je résouds une
équation, mon inconnue correspond à
une valeur et une seule
- 2 = 0 ; x = 2 ; la valeur
de est 2
C'est la
différence fondamentale entre une
égalité et une
inégalité:
< : se lit "strictement inférieur à "ou "strictement plus petit que" > : se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que"  se lit
"inférieur
ou
égal à "ou
"plus petit ou
égal à " se lit
"supérieur
ou
égal à "ou
"plus grand ou
égal à "
Si je me rappelle un peu de mes programmes antérieurs, (je crois que c'est le programme de 5è), j'ai déjà vu ces signes dans la leçon sur les comparaisons et encadrement de nombres - Je me rappelle :
ou encore : faire un encadrement du nombre 5,2 à 10-1: cela revient à dire entre quels nombres à 1 chiffre après la virgule est compris 5,2 : j'écris :
Règle : les signes des inégalités impliquent toujour le plus petit nombre du côté de la pointe du signe (plus petit côté), et le plus grand nombre du côté ouvrant du signe (+ grand côté)
Application des
inégalités à des
< 2
Résoudre
l'inégalité reviendrait alors à
chercher la valeur de
Je reprends mon
exemple ci-dessus :
< 21ère
étape : je transcris mon
énoncé en français pour mieux
comprendre : on me demande de chercher les valeurs de
Je rectifie mon
énoncé : on me demande de chercher les
valeurs de 2ème
étape : je réfléchis
à mes solutions : toutes les valeurs
inférieures à 2 (2 exclus) seront solutions
pour
Dire que la
solution de mon inéquation regroupe toutes les
valeurs inférieures à 2 (2 exclu des
solutions) - je vais donc prendre toutes les valeurs
correspondant à ce critère, et ce
jusqu'à -
Je viens
d'écrire que l'ensemble des solutions de mon
inéquations va de moins l'infini à 2 exclus
: les crochets extérieurs ].....[ montrent que les
2 valeurs des extrémités sont exclues. De
toutes les façons, -
2. Je
délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes
solutions : de -
A la valeur 2, je n'oublie pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué je viens de résoudre ma première inéquation. Exercice N° 2 : Résoudre l'inéquation : 2 - 3 + 3 - 5Je me trouve en
présence d'une
inégalité composée de
différents calculs avec différents termes
dont au moins une
inconnue. Pour résoudre une
équation je dois séparer mon inconnue
des autres termes de l'égalité :
règle : chaque fois que je passe un terme de
l'un ou de l'autre des côtés de
l'égalité, je change le signe de ce
terme : Même
chose pour les inéquations
Je reprends mon
exercice : Résoudre l'inéquation : 2 - 3 +
1ère
étape : Comme en équation;
j'isole
2ème étape : Tous les termes à droite de ma parenthèse, sont des nombres , je peux effectuer leur calcul : 3 - 5 - 2 + 3 3 - 5 - 2 + 3 = -1je peux écrire : -1
Dire que la
solution de mon inéquation regroupe toutes les
valeurs supérieures ou égales à -1
(- 1 inclus dans les solutions) revient à dire que
je pars de -1 et jusqu'à plus l'infini (+
Je marque
l'appartenance du - 1 à l'ensemble de mes
solutions par le crochet fermé [.......Commme
d'habitude, +
2. Je
délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes
solutions : de -1 inclus à +
A la valeur -1, je n'oublie pas de marquer le signe [.... pour montrer que cette valeur est inclue dans les solutions.
+ 7 + > 3 - 5 + 4 1ère
étape : Comme tout à l'heure, et
comme pour les équations, je sépare les
termes en
2. Je passe mes autres termes à droite de ma parenthèse : 7 va devenir - 7 Je peux écrire :
2ème étape : Tous les termes de même nature sont regroupés de part et d'autre de mon égalité, je vais pouvoir en effectuer le calcul : - 4
+
= - 3
; conformément aux priorités de
calcul des termes en 3 - 5 + 4 - 7 = -5je peux écrire : - 3 > -5Je
m'aperçois que je me retrouve avec une expression
sous la forme a
= - 3  Comme pour une équation, je vais isoler en faisant la
division de - 5 par - 3
ATTENTION :
Je m'aperçois que pour isoler <  en divisant - 5
par - 3 , je change le sens de
l'inégalité<
j'ai
résolu mon inéquation : je dois maintenant
en écrire les solutions : j'interprète :
les solutions de mon inéquations
représentent l'ensemble des valeurs strictement
inférieures à
Dire que la
solution de mon inéquation regroupe toutes les
valeurs strictement inférieures à
Je marque
l'exclusion de
, ma valeur butoire
:
2. Je
délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes
solutions : de
A la valeur
- 
 + 1ère étape : Je mets tous les termes de mon inéqiation sous le même dénominateur : les dénominateurs existants : 2 et 4 : je recherche un dénominateur commun : 4 Je vais donc mettre tous les termes de
mon equation sur 4 :
3  -  + 
2ème étape : Tous les termes de mon inéquation sont maintenant sous le même dénominateur : conformément à la règle que je connais, je vais pouvoir les supprimer. Mon inéquation devient :
- 2 3 + 4
- 2 -
4 3
- 2 - 4 = 6x
j'ai
résolu mon inéquation : je dois maintenant
en écrire les solutions : j'interprète :
les solutions de mon inéquations
représentent l'ensemble des valeurs
inférieures ou égales à
Dire que la
solution de mon inéquation regroupe toutes les
valeurs inférieures ou égales à
Je marque
l'appartenance de
, ma valeur butoire
:
2. Je
délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes
solutions : de
A la valeur
On peut me demander certaines fois de résoudre un système d'inéquations. Qu'est-ce que c'est ? C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La particularité du système ? L'ensemble des solutions du système est l'interserction des solutions des 2 équations à résoudre.
Exercice : Résoudre le système d'inéquation suivant :
3 - 5- 4 + 7 + > 3 - 5 + 4
Méthode : 1ère
étape : Je résouds mes
inéquations chacune séparément :
2ème
étape : Je résouds maintenant
mon système d' inéquations : comme je vous
l'ai dit plus haut, les solutions de mon système
correspondent aux solutions communes à mes 2
inéquations. Pour y voir plus clair, je
représente les solutions de chacune des 2
inéquations. Mais cette fois, je les
représente sur le même schéma
:
des solutions :
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble des solutions de mes 2 inéquations :
 b. La 2ème en orange : de exclus à - :
3. Je regarde sur le graphique quelle est la partie commune aux solutions des 2 équations : quelle est la partie du schéma qui est délimitée à la fois par le vert et le orange ? c'est la partie :
C'est donc cette partie qui sera solution de mon système d'inéquations. J'écris :
-1 est
solution de la 1ère inéquation : le
crochet fermant le montre Je peux maintenant écrire l'ensemble des solutions de mon système : [
Nous avons vu dans la fiche sur les équations, que les équations permettaient de résoudre certains problèmes. Comment ? Par la mise en équation des données du problème, tout simplement. Et bien nous allons voir maintenant que les inéquations permettent aussi de résoudre certains problèmes tout du moins certaines parties de problèmes. Et oui, il n'y a pas de raison !Voyons comment ça marche !
[ La société ALO propose un abonnement téléphonique de 98 F par mois et 1,30 F par minute de communication. La societé LAO propose un abonnement téléphonique de 95 F par mois et 1,45 F par minute de communication. On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois .
le montant d'une facture de ALO, puis le montant d'une
facture de LAO2. Pour quelle durée de communication mensuelles a-t-on interêt à choisir ALO ? ]
Soit le nombre de minutes de
communication par mois2ème étape : Je comprends mon problème et isole les éléments qui vont me permettre de le résoudre. Ensuite, j'essaie d'interpréter les données, et les retranscrire en écriture mathématique Qu'est-ce qu'on me dit ? a / J'ai le choix entre 2 formules de communication :
abonnement 98 F + 1,30 F /mm de
communication.La 2ème : Société LAO abonnement 95 F + 1,45 F /mm de
communication.Concrètement, cela veut
dire quoi ? Si j'ai posé
98 + 1,30 : 98 + 1,30LAO 95 + 1,45 : 95 + 1,45
Je viens de
retranscrire l'énoncé de mon
problème en fonction de
< 95 + 1,45
La mise en
inégalité de mes 2 formules va me permettre
de déterminer pour quelles valeurs de x la
première formule est plus avantageuse que la
deuxième (c'est à dire inférieure
à). Pourquoi ai-je choisi le "strictement" ? Tout
simplement parce que si j'avais choisi le "ou
égal", ma valeur butoire de
< 95 + 1,45
1,30 5ème
étape : je restitue le résultat
de mon inéquation dans le contexte de mon
problème : si J'ai intérêt de choisir la formule ALO à partir de 21 minutes de communication mensuelle.
NB : Comme pour les problèmes avec des équations, je vérifie quand même la cohérence de mon résultat dans l'autre sens : 20 minutes étant ma valeur butoire, je regarde si effectivement les 2 formules me couteront le même prix pour ce temps de communication :
98 + 1,30 20 : 98 + 26 = 124LAO 95 + 1,45 20 : 95 + 29 = 124
Mon raisonnement est juste : pour 20 minutes de communication mensuelle, les 2 formules me coutent le même prix, soit 124 F. Essayons maintenant avec des valeurs supérieures à 20 mn : !
Mon
résultat semble se vérifier : pour toutes
les communications supérieures à 20 mn, les
communications avec ALO me couteront moins cher qu'avec
LAO. Mon problème doit être correctement
résolu !!!!
|
( c
÷ b ) : Même chose
pour les inéquations :
( c ÷ b )
)
; mon inconnue est
négative : je divise 2 par -1 et change le
sens de l'inégalité
1,666666.....
(3 ÷ 6)