Pourquoi ai-je besoin de me rappeler la définition d'une équation ? Et bien tout simplement parce que pour l'inéquation, c'est la même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation est une inégalité : comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents termes, dont au moins une inconnue.
Egalité : symbolisée par le signe = ; Lorque je résouds une équation, mon inconnue correspond à une valeur et une seule
Inégalité : symbolisée par les signes < ; > ; ; ; Lorque je résouds une inéquation, mon inconnue peut-être plusieurs valeurs. La solution de mon inéquation est un ensemble de valeurs. C'est la
différence fondamentale entre une
égalité et une
inégalité:
< : se lit "strictement inférieur à "ou "strictement plus petit que" > : se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que" se lit "inférieur ou égal à "ou "plus petit ou égal à " se lit "supérieur ou égal à "ou "plus grand ou égal à " Si je me rappelle un peu de mes programmes antérieurs, (je crois que c'est le programme de 5è), j'ai déjà vu ces signes dans la leçon sur les comparaisons et encadrement de nombres - Je me rappelle :
ou encore : faire un encadrement du nombre 5,2 à 10-1: cela revient à dire entre quels nombres à 1 chiffre après la virgule est compris 5,2 : j'écris :
Règle : les signes des inégalités impliquent toujour le plus petit nombre du côté de la pointe du signe (plus petit côté), et le plus grand nombre du côté ouvrant du signe (+ grand côté)
Application des inégalités à des : représentant n'importe quelle valeur de nombre, je peux lui appliquer des conditions d'inégalités :
Résoudre l'inégalité reviendrait alors à chercher la valeur de inférieure à 2. Est-ce qu'il existe une seule valeur de nombre inférieure à 2 ? Bien sûr que non ! Je peux dire que 1 est inférieur à 2 , 0 est inférieur à 2, -1 est inférieur à 2 etc.... etc.....; et ceci n'est que pour les nombres entiers ; je ne parle pas des nombres décimaux..............Je peux alors reprendre mon idée du départ, et dire que si je devais résoudre cette inégalité, j'aurais un ensemble de solutions pour : c'est le principe même de l'inéquation.
Je reprends mon
exemple ci-dessus :
1ère
étape : je transcris mon
énoncé en français pour mieux
comprendre : on me demande de chercher les valeurs de
inférieures
à 2
Je rectifie mon énoncé : on me demande de chercher les valeurs de strictement inférieures à 2 : c'est à dire que 2 ne sera pas compris dans l'ensemble de mes solutions 2ème
étape : je réfléchis
à mes solutions : toutes les valeurs
inférieures à 2 (2 exclus) seront solutions
pour :
- 10 sera solution, - 125869 sera solution .....
Dire que la solution de mon inéquation regroupe toutes les valeurs inférieures à 2 (2 exclu des solutions) - je vais donc prendre toutes les valeurs correspondant à ce critère, et ce jusqu'à -: j'écris l'ensemble de mes solutions :
Je viens
d'écrire que l'ensemble des solutions de mon
inéquations va de moins l'infini à 2 exclus
: les crochets extérieurs ].....[ montrent que les
2 valeurs des extrémités sont exclues. De
toutes les façons, -et + sont toujours exclues ;
.2 est également exclus , .....2 [ parce que
l'inéquation demande des valeurs strictement
inférieures à 2
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes solutions : de -à 2 exclu :
A la valeur 2, je n'oublie pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué je viens de résoudre ma première inéquation. Exercice N° 2 : Résoudre l'inéquation : 2 - 3 + 3 - 5 Je me trouve en
présence d'une
inégalité composée de
différents calculs avec différents termes
dont au moins une
inconnue.
Je reprends mon
exercice : Résoudre l'inéquation : 2 - 3 +
3
- 5 1ère étape : Comme en équation; j'isole dans la partie gauche de mon équation, conformément à la propriété énoncée ci-dessus, et je passe tous les termes qui accompagnent de l'autre côté de l'égalité en changeant leur signe :
2 - 3 + 3 - 5 2ème étape : Tous les termes à droite de ma parenthèse, sont des nombres , je peux effectuer leur calcul :
3 - 5 - 2 + 3 = -1 je peux écrire : -1
Dire que la solution de mon inéquation regroupe toutes les valeurs supérieures ou égales à -1 (- 1 inclus dans les solutions) revient à dire que je pars de -1 et jusqu'à plus l'infini (+): j'écris l'ensemble de mes solutions :
Je marque
l'appartenance du - 1 à l'ensemble de mes
solutions par le crochet fermé [.......Commme
d'habitude, + se
termine par un crochet ouvert .........[
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes solutions : de -1 inclus à +:
A la valeur -1, je n'oublie pas de marquer le signe [.... pour montrer que cette valeur est inclue dans les solutions.
1ère étape : Comme tout à l'heure, et comme pour les équations, je sépare les termes en des autres termes : je conserve du côté gauche de mon égalité, (puisqu'il y est déjà) et je passe tous les autres termes du côté droit, en changeant leur signe , conformément à la propriété que je connais :
2. Je passe mes autres termes à droite de ma parenthèse : 7 va devenir - 7 Je peux écrire :
2ème étape : Tous les termes de même nature sont regroupés de part et d'autre de mon égalité, je vais pouvoir en effectuer le calcul :
3 - 5 + 4 - 7 = -5 je peux écrire : - 3 > -5 Je m'aperçois que je me retrouve avec une expression sous la forme a b > c
Comme pour une équation, je vais isoler en faisant la division de - 5 par - 3 ATTENTION : Je m'aperçois que pour isoler , jevais diviser le terme de l'autre côté de l'inégalité par un nombre négatif : j'applique la règle correspondante : si mon incommue est négative ( -1 ou par tout autre nombre) : pour l'isoler, je divise l'autre terme de mon inégalité par ce nombre négatif, et je change le sens de mon inégalité. Je vais alors écrire :
< j'ai résolu mon inéquation : je dois maintenant en écrire les solutions : j'interprète : les solutions de mon inéquations représentent l'ensemble des valeurs strictement inférieures à Le strictement implique que la valeur butoire, c'est-à dire , soit exclue de l'ensemble des solution de l'inéquation : Jusqu'où vais-je trouver des solutions ? Je reprends le schéma du système numérique et place ma valeur butoire : est > 0 puisque 1,666666.....
Dire que la solution de mon inéquation regroupe toutes les valeurs strictement inférieures à (exclus des solutions) revient à dire que je pars de et vais jusqu'à moins l'infini (-): j'écris l'ensemble de mes solutions :
Je marque
l'exclusion de de l'ensemble de mes
solutions par le crochet ouvert.......[ Commme
d'habitude,
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes solutions : de exclus à - :
A la valeur , je n'oublie pas de marquer le signe....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions.
1ère étape : Je mets tous les termes de mon inéqiation sous le même dénominateur : les dénominateurs existants : 2 et 4 : je recherche un dénominateur commun : 4 Je vais donc mettre tous les termes de mon equation sur 4 : 3
(dénominateur 1) : Pour faire 4 , je dois
multiplier le dénominateur par 4 , je vais donc
également multipier mon numérateur par 4
: 3
=
2ème étape : Tous les termes de mon inéquation sont maintenant sous le même dénominateur : conformément à la règle que je connais, je vais pouvoir les supprimer. Mon inéquation devient :
Je retombe sur une inéquation normale, sans dénominateur : je vais la résoudre comme toutes les autres : Je sépare les termes en d'un côté de l'égalité et les autres termes de l'autre côté, en changeant les signes de chacun des termes que je change de côté :
Je fais le calcul des x conformément aux priorités de calcul des termes en
je peux écrire : 6 3 j'ai résolu mon inéquation : je dois maintenant en écrire les solutions : j'interprète : les solutions de mon inéquations représentent l'ensemble des valeurs inférieures ou égales à Le "ou égal" implique que la valeur butoire, c'est-à dire , soit inclue dans l'ensemble des solution de l'inéquation : Jusqu'où vais-je trouver des solutions ? Je reprends le schéma du système numérique et place ma valeur butoire : est > 0 puisque = 0,5
Dire que la solution de mon inéquation regroupe toutes les valeurs inférieures ou égales à (inclus dans les solutions) revient à dire que je pars de et vais jusqu'à moins l'infini (-): j'écris l'ensemble de mes solutions :
Je marque
l'appartenance de à l'ensemble de
mes solutions par le crochet fermé .......] Commme
d'habitude,
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble de mes solutions : de inclus à - :
A la valeur , je n'oublie pas de marquer le signe....] pour montrer que cette valeur fait partie des solutions.
On peut me demander certaines fois de résoudre un système d'inéquations. Qu'est-ce que c'est ? C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La particularité du système ? L'ensemble des solutions du système est l'interserction des solutions des 2 équations à résoudre.
Exercice : Résoudre le système d'inéquation suivant :
- 4 + 7 + > 3 - 5 + 4 Méthode : 1ère
étape : Je résouds mes
inéquations chacune séparément :
2ème
étape : Je résouds maintenant
mon système d' inéquations : comme je vous
l'ai dit plus haut, les solutions de mon système
correspondent aux solutions communes à mes 2
inéquations. Pour y voir plus clair, je
représente les solutions de chacune des 2
inéquations. Mais cette fois, je les
représente sur le même schéma
:
des solutions :
2. Je délimite au stylo de couleur l'ensemble des solutions de mes 2 inéquations :
b. La 2ème en orange : de exclus à - :
3. Je regarde sur le graphique quelle est la partie commune aux solutions des 2 équations : quelle est la partie du schéma qui est délimitée à la fois par le vert et le orange ? c'est la partie :
C'est donc cette partie qui sera solution de mon système d'inéquations. J'écris :
-1 est
solution de la 1ère inéquation : le
crochet fermant le montre Je peux maintenant écrire l'ensemble des solutions de mon système :
Nous avons vu dans la fiche sur les équations, que les équations permettaient de résoudre certains problèmes. Comment ? Par la mise en équation des données du problème, tout simplement. Et bien nous allons voir maintenant que les inéquations permettent aussi de résoudre certains problèmes tout du moins certaines parties de problèmes. Et oui, il n'y a pas de raison !Voyons comment ça marche !
[ La société ALO propose un abonnement téléphonique de 98 F par mois et 1,30 F par minute de communication. La societé LAO propose un abonnement téléphonique de 95 F par mois et 1,45 F par minute de communication. On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois .
2. Pour quelle durée de communication mensuelles a-t-on interêt à choisir ALO ? ]
2ème étape : Je comprends mon problème et isole les éléments qui vont me permettre de le résoudre. Ensuite, j'essaie d'interpréter les données, et les retranscrire en écriture mathématique Qu'est-ce qu'on me dit ? a / J'ai le choix entre 2 formules de communication :
La 2ème : Société LAO abonnement 95 F + 1,45 F /mm de communication. Concrètement, cela veut dire quoi ? Si j'ai posé le nombre de minutes de communication par mois, je peux maintenant retranscrire chacune des 2 formules en écriture mathématique :
LAO 95 + 1,45 : 95 + 1,45 Je viens de
retranscrire l'énoncé de mon
problème en fonction de , l'inconnue que j'ai posé : cela
tombe bien, car je m'aperçois que, grâce
à mon raisonnement logique je viens de
répondre à la première question du
problème. Me guideraient-ils dans mes
démarches ? Sans aucun doute !!!
La mise en
inégalité de mes 2 formules va me permettre
de déterminer pour quelles valeurs de x la
première formule est plus avantageuse que la
deuxième (c'est à dire inférieure
à). Pourquoi ai-je choisi le "strictement" ? Tout
simplement parce que si j'avais choisi le "ou
égal", ma valeur butoire de aurait convenu aussi
bien pour la 1ère que pour la 2è (valeur
butoire = 2ème formule aussi avantageuse que la
1ère). Or ce n'est pas tout à fait ce qu'on
me demande :
1,30 -
1,45 < 95
- 98 5ème étape : je restitue le résultat de mon inéquation dans le contexte de mon problème : si représente le nombre de minutes de communication par mois, cela veut dire que le nombre de minutes de communication doit être strictement supérieur à 20 pour que la formule ALO soit plus avantageuse que la formule LAO. Par conséquent, je réponds à la question de mon problème par une phrase en français : J'ai intérêt de choisir la formule ALO à partir de 21 minutes de communication mensuelle.
NB : Comme pour les problèmes avec des équations, je vérifie quand même la cohérence de mon résultat dans l'autre sens : 20 minutes étant ma valeur butoire, je regarde si effectivement les 2 formules me couteront le même prix pour ce temps de communication :
LAO 95 + 1,45 20 : 95 + 29 = 124 Mon raisonnement est juste : pour 20 minutes de communication mensuelle, les 2 formules me coutent le même prix, soit 124 F. Essayons maintenant avec des valeurs supérieures à 20 mn : !
Mon
résultat semble se vérifier : pour toutes
les communications supérieures à 20 mn, les
communications avec ALO me couteront moins cher qu'avec
LAO. Mon problème doit être correctement
résolu !!!!
|