Résoudre une équation, c'est calculer la valeur de la ou des inconnues de l'égalité Vocabulaire :
Une équation du 1er degrés est une égalité à une seule inconnue (souvent , mais on peut trouver aussi dans certains exercices y, a, b, t ....) .
Faisons une petite expérience avec des nombres que l'on connaît :
2 + 5 = 7 2 + 5 - 3 = 4 2 5 = 10 Ces égalités je les connais, car je sais faire une addition et une multiplication n'est-ce pas ?
Ces opérations je sais les faire, elles sont faciles non ? Imaginons maintenant que je remplace 5 par (puisque de toutes façons peut être n'importe quel nombre) : je reprends mes égalités :
Je sais maintenant comment extraire dans mes 3 égalités (de la même façon que j'ai extrait 5)
2ème Etape : Ces 3 exemples me permettent d'apprendre deux règles indispensables pour la résolution d'une équation (calcul d'une inconnue) :
ATTENTION : Le principe de l'équation ne doit pas me faire oublier les différentes règles de calcul que j'ai apprises : en effet la résolution d'une équation passe d'abord par le calcul d'une expression avant le calcul d'une inconnue.
Résoudre l'équation : 2 - 3 + = 3 - 5 1ère étape : j'isole x dans la partie gauche de mon équation, conformément à la propriété énoncée ci-dessus, et je passe tous les termes qui accompagnent de l'autre côté de l'égalité en changeant leur signe :: Remarque : afin de ne pas m'embrouiller dans les signes, je choisis de laisser du côté où il est : dans cet exemple, je vais donc laisser à gauche de mon égalité, et passer tous les autres termes à droite
2 - 3 + = 3 - 5 2ème étape : Tous les termes à droite de ma parenthèse, sont des nombres , je peux effectuer leur calcul :
3 - 5 - 2 + 3 = -1 je peux écrire : = -1 Je viens de trouver la valeur de , soit -1 : j'ai résolu mon équation
Exercice 2 : Résoudre
l'équation : 3 - 2
+ 7 +
= 3 - 5 + 4 1ère étape : Comme tout à l'heure je sépare des autres termes : je conserve du côté gauche de mon égalité, (puisqu'il y est déjà) et je passe tous les autres termes du côté droit, en changeant leur signe , conformément à la propriété énoncée ci-dessus :
Je regroupe donc mes termes en
2ème étape : Tous les termes de même nature sont regroupés de part et d'autre de mon égalité, je vais pouvoir en effectuer le calcul :
3 - 5 + 4 - 7 = -5 je peux écrire : 2 = -5 Je m'aperçois que je me retrouve avec une expression sous la forme a x b = c
Comment, dans ce cas, isoler ? En utilisant la 2è propriété que je connais : Si a b = c alors ( c ÷ b )
Qu'est-ce que je vois ? j'obtiens une fraction : conformément aux propriétés des fractions, je vais pouvoir écrire :
ou si on me demande un résultat en nombre décimal :
Remarque : dans une équation avec plusieurs termes en , les termes en peuvent se trouver de part et d'autre de l'égalité : si j'ai décidé de mettre les termes en du côté gauche de mon égalité, je dois regrouper tous ceux qui se trouvent du côté droit, en n'oubliant pas de changer leur signe :
Résoudre
l'équation : 3 - 2
+ 7 = 3 - 5 + 4 - 1ère étape : Comme tout à l'heure je sépare des autres termes : je conserve du côté gauche de mon égalité, (puisqu'il y est déjà) et je passe tous les autres termes du côté droit, en changeant leur signe , conformément à la propriété énoncée ci-dessus :
Je regroupe donc mes termes en : 3 - 2 + Je passe mes autres termes à droite de ma parenthèse : 7 va devenir - 7 : 3 - 5 + 4 - 7 Je peux écrire :
Je retombe effectivement sur l'équation de mon exercice n° 2 : pour voir la fin du calcul, voir ci-dessus
Exercice 3: Equations et fractions Résoudre
l'équation : 3 -
=
+ La
particularité des cette équation, est que
certains termes sont en écriture fractionnaire :
cela va compliquer mon calcul : je vais voir que je peux
me débarasser des dénominateurs, qui
compliquent mon calcul :
Les dénominateurs de mes fractions : 2 et 4 : je recherche un dénominateur commun : 4 Je vais donc mettre tous les termes de mon equation sur 4 : 3
(dénominateur 1) : Pour faire 4 , je dois
multiplier le dénominateur par 4 , je vais donc
également multipier mon numérateur par 4
: 3
=
Conformément à la règle que je viens de voir, puisque tous les termes sont sous le même dénominateur, je peux maintenant me débarrasser de ce dénominateur ; je peux écrire :
Je retombe sur une équation normale, sans dénominateur : je vais la résoudre comme toutes les autres : Je sépare les termes en d'un côté de l'égalité et les autres termes de l'autre côté, en changeant les signes de chacun des termes que je change de côté :
Je fais le calcul des x conformément aux priorités de calcul des termes en
je peux écrire : 6 = 3 Le principe de résolution d'une équation n'est pas dur en lui même, mais il ne faut pas aller trop vite et toujours suivre la même méthode :
Et c'est tout : la plus grosse difficulté je crois est de ne pas se tromper dans les signes en les changeant. Pour éviter des erreurs, on peut là aussi procéder par méthode, en commençant par rassembler les inconnues, puis les autres termes (et non pas tout en même temps). Un truc aussi si je ne se rappelle plus des formules type :
Je reprends les exemples de mes petites équations du début , construites sur ces principes :
Je me demande alors comment je peux extraire 5 (ou 2) et je retombe directement sur mes formules. Magique non ??
Résoudre une équation produit, c'est trouver la valeur d'une inconnue dans une expression multipliée qui doit être égale à 0
(2 - 3) (4 + 4) = 0 2 ( - 5) ( + 1) = 0 etc....... Principe : Pour qu'une expression
multipliée soir égale à zéro,
que faut-il ? Il faut qu'au moins un des termes soit
égal à 0 non ??? En effet, selon les
propriétés du zéro
: le
résultat d'une multiplication par zéro est
toujours égal à
zéro.
Si (2 - 3) = 0 ; (2 - 3) (4+ 4) est bien égal à zéro car 0 (4 + 4) = 0 Si (4 + 4) = 0 ; (2 - 3) (4 + 4) est bien égal à zéro car (2 - 3) 0 = 0 Exemple 2 : Si 2 = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 0 ( - 5) ( + 1) = 0 Si ( - 5) = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 2 0 ( + 1) = 0 Si ( + 1) = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 2 ( - 5) 0 = 0 J'ai compris le principe d'une équation produit, je peux écrire la règle suivante :
Cette
règle implique que l'équation aura autant de
solutions qu'il y a de termes
multipliés.
Conformément à ce que l'on vient de voir ci-dessus, pour que (2 - 3) (4 + 4) soit égal à 0 , if faut que:
soit (4 + 4) = 0 Pour que (2 - 3) soit égal à 0, il faut que soit égal à
2 = 3 = conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut) Pour que (4 + 4) soit égal
à 0, il faut que soit égal à -1 :
4 = -4 = -conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut) = - 1 (car est égal à 1 = voir fiche les fractions) Résultat : j'ai donc deux solutions pour (2 termes multipliés = 2 solutions d'équation)
Exemple 2 : 2 ( - 5) ( + 1) = 0 Conformément à la méthode de résolution des équations produit, pour que 2 ( - 5) ( + 1) soit égal à 0 , if faut que:
soit ( - 5) = 0 soit ( + 1) = 0 Pour que 2 soit égal à 0, il faut que soit égal à 0
= 0 Pour que ( - 5) soit égal à 0, il faut que soit égal à 5 :
= 5 conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut) Pour que ( + 1) soit égal à 0, il faut que soit égal à - :
= - 1 ÷ (ou ) = - 1 ( (division par une fraction : multiplication par son inverse = voir fiche les fractions) = - conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut)
Et voilà, j'ai compris le principe de l'équation produit : facile non ? Je ne me pose pas de questions : si mon équation à résoudre n'est composée que de 1 ou plusieurs produits, j'applique cette méthode. ATTENTION : Mon équation peut être le développement d'une identité remarquable (voir fiche les identités remarquables)
J'ai des 2 et des : je ne peux pas les
additionner ou soustraire ensemble : je ne vais pas
pouvoir trouver ma valeur de , je suis bloquée. Tilt !!!
L'expression 42 - 12 + 9 n'est-elle pas le développement
d'une identité remarquable (a - b)
2, avec a = 2 et b = 3 ?
(2 - 3)2 = (2 - 3) (2 - 3) : je connais la signification d'une puissance (voir fiche) Je peux écrire :
Une équation peut permettre de résoudre un problème. Voyons comment ça marche ! Exemple de problème : Lors d'un concert dans une salle de 1600 places, toutes les places sont occupées. Parmi les places occupées, est constitué de places à demi-tarif. La recette de la soirée s'élève à 86 400 F. Calculer le prix d'une place à plein tarif . Résolution du problème : Méthode : 1ère étape : Puisque je vais résoudre ce problème grâce à une équation, je dois toujours commencer par définir mon inconnue. En règle générale, c'est la question du problème qui pose l'inconnue : Qu'est-ce que qu'on me demande de trouver ? Le prix d'une place à plein tarif - je pose donc mon inconnue, et indique ce qu'elle désigne
2ème étape : Je comprends mon problème et isole les éléments qui vont me permettre de le résoudre. Ensuite, j'essaie d'interpréter les données, et les retranscrire en écriture mathématique Qu'est-ce qu'on me dit ? a / Qu'il y a 1600 personnes au spectacle dont en demi-tarif Concrètement, cela veut dire quoi ? Je calcule la répartition des places : des places en demi-tarif, revient à dire que je découpe mon total en 5, et en prends une part (voir fiche les fractions)
320 places ont été vendues en demi-tarif ; donc 1600 - 320 = 1280 places vendues au tarif normal J'ai chiffré la répartion de la salle b/ Recette
totale : 86 400 F. A quoi la recette correspond -t-elle ?
A la somme de la recette des places vendues à
plein tarif, et de la recette des places vendues en
demi-tarif :
Il me manque l'écriture mathématique du prix d'une place demi-tarif : je pourrais le remplacer par l'inconnue y, mais je me retrouverais avec une équation à 2 inconnues, et je ne sais pas résoudre ce type d'équations. La seule
solution est d'exprimer le prix d'une place demi-tarif en
fonction d'une place plein tarif : et en effet, le prix
d'une place demi-tarif n'est-il pas la moitié
(soit en fraction ) du prix d'une place
plein tarif ?
86 400 (F) = 1280 + 320 86 400 = 1280 + 320 : j'ai mis le problème en équation, je vais maintenant la résoudre 1ère étape : j'effectue les calculs qui me sont demandés :
x = 160 = 160 (conformément aux propriétés de multiplication d'un nombre avec une fraction : voir fiche les fractions) 86 400 = 1280 + 160 2ème étape : je sépare mes termes en de mes autres termes, de part et d'autre de mon égalité
1280 + 160 = 1440 86 400 = 1440 ou 1440 = 86400 = (86 400 ÷ 1440) : si je fais la division je trouve 60 = 60 : C'est le résultat de mon équation 3ème étape : je restitue le résultat de mon équation dans le contexte de mon problème : au départ, j'ai choisi pour remplacer le prix d'une place plein tarif Par conséquent, que signifie = 60 ? Et bien, que le prix d'une place plein tarif est de 60 F tout simplement.
"Le prix d'une place plein tarif est de 60 F" Mon problème est terminé. NB : je vérifie quand même la cohérence de mon résultat dans l'autre sens : si 1 place plein tarif coûte 60 Francs, 1 place demi-tarif coûtera 30 Francs : 1280 places à 60 F rapportent 76 800 F ( 1280 60 = 76 800) ; 320 places à 30 F rapportent 9 600 F (320 30 = 9 600)
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