LES EQUATIONS

Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité composée de différents calculs avec différents termes dont au moins une inconnue.
Inconnue : c'est un nombre que je ne connais pas ; il est symbolisé par une lettre ( , y, a, b, t ....)

Résoudre une équation, c'est calculer la valeur de la ou des inconnues de l'égalité


Vocabulaire :
• 1 inconnue :
  exemple : 2 - 3 + = 3 + 2 - 5
  
• 2 inconnues : système d'équations
  exemple :
  + y = 3 - 5
  2 + 4 = 3y - 2
  
  Nous verrons ce type d'équation plus tard

  Il existe également une distinction entre des équations avec seulement des , et les équations avec des ² : la 1ère catégorie est appelée équations du 1er degrés, la seconde est appelée équations du 2nd degrés. Nous ne verrons dans cette fiche que des équations du 1er degrés, à une seule inconnue.
  

Résoudre une équation à une inconnue

Une équation du 1er degrés est une égalité à une seule inconnue (souvent , mais on peut trouver aussi dans certains exercices y, a, b, t ....) .


Comme je vous l'ai dit ci-dessous, si on me demande de résoudre une équation, je dois calculer la valeur de l'inconnue.

1ère étape : je comprends le principe d'une équation

Faisons une petite expérience avec des nombres que l'on connaît :
Je peux par exemple écrire les égalités suivantes :

2 + 5 = 7
2 + 5 - 3 = 4
2 5 = 10

Ces égalités je les connais, car je sais faire une addition et une multiplication n'est-ce pas ?

Je réfléchis : Comment puis-je extraire 5 dans mes 3 égalités ?

par rapport à 2 + 5 = 7 ; je peux écrire : 5 = 7 - 2
par rapport à 2 + 5 - 3 = 4 ; je peux écrire : 5 = 4 - 2 + 3
par rapport à 2 5 = 10 ; je peux écrire : 5 = 10 ÷ 2

Ces opérations je sais les faire, elles sont faciles non ?

Imaginons maintenant que je remplace 5 par (puisque de toutes façons peut être n'importe quel nombre) : je reprends mes égalités :

2 + = 7
2 + - 3 = 4
2 = 10


Je sais maintenant comment extraire dans mes 3 égalités (de la même façon que j'ai extrait 5)

par rapport à 2 + = 7 ; je peux donc écrire : = 7 - 2
= 5

par rapport à 2 + - 3 = 4 ; je peux donc écrire : = 4 - 2 + 3

= 5

par rapport à 2 = 10 ; je peux écrire : = 10 ÷ 2

= 5


Je viens de résoudre mes premières équations : facile non ???

 

2ème Etape : Ces 3 exemples me permettent d'apprendre deux règles indispensables pour la résolution d'une équation (calcul d'une inconnue) :

Grâce à ces deux règles, je peux maintenant résoudre n'importe quelle équation :

ATTENTION : Le principe de l'équation ne doit pas me faire oublier les différentes règles de calcul que j'ai apprises : en effet la résolution d'une équation passe d'abord par le calcul d'une expression avant le calcul d'une inconnue.

Exercice 1 :

Résoudre l'équation : 2 - 3 + = 3 - 5

1ère étape : j'isole x dans la partie gauche de mon équation, conformément à la propriété énoncée ci-dessus, et je passe tous les termes qui accompagnent de l'autre côté de l'égalité en changeant leur signe ::

Remarque : afin de ne pas m'embrouiller dans les signes, je choisis de laisser du côté où il est : dans cet exemple, je vais donc laisser à gauche de mon égalité, et passer tous les autres termes à droite

Je regarde : 2 va devenir - 2 ; - 3 va devenir + 3

2 - 3 + = 3 - 5
= 3 - 5 - 2 + 3


2ème étape : Tous les termes à droite de ma parenthèse, sont des nombres , je peux effectuer leur calcul :

= 3 - 5 - 2 + 3
3 - 5 - 2 + 3 = -1
je peux écrire : = -1

Je viens de trouver la valeur de , soit -1 : j'ai résolu mon équation




= -1

Exercice 2 :

Résoudre l'équation : 3 - 2 + 7 + = 3 - 5 + 4


1ère étape : Comme tout à l'heure je sépare des autres termes : je conserve du côté gauche de mon égalité, (puisqu'il y est déjà) et je passe tous les autres termes du côté droit, en changeant leur signe , conformément à la propriété énoncée ci-dessus :

Particularité : je vois que dans mon équation, j'ai plusieurs termes : je vais donc les calculer, de façon à isoler 1 inconnue (et non pas une addition ou soustraction d'inconnues)

Je regroupe donc mes termes en
Je passe mes autres termes à droite de ma parenthèse : 7 va devenir - 7
Je peux écrire :

3 - 2 + = 3 - 5 + 4 - 7


2ème étape : Tous les termes de même nature sont regroupés de part et d'autre de mon égalité, je vais pouvoir en effectuer le calcul :

3 - 2 + = 2 ; conformément aux priorités de calcul des termes en
3 - 5 + 4 - 7 = -5
je peux écrire : 2 = -5


Je m'aperçois que je me retrouve avec une expression sous la forme a x b = c

2 = 2
Comment, dans ce cas, isoler ?

En utilisant la 2è propriété que je connais : Si a b = c alors ( c ÷ b )

Je peux donc transformer 2 = -5 en = -5 ÷ 2 ou encore =

Qu'est-ce que je vois ? j'obtiens une fraction : conformément aux propriétés des fractions, je vais pouvoir écrire :

=

(je vérifie avant d'écrire mon résultat final que ma fraction est réduite au maximum)

ou si on me demande un résultat en nombre décimal :

= - 2,5

- 5 ÷ 2 = - 2,5

Je viens de trouver la valeur de : j'ai résolu mon équation


Remarque : dans une équation avec plusieurs termes en , les termes en peuvent se trouver de part et d'autre de l'égalité : si j'ai décidé de mettre les termes en du côté gauche de mon égalité, je dois regrouper tous ceux qui se trouvent du côté droit, en n'oubliant pas de changer leur signe :

 
Exemple : Dans mon exercice ci-dessus, on aurait pu me donner :

Résoudre l'équation : 3 - 2 + 7 = 3 - 5 + 4 -


1ère étape : Comme tout à l'heure je sépare des autres termes : je conserve du côté gauche de mon égalité, (puisqu'il y est déjà) et je passe tous les autres termes du côté droit, en changeant leur signe , conformément à la propriété énoncée ci-dessus :

Particularité : je vois que dans mon équation, j'ai plusieurs termes :certains même ne sont pas regroupés avec les autres, car ils se trouvent de l'autre côté de l'égalité : pour les regrouper avec les autres, je les passe du côté gauche de l'égalité en changeant leur signe
Je regroupe donc mes termes en : 3 - 2 +
Je passe mes autres termes à droite de ma parenthèse : 7 va devenir - 7 : 3 - 5 + 4 - 7
Je peux écrire :
3 - 2 + = 3 - 5 + 4 - 7

Je retombe effectivement sur l'équation de mon exercice n° 2 : pour voir la fin du calcul, voir ci-dessus

 

Exercice 3: Equations et fractions

Résoudre l'équation : 3 - = +


La particularité des cette équation, est que certains termes sont en écriture fractionnaire : cela va compliquer mon calcul : je vais voir que je peux me débarasser des dénominateurs, qui compliquent mon calcul :



Principe : Lorsque j'ai des fractions dans mon équation, la règle est de mettre tous les termes de l'égalité sous le même dénominateur : dès que tous mes termes sont sous le même dénominateur, je peux m'en débarasser

Mon exemple : 3 - =+
Les dénominateurs de mes fractions : 2 et 4 : je recherche un dénominateur commun : 4
Je vais donc mettre tous les termes de mon equation sur 4 :

3 (dénominateur 1) : Pour faire 4 , je dois multiplier le dénominateur par 4 , je vais donc également multipier mon numérateur par 4 : 3 =
- : Pour faire 4 , je dois multiplier le dénominateur par 2, je vais donc également multipier mon numérateur par 2 : - = -
: Le dénominateur est déjà 4 , je ne modifie pas la fraction
: (dénominateur 1) : Pour faire 4 , je dois multiplier le dénominateur par 4 , je vais donc également multipier mon numérateur par 4 : =
Tous les termes de mon équation sont sur 4, je réécris mon expression modifiée :

- = +

Conformément à la règle que je viens de voir, puisque tous les termes sont sous le même dénominateur, je peux maintenant me débarrasser de ce dénominateur ; je peux écrire :

12 - 2 = 3 + 4

Je retombe sur une équation normale, sans dénominateur : je vais la résoudre comme toutes les autres :

Je sépare les termes en d'un côté de l'égalité et les autres termes de l'autre côté, en changeant les signes de chacun des termes que je change de côté :

12 - 2 - 4 = 3

Je fais le calcul des x conformément aux priorités de calcul des termes en

12 - 2 - 4 = 6

je peux écrire : 6 = 3
= (3 ÷ 6)
=ou 0,5 (si on me demande d'écrire le résultat de mon équation en nombre décimal)

Le principe de résolution d'une équation n'est pas dur en lui même, mais il ne faut pas aller trop vite et toujours suivre la même méthode :

1. Effectuer tous les calculs demandés de part et d'autre de l'égalité, conformément aux différentes proprités sur les opérations et les termes de nature différentes (comme vu dans les diverses fiches)
2. Simplifier au maximum les expressions calculées
3. Dans les expressions simplifiées, séparer l'inconnue des autres termes de part et d'autre de l'égalité (comme vu dans les exemples ci-dessus), selon la technique : je change un terme de côté : je change son signe.

Et c'est tout : la plus grosse difficulté je crois est de ne pas se tromper dans les signes en les changeant. Pour éviter des erreurs, on peut là aussi procéder par méthode, en commençant par rassembler les inconnues, puis les autres termes (et non pas tout en même temps).

 

Un truc aussi si je ne se rappelle plus des formules type :

Si a + b = c alors a = c - b
Si a b = c alors ( c ÷ b )

Je reprends les exemples de mes petites équations du début , construites sur ces principes :

 2 + 5 = 7
2 5 = 10

Je me demande alors comment je peux extraire 5 (ou 2) et je retombe directement sur mes formules. Magique non ??




Les équations produits


Résoudre une équation produit, c'est trouver la valeur d'une inconnue dans une expression multipliée qui doit être égale à 0

Exemples :
(2 - 3) (4 + 4) = 0
2 ( - 5) ( + 1) = 0
etc.......

Principe : Pour qu'une expression multipliée soir égale à zéro, que faut-il ? Il faut qu'au moins un des termes soit égal à 0 non ??? En effet, selon les propriétés du zéro : le résultat d'une multiplication par zéro est toujours égal à zéro.
Je vérifie dans mes exemples :

Exemple 1 :
Si (2 - 3) = 0 ; (2 - 3) (4+ 4) est bien égal à zéro car 0 (4 + 4) = 0
Si (4 + 4) = 0 ; (2 - 3) (4 + 4) est bien égal à zéro car (2 - 3) 0 = 0

Exemple 2 :
Si 2 = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 0 ( - 5) ( + 1) = 0
Si ( - 5) = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 2 0 ( + 1) = 0
Si ( + 1) = 0 ; 2 ( - 5) ( + 1) est bien égal à zéro car 2 ( - 5) 0 = 0

J'ai compris le principe d'une équation produit, je peux écrire la règle suivante :




Résoudre une équation produit revient à rechercher les valeurs de pour que l'un ou l'autre des termes multipliés soient égal à 0




Cette règle implique que l'équation aura autant de solutions qu'il y a de termes multipliés.

Je reprends mes 2 exemples :

 Exemple N° 1 : (2 - 3) (4 + 4) = 0

Conformément à ce que l'on vient de voir ci-dessus, pour que (2 - 3) (4 + 4) soit égal à 0 , if faut que:

soit (2 - 3) = 0
soit (4 + 4) = 0

Pour que (2 - 3) soit égal à 0, il faut que soit égal à

(2 - 3) = 0
2 = 3
= conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut)

Pour que (4 + 4) soit égal à 0, il faut que soit égal à -1 :


(4 - 4) = 0
4 = -4
= -conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut)
= - 1 (car est égal à 1 = voir fiche les fractions)
Résultat : j'ai donc deux solutions pour (2 termes multipliés = 2 solutions d'équation)

= et = - 1

Mon équation produit est résolue

Exemple 2 : 2 ( - 5) ( + 1) = 0

Conformément à la méthode de résolution des équations produit, pour que 2 ( - 5) ( + 1) soit égal à 0 , if faut que:

soit 2 = 0
soit ( - 5) = 0
soit ( + 1) = 0

Pour que 2 soit égal à 0, il faut que soit égal à 0

Comment faire pour qu'une multiplication de 2 nombres soit égale à zéro ? il faut que l'un des nombres soit 0
= 0

Pour que ( - 5) soit égal à 0, il faut que soit égal à 5 :

( - 5) = 0
= 5 conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut)

Pour que ( + 1) soit égal à 0, il faut que soit égal à - :

( + 1) = 0
= - 1 ÷ (ou )
= - 1 ( (division par une fraction : multiplication par son inverse = voir fiche les fractions)


= - conformément aux règles de résolution d'une équation (voir + haut)


Résultat : j'ai donc trois solutions pour (3 termes multipliés = 3 solutions d'équation)

= 0 ; = 5 et = -

Mon équation produit est résolue


Et voilà, j'ai compris le principe de l'équation produit : facile non ? Je ne me pose pas de questions : si mon équation à résoudre n'est composée que de 1 ou plusieurs produits, j'applique cette méthode.

 

ATTENTION : Mon équation peut être le développement d'une identité remarquable (voir fiche les identités remarquables)

ex : 4² - 12 + 9 = 0

J'ai des ² et des : je ne peux pas les additionner ou soustraire ensemble : je ne vais pas pouvoir trouver ma valeur de , je suis bloquée. Tilt !!! L'expression 4² - 12 + 9 n'est-elle pas le développement d'une identité remarquable (a - b) ², avec a = 2 et b = 3 ?

Je vais donc remplacer l'expression par (2 - 3)²

(2 - 3)² = 0
(2 - 3)² = (2 - 3) (2 - 3) : je connais la signification d'une puissance (voir fiche)
Je peux écrire :
(2 - 3) (2 - 3) = 0 : j'ai une équation produit : je la résouds comme les autres : la différence ? j'ai deux termes multipliés, mais je n'aurai qu'une solution car ce sont les 2 mêmes termes.




Mise en équation d'un problème


Une équation peut permettre de résoudre un problème. Voyons comment ça marche !

Exemple de problème :
Lors d'un concert dans une salle de 1600 places, toutes les places sont occupées. Parmi les places occupées, est constitué de places à demi-tarif. La recette de la soirée s'élève à 86 400 F. Calculer le prix d'une place à plein tarif .


Résolution du problème :

Méthode :

1ère étape : Puisque je vais résoudre ce problème grâce à une équation, je dois toujours commencer par définir mon inconnue. En règle générale, c'est la question du problème qui pose l'inconnue :

Qu'est-ce que qu'on me demande de trouver ? Le prix d'une place à plein tarif - je pose donc mon inconnue, et indique ce qu'elle désigne

Soit le prix d'une place plein tarif


2ème étape : Je comprends mon problème et isole les éléments qui vont me permettre de le résoudre. Ensuite, j'essaie d'interpréter les données, et les retranscrire en écriture mathématique

Qu'est-ce qu'on me dit ?

a / Qu'il y a 1600 personnes au spectacle dont en demi-tarif

Concrètement, cela veut dire quoi ? Je calcule la répartition des places :

des places en demi-tarif, revient à dire que je découpe mon total en 5, et en prends une part (voir fiche les fractions)

1600 x = 1600 ÷ 5 = 320
320 places ont été vendues en demi-tarif ;
donc 1600 - 320 = 1280 places vendues au tarif normal
J'ai chiffré la répartion de la salle


b/ Recette totale : 86 400 F. A quoi la recette correspond -t-elle ? A la somme de la recette des places vendues à plein tarif, et de la recette des places vendues en demi-tarif :

Concrètement, cela se traduit par : 86 400 F = 1280 prix d'une place plein tarif + 320 places demi tarif

si x,le prix d'une place plein tarif, je vais pouvoir écrire :

86 400 (F) = 1280 + 320 x places demi tarif

Il me manque l'écriture mathématique du prix d'une place demi-tarif : je pourrais le remplacer par l'inconnue y, mais je me retrouverais avec une équation à 2 inconnues, et je ne sais pas résoudre ce type d'équations.

La seule solution est d'exprimer le prix d'une place demi-tarif en fonction d'une place plein tarif : et en effet, le prix d'une place demi-tarif n'est-il pas la moitié (soit en fraction ) du prix d'une place plein tarif ?
Si est le prix d'une place plein tarif, Je peux donc dire que le prix d'une place demi-tarif =

Je reprends l'écriture de mon équation :
86 400 (F) = 1280 + 320
86 400 = 1280 + 320 : j'ai mis le problème en équation, je vais maintenant la résoudre

1ère étape : j'effectue les calculs qui me sont demandés :

320 = 320 = = =
x = 160 = 160 (conformément aux propriétés de multiplication d'un nombre avec une fraction : voir fiche les fractions)

86 400 = 1280 + 160

2ème étape : je sépare mes termes en de mes autres termes, de part et d'autre de mon égalité

Tous les termes en se trouvent déjà du même côté : je n'ai rien à modifier (pas de signes à changer) : je vais calculer mes termes en (conformément aux règles de calcul appropriées)
1280 + 160 = 1440
86 400 = 1440 ou 1440 = 86400
= (86 400 ÷ 1440) : si je fais la division je trouve 60
= 60 : C'est le résultat de mon équation

3ème étape : je restitue le résultat de mon équation dans le contexte de mon problème : au départ, j'ai choisi pour remplacer le prix d'une place plein tarif Par conséquent, que signifie = 60 ? Et bien, que le prix d'une place plein tarif est de 60 F tout simplement.

J'écris une phrase en toutes lettres pour répondre à la question du problème :

"Le prix d'une place plein tarif est de 60 F"

Mon problème est terminé.

NB : je vérifie quand même la cohérence de mon résultat dans l'autre sens : si 1 place plein tarif coûte 60 Francs, 1 place demi-tarif coûtera 30 Francs : 1280 places à 60 F rapportent 76 800 F ( 1280 60 = 76 800) ; 320 places à 30 F rapportent 9 600 F (320 30 = 9 600)

La recette totale est bien égale à 86 400 F (76 800 + 9 600 = 86 400) : je suis sûre que le résultat du problème est juste !!!

La meilleure façon de mettre un problème en équation, c'est de comprendre le problème (se mettre dans la situation énoncée). Ensuite, retenir que la première chose à faire est de déterminer l'inconnue, et que celle-ci correspond à ce qu'on me demande de trouver dans la question du problème : vous verrez qu'apèrs le reste s'enchaînera plus facilement !!