![]() Résoudre une équation, c'est calculer la valeur de la ou des inconnues de l'égalité Vocabulaire :
Faisons une petite expérience avec des nombres que l'on connaît :
![]() ![]() ![]() ![]() Ces égalités je les connais, car je sais faire une addition et une multiplication n'est-ce pas ?
Ces opérations je sais les faire, elles sont faciles non ? Imaginons
maintenant que je remplace 5 par
Je sais
maintenant comment extraire
2ème Etape : Ces 3 exemples me permettent d'apprendre deux règles indispensables pour la résolution d'une équation (calcul d'une inconnue) :
![]() ATTENTION : Le principe de l'équation ne doit pas me faire oublier les différentes règles de calcul que j'ai apprises : en effet la résolution d'une équation passe d'abord par le calcul d'une expression avant le calcul d'une inconnue.
Résoudre
l'équation : 2 - 3 + 1ère
étape : j'isole x dans la partie gauche
de mon équation, conformément à la
propriété énoncée ci-dessus,
et je passe tous les termes qui accompagnent Remarque : afin de ne pas m'embrouiller
dans les signes, je choisis de laisser
2ème étape : Tous les termes à droite de ma parenthèse, sont des nombres , je peux effectuer leur calcul : ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Je viens de
trouver la valeur de
Exercice 2 : Résoudre
l'équation : 3 1ère
étape : Comme tout à l'heure je
sépare ![]() ![]()
2ème étape : Tous les termes de même nature sont regroupés de part et d'autre de mon égalité, je vais pouvoir en effectuer le calcul : ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Je m'aperçois que je me retrouve avec une expression sous la forme a x b = c
![]() ![]() ![]() Comment, dans ce cas, isoler ![]() En utilisant la
2è propriété que je connais :
Si a
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Qu'est-ce que je vois ? j'obtiens une fraction : conformément aux propriétés des fractions, je vais pouvoir écrire :
ou si on me demande un résultat en nombre décimal :
![]() Remarque : dans une équation avec
plusieurs termes en
Résoudre
l'équation : 3 1ère
étape : Comme tout à l'heure je
sépare ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
Exercice 3: Equations et fractions Résoudre
l'équation : 3 La
particularité des cette équation, est que
certains termes sont en écriture fractionnaire :
cela va compliquer mon calcul : je vais voir que je peux
me débarasser des dénominateurs, qui
compliquent mon calcul :
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
Le principe de résolution d'une équation n'est pas dur en lui même, mais il ne faut pas aller trop vite et toujours suivre la même méthode :
Et c'est tout : la plus grosse difficulté je crois est de ne pas se tromper dans les signes en les changeant. Pour éviter des erreurs, on peut là aussi procéder par méthode, en commençant par rassembler les inconnues, puis les autres termes (et non pas tout en même temps). Un truc aussi si je ne se rappelle plus des formules type :
Je reprends les exemples de mes petites équations du début , construites sur ces principes :
Je me demande alors comment je peux extraire 5 (ou 2) et je retombe directement sur mes formules. Magique non ??
Résoudre une équation produit, c'est trouver la valeur d'une inconnue dans une expression multipliée qui doit être égale à 0
(2 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() ![]() ![]() etc....... Principe : Pour qu'une expression
multipliée soir égale à zéro,
que faut-il ? Il faut qu'au moins un des termes soit
égal à 0 non ??? En effet, selon les
propriétés du zéro
: le
résultat d'une multiplication par zéro est
toujours égal à
zéro.
Si (2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Si (4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Exemple 2 : Si 2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Si ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Si ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() J'ai compris le principe d'une équation produit, je peux écrire la règle suivante :
Cette
règle implique que l'équation aura autant de
solutions qu'il y a de termes
multipliés.
![]() ![]() Conformément à ce
que l'on vient de voir ci-dessus, pour que (2 ![]() ![]() ![]() ![]() Pour que (2
![]() 2 ![]() ![]() ![]() Pour que (4
![]() 4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Résultat : j'ai donc deux solutions pour ![]()
Exemple 2 : 2 ![]() ![]() ![]() ![]() Conformément à la
méthode de résolution des équations
produit, pour que 2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Pour que 2
![]() Pour que (
![]() ![]() Pour que (
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Et voilà, j'ai compris le principe de l'équation produit : facile non ? Je ne me pose pas de questions : si mon équation à résoudre n'est composée que de 1 ou plusieurs produits, j'applique cette méthode. ATTENTION : Mon équation peut être le développement d'une identité remarquable (voir fiche les identités remarquables)
J'ai des ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
Une équation peut permettre de résoudre un problème. Voyons comment ça marche ! Exemple de problème : Lors d'un concert dans une salle de 1600 places, toutes les places sont occupées. Parmi les places occupées, ![]() Résolution du problème : Méthode : 1ère étape : Puisque je vais résoudre ce problème grâce à une équation, je dois toujours commencer par définir mon inconnue. En règle générale, c'est la question du problème qui pose l'inconnue : Qu'est-ce que qu'on me demande de trouver ? Le prix d'une place à plein tarif - je pose donc mon inconnue, et indique ce qu'elle désigne ![]() ![]() 2ème étape : Je comprends mon problème et isole les éléments qui vont me permettre de le résoudre. Ensuite, j'essaie d'interpréter les données, et les retranscrire en écriture mathématique Qu'est-ce qu'on me dit ? a / Qu'il y a
1600 personnes au spectacle dont Concrètement, cela veut dire quoi ? Je calcule la répartition des places :
![]() ![]() ![]() ![]() b/ Recette
totale : 86 400 F. A quoi la recette correspond -t-elle ?
A la somme de la recette des places vendues à
plein tarif, et de la recette des places vendues en
demi-tarif : ![]() ![]() ![]() Il me manque l'écriture mathématique du prix d'une place demi-tarif : je pourrais le remplacer par l'inconnue y, mais je me retrouverais avec une équation à 2 inconnues, et je ne sais pas résoudre ce type d'équations. La seule
solution est d'exprimer le prix d'une place demi-tarif en
fonction d'une place plein tarif : et en effet, le prix
d'une place demi-tarif n'est-il pas la moitié
(soit en fraction ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1ère étape : j'effectue les calculs qui me sont demandés :
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
2ème
étape : je sépare mes termes en
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3ème
étape : je restitue le résultat de mon
équation dans le contexte de mon problème :
au départ, j'ai choisi
"Le prix d'une place plein tarif est de 60 F" Mon problème est terminé. NB : je
vérifie quand même la cohérence de
mon résultat dans l'autre sens : si 1 place plein
tarif coûte 60 Francs, 1 place demi-tarif
coûtera 30 Francs : 1280 places à 60 F
rapportent 76 800 F ( 1280 ![]()
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