Les racines carrées :
dans
certains cas, je peux remplacer une racine carrée
par un nombre : je la remplace si et seulement si le
nombre correspondant est un nombre entier (voir fiche
les racines
carrées )
ex
: 2
2 ;
4 .....
A partir de ces rappels, je dois connaître
différentes règles de calcul :
|
Règle N° 1:
opérations entre termes de nature
différente
|
Cette
propriété est très importante :
j'aurai l'occasion de la retrouver dans les
différentes fiches sur l'activité
numérique.
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Règle N° 2 : Les
opérations sont associatives
|
Cette
propriété concerne l'addition, la
soustraction et la multiplication : elle me permet de
faciliter mon calcul en présence de termes de
nature différente :
|
Règle :
Je sais qu'il existe dans le calcul des termes
de nature différente, nombres, inconnues
(  ; .....), racines carrées,
et que je n'ai surtout pas le droit de les
additionner, soustraire, multiplier ou diviser
ensemble : la propriété
d'association va me permettre de regrouper les
termes de même nature entre eux, afin de
les calculer plus facilement
|
Exercice
n° 1 : Association de l'addition et de
la soustraction :
Je dois calculer l'expression A = 5 + 2 + 10 - 4 + 2 - 4 - 3
L'addition et
la soustraction étant associatives, je peux
regrouper les termes de même nature ensemble, et
les calculer ; je peux écrire :
Exercice
n° 2 : Association de la multiplication
:
Je dois
calculer l'expression A = 5 
2 3 4
La multiplication
étant associative, je peux regrouper les termes de
même nature ensemble, et les calculer ; je peux
écrire :
|
Règle N° 3 :
Certaines opérations sont
prioritaires
|
|
Règle
générale :
Dans un calcul avec plusieurs opérateurs,
j'effectuerai dans l'ordre :
1. Les
multiplications
2. Les divisons
3. Les additions et les soustractions (dans
l'ordre qui me plaît, les 2
opérations n'ayant aucune
propriété de priorité l'une
sur l'autre)
|
Exercice
N° 1 : Je dois calculer l'expression E =
10 5 + 12
- 2 + 6
3
Méthode :
Je dois effectuer les multiplications avant
de calculer le reste :
10 5 = 50
6
3 =
18
J'inclue les résultats de mes
multiplications dans mon calcul : mon expression devient
:
Je peux maintenant calculer mon expression,
l'addition et la soustraction n'ayant pas d'odre de
priorité :
Priorité N° 1 : les multiplications :
10
5 = 50 ;
6 3
= 18
E = 50 + 36
÷ 18 - 2
Priorité N° 2 : les divisions :
36 ÷ 18 = 2
E =
50 + 2 - 2
Je
peux maintenant calculer mon expression, l'addition et la
soustraction n'ayant pas d'odre de priorité
:
ATTENTION : Les
calculs contenant des puissances :
Les puissances étant des multiplications, (voir
fiche les puissances) je les effectuerai en
priorité sur les divisions, additions et
soustractions
Ex :
22 + 5 - 3 = 4 + 5 - 3 = 6
Puissances et
multiplications : lorsque je suis en présence
d'une multiplication de puissances, j'effectue en
priorité le calcul des puissances. Ensuite,
seulement, j'effectue la multiplication.
Ex :
22 5 - 3 32= 4 5 - 3 9 = 20 - 27 = - 7
|
Règle N° 4 :
opérations et
parenthèses
|
Dans certains
calculs (et c'est même souvent le cas en classe de
4è et 3è), je peux trouver à
l'intérieur d'une expression des calculs entre
parenthèse : j'apprends par coeur la règle
concernant les parenthèses :
|
Règle
générale :
Dans une expression contenant des calculs entre
parenthèse, j'effectuerai le calcul des
parenthèses avant tout le reste
(même avant la multiplication)
|
Exemples :
2 + (5 - 3) = 2 + 2 = 4
2 (5 -
3) = 2 2 = 4
Lorsque je suis en présence d'un calcul avec des
parenthèses dans des parenthèses : mes
parenthèses extérieures deviennent des
crochets [.....(.......).......] ; j'effectuerai en
premier les parenthèses les plus
intérieures.
Ex : 10 +
(5 + (5 -
3) -
2); je réécris : 10
+ [5 + (5 -
3) -
2]
J'effectue d'abord
(5 - 3), car c'est la parenthèse
la plus intérieure : 5 -3 = 2
Je remplace le
résultat de ma 1ere parentèse, et je
calcule mes crochets : (5 + 2 - 2) = 5
[5 + (5 -
3) -
2] = 5 ; 10 + 5 = 15
Propriétés des
opérations avec des parenthèses :
Parenthèses et
soustraction
Exercice : : Je dois calculer
l'expression E = 10 5 + 12 + 6 -
(3 - 2)
1ere étape :
J'effectue les opérations prioritaires : calcul
dans la parenthèse et multiplication :
Parenthèse : 3 - 2 = 1
Multiplication : 10 5 = 50
2ème étape : je
remplace les résultats de ma parenthèse et
de ma multiplication dans mon expression :
E =
50 + 12
+ 6 -
(1)
ATTENTION : je
conserve les parenthèses après avoir
effectuer mon calcul , car pour enlever des
parenthèses je dois connaître la
règle suivante :
|
Si j'ai un signe + devant la
parenthèse : j'enlève les
parenthèses sans problème
Si
j'ai un signe - devant la parenthèse
: pour enlever les
parenthèses, je dois changer les signes
des termes de ma parenthèse
|
E = 50 + 12
+ 6 -
(1) : je regarde le signe devant ma
parenthèse : -
Conformément
à la règle que je viens de voir, pour
enlever les parenthèse autour de 1, je suis
obligée de changer son signe 1 devient -1
E = 50 + 12
+ 6
- 1
Autre
méthode : je peux aussi enlever les
parenthèses avant de faire mon calcul : la
règle est la même :
E = 10 5 + 12 + 6 -
(3 - 2)
1ère étape :
j'enlève les parenthèses avant de faire mon
calcul : j'applique la règle que je viens
d'apprendre :
2ème étape :
ainsi, je n'ai plus de parenthèses : il ne me
reste plus qu'une opération prioritaire : la
multiplication :
10 5 = 50
E =
50 + 12 + 6 - 3
+ 2
Il ne me reste que des additions et soustractions de
nombres : je peux effectuer le calcul comme je
veux
Deux méthodes différentes =
même résultat : mes calculs sont justes
!!!
Remarque : je préfère
toujours calculer au maximum ma parenthèse
(1ère méthode), avant d'enlever mes
parenthèses : en effet, en cas de signe - ,
j'aurai moins de signes à changer - cela limitera
je pense mes possibilités d'erreur.
Parenthèses et multiplication
Etant donné que le calcul dans les
parenthèses constitue la priorité des
priorités, je vais effectuer les calculs entre
parenthèses avant d'effectuer la multiplication :
J'effectue les opérations prioritaires :
1. Multiplication : 10 5 = 50
2. Parenthèses + multiplication : je calcule ma
parenthèse avant d'effectuer la multiplication
:
J'ai alors : 6 1 = 6
E = 50 + 12 +
6
Exercice
N° 2 Calculer l'expression E =
10 5 + 12 + 6
(2 + 7)
J'effectue les opérations
prioritaires :
1. Multiplication : 10 5 = 50
2. Parenthèses + multiplication : je calcule ma
parenthèse avant d'effectuer la multiplication :
le seul problème dans cet exercice, c'est que je
ne peux rien calculer dans ma parenthèse, car je
n'ai pas le droit d'additionner des termes en
x et des nombres
entiers : je vais donc effectuer ma multiplication ;
Je me retrouve en situation d'un nombre qui multiplie une
parenthèse : je dois alors utiliser une
propriété spécifique de la
multiplication qui est la
distributivité
Que dit cette propriété ?
|
Règle :
Si un nombre multiplie une
parenthèse, ce nombre se distribue (se
multiplie avec) chacun des termes de la
parenthèse.
|
Principe :
Reprenons notre exercice :
6 (2 +
7)
Selon la règle de la
distributivité de la multiplication, je vais
multiplier 6 par chacun des termes de ma
parenthèse, comme suit :
6 (2 + 7)
= 6 2 + 6
7 =
12 +
42
Pour reprendre mon
calcul : je remplace les résultats de mes calculs
dans mon expression :
E = 50 + 12 +
12 + 42
J'utilise la
propriété d'association de l'addition (voir
ci-dessus), et regroupe mes termes de même nature
pour les calculer :
E = 50 + 12 + 42 +
12
50 + 12 + 42 = 104
Je ne peux plus rien calculer car je ne
peux additionner des termes en x et des nombres
entiers
|
E = 12 +
104
|
(conformément à
l'ordre de présentation des différents
termes)
Mon conseil : Je simplifierai toujours au
maximum le calcul dans mes parenthèses avant
d'appliquer la multiplication. Cela m'évitera bien
des erreurs lorsque j'appliquerai la
distributivité !!
IMPORTANT : Je simplifierai toujours au maximum le calcul
dans mes parenthèses avant d'appliquer la
multiplication et sa distributivité. Cela
m'évitera bien des erreurs croyez-moi !!!
Exercice
N° 3 : Calculer l'expression A = 5
(10
+ 3 - 2 + 5)
C'est parti !!!
1ère
étape : je regarde les
opérations que j'ai à effectuer : une
multiplication + un calcul dans une parenthèse :
je calcule ma parenthèse avant
d'effectuer la multiplication :
10 x + 3 - 2 +
5
: j'utilise la propriété associative de
l'addition et soustraction, et je regroupe les termes
de même nature : 10 + 5
+ 3 - 2
15
+ 1
Je remplace ma parenthèse simplifiée dans
mon expression :
A = 5 (15 + 1)
2ème
étape : J'effectue la multiplication :
je vois que je suis en situation d'appliquer la
distributivité de la multiplication (un nombre 5
multiplie une parenthèse) : conformément
à cette propriété, je vais
multiplier 5 par chacun des termes de la
parenthèse :
5 (15 + 1) = 5 15
+ 5 1 = 75
+ 5
Je ne peux plus
rien calculer car je n'ai pas la droit d'additionner des
termes en et
des nombres entiers
|
A = 75 +
5
|
ATTENTION : Distributivité
et signes :
|
Règle : le signe
du nombre à distribuer se multiplie avec
les signes de chacun des termes de la
parenthèse
|
Exercice
: Calculer l'expression : A = - 7 (-15 - 8)
1ère
étape : je regarde la parenthèse
et vérifie qu'elle est sous sa forme la plus
simple : je ne peux rien calculer car je n'ai pas la
droit de soustraire des termes en x et des nombres
entiers : la parenthèse est bien sous sa forme la
plus simple
2ème
étape : J'effectue la multiplication :
je vois que je suis en situation d'appliquer la
distributivité de la multiplication (un nombre
(-7) multiplie une parenthèse) :
conformément à cette
propriété, je vais multiplier (-7) par
chacun des termes de la parenthèse :
Je regarde les signes de chaque
nombre :
-7 (-15 - 8) = (-7) (-15
) - (-7) 8 = 105
- (-56) = 105 + 56
conformément aux opérations avec des
nombres relatifs et la règle des signes
ou encore :
(- 7) (-15) = 105
(-7) (-8) = 56
105
est positif ; 56 est positif ; A = 105 + 56
Je ne peux plus
rien calculer car je n'ai pas la droit d'additionner des
termes en x et des nombres entiers
|
A = 105 + 56
|
Cas d'une
parenthèse multipliant une autre
parenthèse :
Souvent, dans des exercices de développement,
c'est toute une expression entre parenthèse qui
multiplie une autre parenthèse : le principe de
distributivité est le même :
je
distribuerai chacun des termes de la 1ère
parenthèse sur chacun des termes de la 2è,
en incluant les signes qui accompagne chacun de ces
termes
Exercice
: Calculer l'expression : A =
(10
- 3) (5
+ 4)
1ère
étape : je regarde les
opérations que j'ai à effectuer : une
multiplication + des calculs dans deux parenthèses
: je calcule mes parenthèses avant
d'effectuer la multiplication : dans la 1ère je ne
peux rien calculer, et pas d'avantage dans la 2è :
mes parenthèses sont sous leur forme la plus
simple
2ème
étape : J'effectue la multiplication :
je vois que je suis en situation d'appliquer la
distributivité de la multiplication (une
parenthèse multiplie une autre parenthèse)
: conformément à la
propriété, que je viens d'énoncer,
je vais multiplier chacun des termes de la 1ère
parenthèse par chacun des termes de la 2è
:
a. Je distribue
10
sur 5
et 4
10 5 =
10
5 =
10 5
=
50 2 = 50 2
10 4 = 10
4 = 10 4 =
40 =
40
(*)
Rappel : un nombre multiplié 2 fois par lui
même est un nombre à la puissance 2 : "au
carré" (voir rubrique les puissances)
b. Je distribue
-3 sur 5
et 4
-3 5 =
-3 x 5 x =
-15 = -15
-3 4 = -12
Je réecris mon
expression avec mes résultats
Je calcule les termes en
: 40 - 15 = 25
Je ne peux plus rien
calculer car je n'ai pas la droit d'additionner ou
soustraire des termes en 2 en et des nombres entiers.
|
A = 502 +
25 - 12
|
(conformément à
l'ordre de présentation des différents
termes)
ATTENTION : Si j'avais eu un signe
- devant ma première parenthèse, j'aurais
surtout fait attention de calculer mon expression en
gardant la parenthèse :
(10 - 3) (5 + 4) =
502 + 25 -12
MAIS :
-
(10 - 3) (5 + 4) = - (
502 + 25 -12)
Pourquoi je garde mes
parenthèses ? Parce que je dois tenir compte de la
règle pour enlever les parenthèses avec un
signe - devant : pour enlever les parenthèses, je
dois changer les signes de chacun des termes de ma
parenthèse ; le résultat de mon calcul va
donc devenir :
-
(10 - 3) (5 + 4) = - 502 - 25 +
12
Je retiens :
Chaque fois que j'ai un signe - devant deux
parenthèses qui se multiplient entre elles :
schéma :
- (...........) (............)
1/Je ne prends
pas en compte le signe - dans mes calculs, mais je
fais bien attention de réécrire mes
calculs dans une parenthèse
2/ Ensuite, et dès que ma parenthèse est
simplifiée au maximum, je peux enlever mes
parenthèses : c'est à ce moment
là que je prends en compte le signe - :
celui-ci me fait changer le signe de chacun des
membres de ma parenthèse.
J'aurai
l'occasion de revoir ce type de calcul dans la fiche :
développer une
expression
- 
.....