Exemple : comment décomposer 294
? Je regarde :
le nombre 294
se termine par un 4 : c'est un multiple de 2 : 294 =
147 2
le nombre 147 n'est ni un multiple de 2, ni un
multiple de 5 : est-il multiple de 3 ? oui, car
lorsque je fais l'addition des termes, j'obtiens : 1 +
4 + 7 = 12; et 12 se divise par 3
147 = 3 49
le nombre 49 est un nombre dont je connais la racine
carrée : j'ai donc terminé ma
décomposition :
294
= 2 3 49 = 2
3 49 = 7 2 3 = 7 2 3 = 7
6
Calcul
avec des racines carrées
|
Les racines carrées correspondent à des
nombres : elles peuvent donc être soumises aux
opérations habituelles : je dois respecter les
règles de calcul que j'ai apprises dans la
rubrique propriété des
opérations, et les appliquer aux
propriétés de calcul des racines
carrées :
Règle : je dois absolument
simplifier les racines carrées au maximum
(soit en nombre entier
soit sous la forme ab, comme
expliqué ci-dessus), avant de les
additionner, soustraire, multiplier ou
diviser
|
1/ Addition et soustraction
1ère propriété
: je n'ai pas le droit d'additionner
ou de soustraire des racines carrées avec tout
autre terme de nature différente (nombres entiers
ou décimaux, termes en ( ou y, a, t..., fractions), à moins
que je n'aie simplifié ma racine carrée en
nombre entier au préalable (auquel cas ce nombre
pourra s'additionner ou se soustraire avec d'autres
nombres, entier ou décimaux, ou avec des
fractions.)
2ème
propriété :
Par
contre, je peux tout à fait additionner ou
soustraire des racines carrées entre elles,
mais, si
et seulement si ce sont les mêmes racines
carrées ; si tel est le cas, la règle de
calcul est la même que celle des termes en : j'additionne ou je
soustrais les nombres de racines carrées
Exercice N°1. Effectuer le calcul suivant : A
= 22 + 32 -
2 + 7
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier : aucune puisque je
ne connais pas l'équivalent de racine de 2 en
nombre entier, et que je ne peux pas décomposer 2
en une multiplication de nombres.
2è
étape : je regarde les racines
carrées identiques pour pouvoir effectuer les
opérations :
3è
étape : je remplace le résultat
de mon calcul dans mon expression :
Exercice
N° 2. Effectuer le calcul suivant : A
= 18 + 50
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier : je ne connais pas
l'équivalent de racine de 18 et racine de 50 par
contre je vais pouvoir les décomposer en une
multiplication de nombres.
2è
étape : je m'aperçois qu'en
simplifiant les 2 racines, j'obtiens des racines
carrées de 2 :
Je ne peux plus
rien calculer car je ne peux remplacer 2
par un nombre entier ,
A = 82
|
Exercice
N° 3. Effectuer le calcul suivant : A
= 436 + 3147
- 48 + 4
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier :
2è
étape : je vois que j'ai des
multiplications (opérations prioritaires) : je les
effectue :
3è
étape : je regarde les racines
carrées identiques pour pouvoir effectuer les
opérations :
4è
étape : je regroupe les termes de
même nature pour les calculer :
A = 24 + 4 + 173
24 + 4 = 28
A = 28 + 173
Je ne peux plus
rien calculer, car je ne peux additionner ou soustraire
des racines carrées avec des nombre entiers
A = 173 +
28
|
ATTENTION : Ne pas confondre :
a + b
et a + b
exemple : 19 + 6 = 25
= 5
Par contre : 19 + 6 :
je ne peux pas effectuer l'opération, car les
racines carrées ne sont pas les mêmes
!
2/ Multiplications de racines carrées
1ère propriété
: je ne peux pas multiplier des
racines carrées avec des nombres (nombres entiers,
décimaux ou fractions). Par contre, grâce
à la propriété de la multiplication
je peux les associer et mes nombres prendront alors la
nature de la racine carrée :
2 2 = 22 ;
2 = 2
;
Nature des résultats :
22 est une racine carrée
2
est une racine carrée
Pour tout
calcul avec ces 2 nombres, on utilisera les
propriétés des racines carrées.
2ème propriété
: Les
racines carrées se multiplient entre elles,
conformément aux propriétés
déjà énoncées ci-dessus
:
et
Autre
règle à connaître : quand une racine
carrées est multipliée par un nombre
(entier, décimal ou fraction) : type ab
Ces propriétés sont très
importantes. Sinon, les autres propriétés
à appliquer sont celles de toute multiplication :
priorité, distributivité et association :
voir rubrique les bases du calcul
Exemples :
Exercice
N°1. Effectuer le calcul suivant : A
= 22 32 - 2
7
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier : aucune puisque je
ne connais pas l'équivalent de racine de 2 en
nombre entier, et que je ne peux pas décomposer 2
en une multiplication de nombres.
2ème
étape : je regarde les
opérations que je dois effectuer : multiplications
et soustraction : je commence par les multiplications
(priorité)
3ème
étape : j'applique les
propriétés des multiplications et des
multiplications de racines carrées :
Comme pour
les x, je sais que les nombres vont se multiplier entre
eux, et les racines carrées entre elles :
J'applique la
propriété associative de la multiplication
et je regroupe les termes de même nature, pour les
calculer :
2 3 2 2 = 6 ( 2)2 ; un nombre qui se multiplie
par lui même est un nombre au
carré
J'applique la propriété concernant les
multiplications de racines carrées :
( 2)2 = 2
6 ( 2)2 = 6 2 = 12
22 32 = 12
b . 2 7 = 7 2 ; je ne peux les multiplier ensemble
parce que ce ne sont pas 2 termes de même nature
: par contre, je peux écrire : 72
4ème
étape : je remplace les
résultats de mes multiplications dans mon
expression :
A =
22 32 - 2 7
22 32 = 12
2 7 = 72
A
=
12
-
72
Je ne peux plus
rien calculer car j'ai deux termes de nature
différente :
12 = nombre
entier
72 = racine carrées
Je ne peux pas
additionner ou soustraire des nombres entiers avec des
racines carrées
A = - 72 +
12
|
Exercice
N° 2. Effectuer le calcul suivant : A
= 5 (5 +6);
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier : aucune puisque je
ne connais ni l'équivalent de racine de 5 ni
l'équivalent de racine de 6 en nombre entier, et
que je ne peux pas les décomposer en une
multiplication de nombres. (6 = 2 3, mais je ne connais ni
l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent
de racine de 3 en nombre entier)
2ème
étape : je regarde les
opérations que je dois effectuer : addition dans
la parenthèse ; multiplication d'un nombre par une
parenthèse :
3ème
étape : j'applique les
propriétés des multiplications et des
multiplications de racines carrées :
a .
5 5 = (5)2 ; un nombre qui se multiplie
par lui même est un nombre au
carré
J'applique la propriété concernant les
multiplications de racines carrées :
( 5)2 = 5
b .
5 6
J'applique la
propriété concernant les multiplications
de racines carrées :
5 6 = 5 6 = 30
4ème
étape : je remplace les
résultats de mes multiplications dans mon
expression :
A =
5 (5 +6)
5 5 = 5
5 6 = 30
A
=
5
+
30
Je ne peux plus
rien calculer car j'ai deux termes de nature
différente :
5 = nombre
entier
30 = racine
carrées
Je ne peux pas
additionner ou soustraire des nombres entiers avec des
racines carrées. la seule chose que je peux
essayer de faire, c'est de simplifier 30, en essayant d'extraire une
racine carrée que je connais :
Je cherche la composition de 30 : je peux écrire
:
NB : Attention
à toujours simplifier le résultat d'un
produit de racines carrées : en effet, il se peut
certaines fois, que les racines carrées ne se
simplifient pas ; par contre leur produit peut se
simplifier :
ex : 3 6 : je ne connais ni
l'équivalent de racine de 3 ni l'équivalent
de racine de 6 en nombre entier, et je ne peux pas les
décomposer en une multiplication de nombres.
(6 = 2 3, mais je ne connais ni
l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent
de racine de 3 en nombre entier)
Par contre : 3 6 = 3 6 = 18
Je peux
décomposer 18
;
18
=
9 2 = 9
2 = 3 2 = 32
Remarque : avant d'effectuer ma
multiplication j'aurais pu aussi décomposer 6
en 3 2, pour obtenir :
3 6 = 3 3 2 = ( 3)2 2 = 3 2 = 32
Tous les
coups sont permis !!!
Exercice
N° 3. Effectuer le calcul suivant : A
= (5 +6)2
1ère
étape : je regarde les racines
carrées que je peux simplifier : aucune puisque je
ne connais ni l'équivalent de racine de 5 ni
l'équivalent de racine de 6 en nombre entier, et
que je ne peux pas les décomposer en une
multiplication de nombres.
(6 = 2 3, mais je ne connais ni
l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent
de racine de 3 en nombre entier)
2ème
étape : je regarde les
opérations que je dois effectuer : addition dans
la parenthèse ; calcul d'une expression entre
parenthèses au carré
- Priorité de la
parenthèse : je ne peux rien calculer dans ma
parenthèse car je ne peux pas additionner 2
racines carrées différentes
- Je vais
donc effectuer la multiplication, en appliquant la
propriété de la distributivité de
la multiplication :
Rappel : une parenthèse au
carré. A quoi cela me fait-il pensé ? Aux
identités remarquables bien évidemment
(voir rubrique les identités pour vous les
rappeler). On me demande de calculer une expression, je
suis en développement : quelle est
l'identité remarquable en question :
(a +
b)2
=
a2 + 2ab + b2
avec a = 5 et b = 6
Je
préfère cette solution à la
méthode de la distributivité : j'applique
l'identité remarquable :
(5 +6)2 = (5)2 + 2 5 6 + (6)2
3ème
étape : j'applique les
propriétés des multiplications et des
multiplications de racines carrées :
a . (5)2 = 5 ; conformément à la
propriété
b . 2
5 6 = 2 5 6
J'applique
la propriété concernant les multiplications
de racines carrées :
2 5 6 = 2 30 = 230
c . (6)2 = 6 ; conformément à la
propriété
4ème
étape : je remplace les
résultats de mes multiplications dans mon
expression :
Je ne peux plus
rien calculer car j'ai deux termes de nature
différente :
11 = nombre
entier
230 = racine carrée (+
j'ai vu dans l'exercice précédent que
30 ne peut se
simplifier)
A = 11 + 230
|
Et toujours pour voir si vous suivez, amusez-vous
à calculer l'expression :
A =
(5 +6)2
en appliquant
la méthode de la distributivité : aide pour
le départ : qu'est-ce qu'un nombre (ou une
expression) au carré ? C'est un nombre (ou une
expression) multiplié(é) par lui
même........
(5 +6)2 = (5 +6) (5 +6) ; et en avant la
distributivité !!!
Si vous n'y
arrivez-pas, contactez-moi !!!
2/ Divisions de racines
carrées
J'apprends une nouvelle
propriété concernant la division de racines
carrées :
Règle : Lorsque j'ai une
racine carrée au dénominateur d'une
fraction, je dois absolument rendre mon
dénominateur entier. Comment ? Quelle est la
formule qui me permet de rendre une racine carrée
entière : en la multipliant par elle même,
grâce à la propriété :
Chaque fois que j'aurai une racine
carrée au dénominateur, je vais multiplier
la fraction complète (numérateur et
dénominateur) par la même racine
carrée de façon à obtenir au
dénominateur une racine carrée au
carré, et donc un nombre entier :
Exercice : écrire la
fraction suivante sans radical au dénominateur
:
1ère
étape : j'utilise la
propriété que j'ai apprise :
Je peux alors
écrire : ; je me retrouve avec
une fraction dont le dénominateur est une racine
carrée.
2ème
étape : je vais supprimer la racine
carrée au dénominateur en multipliant ma
fraction par 2, de façon a obtenir
2 2, soit ( 2)2 au dénominateur . Pourquoi
? De cette façon je pourrai appliquer la
propriété : et
ainsi rendre mon dénominateur entier.
Ma
fraction va donc devenir :
Règle : je ne peux pas
diviser une racine carrée par un nombre entier :
ma fraction est simplifiée au maximum ; j'ai
effectivement écrit le dénominateur sans
radical. Ceci est le type d'exercice le plus couramment
demandé concerant les divisions de racines
carrées.
D'autre part, je dois savoir qu'une racine carrée
ne se divise que par elle même :
Ex :