LES RACINES CARREES


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    Une racine carrée : qu'est-ce que c'est ?


    A comprendre et à apprendre : La racine carrée d'un nombre est le nombre qui se multiplie par lui même pour donner le nombre sous la racine carrée

    Carré : un nombre qui se multiplie
    par lui même (cf chapitre les puissances)
      exemple : 72 = 7 7 = 49 (7 se multiplie par lui même)

    Racine carrée : Quel est le nombre qui se multiplie par lui même pour faire 49 ? réponse : 7 car 72 = 7 7 = 49

      7 est donc la racine carrée de 49 : on écrit 49 = 7

    ATTENTION : le nombre placé sous le radical de la racine carrée (= radical), doit toujours être positif, car il n'existe aucun nombre qui se multiplie par lui même pour donner un nombre négatif :

      72 = 7 7 = 49
      (-7)
      2 = (-7) (-7) = 49 ; selon la règle des signes, un négatif multiplié par un négatif = un positif (réviser la rubrique les nombres relatifs)

    Aussi je peux écrire : 49 = 7 ; ou 49 = ( -7) ; (-49) = (-7)
    Par contre : (- 49) sera impossible


    Règle : Lorsque la racine carrée d'un nombre est un nombre entier, je dois la remplacer par le nombre entier correspondant. Si la racine carrée d'un nombre, n'est pas un nombre entier, je laisse le nombre sous sa forme racine carrée

    ex :
    49 = 7 : je peux écrire 7 à la place de 49
    2 = 1,414213......je dois laisser le nombre sous sa forme 2 (sauf si j'ai besoin ou si l'on me demande de trouver une valeur approximative)


     Si je le souhaite je peux apprendre la liste des racines carrées correspondant à un nombre entier : (si je connais déjà cette liste, normalement je peux tout faire !!)

    4 = 2 22 = 4
    9 = 3 3
    2 = 9
    16 = 4 4
    2 = 16
    25 = 5 5
    2 = 25
    36 = 6 6
    2 = 36
    49 = 7 7
    2 = 49

    64 = 8 82 = 64
    81 = 9 9
    2 = 81
    100 = 10 10
    2 = 100
    121 = 11 11
    2 = 121
    144 = 12 12
    2 = 144

    Je prends l'habitude, chaque fois que je rencontre une racine carrée de cette liste, de la remplacer systématiquement par le nombre entier qui lui correspond.


 

 

Simplification de racines carrées

Lorsque je suis en présence d'une racine carrée, je dois systématiquement la simplifier : simplifier une racine carrée, c'est la remplacer par un nombre entier, ou la mettre sous la forme ab, avec a le plus grand nombre entier possible :

Plusieurs cas de figure :

1/ Je dois remplacer une racine carée par un nombre entier :

a.. Je connais son équivalent en nombre entier

ex : montrer que 49 est un nombre entier
Je sais que 49 = 7 (soit je l'ai appris ci-dessus, soit j'ai compris ce qu'est une racine carrée, et je peux dire que le nombre qui se multiplie par lui même pour faire 49 c'est 7 : 7
2 = 49)

b.. Je ne connais pas son équivalent en nombre entier : je vais le déterminer par le calcul

ex : simplifier 400

Je ne connais aucun nombre entier qui se multiplie par lui même pour donner 400;

j'apprends la méthode pour le calculer:


Méthode : pour simplifier une racine carrée, je dois la mettre sous la forme a b, de façon à pouvoir appliquer la propriété suivante :

a b = a b

Mon exemple : 400

Je transforme 400 en a b

400 = 4 100

Grâce à la propriété que je viens d'énoncer , je vais pouvoir écrire :
4 100 = 4 100


Qu'est-ce que je vois ?

Que je connais la racine carrée de 4 (c'est-à-dire que je connais un nombre entier qui se multiplie par lui même pour faire 4 ) - Réponse :
2 ( 22 = 4)

et que je connais la racine carrée de 100 (c'est-à-dire que je connais un nombre entier qui se multiplie par lui même pour faire 100) - Réponse :
10 ( 102 = 100)

Je peux donc rempalcer mon expression 4 100 par
2 10 = 20

Je simplifie ainsi ma racine carrée :

400 = 20

La consigne de mon exercice est respectée : j'ai bien remplacé 400 par un nombre entier


Remarque :
je dois toujours essayer de décomposer ma racine en une multiplication de 2 nombres, avec au moins un nombre (ou les 2) dont je connais la racine carrée : cela me permet de commencer tout de suite ma simplification.

Et si je n'y arrive pas ?

Je ne m'inquiète pas, je vais voir ci-dessous que je m'en sors quand même :

Exemple : Dans mon exemple ci-dessus, il se peut par exemple que je ne connaisse pas la racine carrée de 100

400 = 4 100 = 4 100 = 2 100 = 2 100

Je ne connais pas racine de 100 ; mais je peux la décomposer à nouveau selon la même méthode :

100 = 50 2 ; cela ne m'apporte rien car je ne connais ni la racine carrée de 50 ni la racine carrée de 2


Je continue ma décomposition :
50 = 25 2 ; je connais racine carrée de 25 : (c'est-à-dire que je connais un nombre entier qui se multiplie par lui même pour faire 25) - Réponse :
5 ( 52 = 25)

Je peux maintenant écrire :
100 = 5 2 2 = 5 (2)
2

J'apprends une deuxième priorité des racines carrées :

"La racine carrée d'un nombre mise au carré est égale à ce nombre"

(3) 2 = 3 ; (4) 2 = 4 ................ (154) 2 = 154..................

Cette propriété est également très importante à savoir, et va me servir énormément !!!

Je reprends mon exemple :
100 = 5 2 2 = 5 (2)
2
Conformément à la propriété que je viens de voir, je peux maintenant écrire :
100 = 5 2 2 = 5 (2)
2 = 5 2 car (2) 2 = 2

100 = 5 2 = 10

Je retombe bien sur le même résultat :

400 = 2 10 = 20 : magique non ???


2/ Je dois mettre une racine carée sous la forme ab, avec a le plus grand nombre entier possible :

c'est le cas de toutes les racines carrées que je ne peux pas simplifier en nombre entier

La méthode de calcul est la même que ci-dessus :

ex : simplifier 18

1ère étape : je mets 18 sous la forme a b, en essayant de faire la décomposition avec au moins un nombre dont je connais la racine carrée

Je cherche la composition de 18 :
18 = 6 3 ; mais je ne connais ni la racine carrée de 6, ni la racine carrée de 3
Autre possibilité: 18 = 9 2 ; bingo : je connais la racine carrée de 9 : je vais choisir cette décomposition

18 = 9 2

Grâce à la propriété que je connais ,

a b = a b

je vais pouvoir écrire : 9 2 = 9 2

Et comme je l'avais prévu dans ma décompostion, je vois que je connais la racine carrée de 9 (c'est-à-dire que je connais un nombre entier qui se multiplie par lui même pour faire 9 ) - Réponse : 3 ( 32 = 9)

Je peux donc rempalcer mon expression 9 2 par 3 2

2ème étape : Je dois me demander si je peux remplacer 2 par un nombre entier , c'est à dire est-ce que je connais un nombre entier qui se multiplie par lui même pour faire 2 ? Ma réponse est non.

je vais donc respecter la règle vue plus haut : si la racine carrée d'un nombre, n'est pas un nombre entier, je laisse le nombre sous sa forme racine carrée

Aussi, dans mon expression 3
2, je ne peux plus rien remplacer : je vais par conséquent écrire :

18 = 3 2

18 = 3 2

La consigne de mon exercice est respectée : j'ai bien mis 18 sous la forme ab, avec a le plus grand nombre entier possible .

Et pour voir si vous avez parfaitement compris le jeu des calculs vous pouvez essayer de retrouver ce résultat en partant de la décomposition suivante :

18 = 6 3

Voir exemple ci-dessus : Alors ça marche ?? Si vous n'y arrivez-pas, contactez-moi !!!

Remarque : pour trouver facilement la décomposition d'un nombre, je peux m'aider de la règle des multiples , comme revu dans la fiche les fractions:(voir fiche)

    Exemple : comment décomposer 294 ? Je regarde :
      le nombre 294 se termine par un 4 : c'est un multiple de 2 : 294 = 147 2
      le nombre 147 n'est ni un multiple de 2, ni un multiple de 5 : est-il multiple de 3 ? oui, car lorsque je fais l'addition des termes, j'obtiens : 1 + 4 + 7 = 12; et 12 se divise par 3
      147 = 3 49
      le nombre 49 est un nombre dont je connais la racine carrée : j'ai donc terminé ma décomposition :

    294 = 2 3 49 = 2 3 49 = 7 2 3 = 7 2 3 = 7 6


    Calcul avec des racines carrées

    Les racines carrées correspondent à des nombres : elles peuvent donc être soumises aux opérations habituelles : je dois respecter les règles de calcul que j'ai apprises dans la rubrique
    propriété des opérations, et les appliquer aux propriétés de calcul des racines carrées :


    Règle :
    je dois absolument simplifier les racines carrées au maximum (soit en nombre entier soit sous la forme ab, comme expliqué ci-dessus), avant de les additionner, soustraire, multiplier ou diviser



    1/ Addition et soustraction

    1ère propriété :
    je n'ai pas le droit d'additionner ou de soustraire des racines carrées avec tout autre terme de nature différente (nombres entiers ou décimaux, termes en ( ou y, a, t..., fractions), à moins que je n'aie simplifié ma racine carrée en nombre entier au préalable (auquel cas ce nombre pourra s'additionner ou se soustraire avec d'autres nombres, entier ou décimaux, ou avec des fractions.)


    2ème propriété :
    Par contre, je peux tout à fait additionner ou soustraire des racines carrées entre elles, mais, si et seulement si ce sont les mêmes racines carrées ; si tel est le cas, la règle de calcul est la même que celle des termes en : j'additionne ou je soustrais les nombres de racines carrées


    Exercice N°1
    . Effectuer le calcul suivant : A = 22 + 32 - 2 + 7


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier : aucune puisque je ne connais pas l'équivalent de racine de 2 en nombre entier, et que je ne peux pas décomposer 2 en une multiplication de nombres.

    2è étape : je regarde les racines carrées identiques pour pouvoir effectuer les opérations :

      Je peux effectuer le calcul de 22 + 32 -2 , puisque ce sont toutes des 2
      Comme pour les termes en , j'additionne ou je soustrais le nombre de 2
      Je regarde :
        22 = 2 2
        32 =
        3 2
        2 =
        1 2

      22 + 32 -2 = (2 + 3 - 1) 2

      22 + 32 -2 = 4 2 = 4 2

    3è étape : je remplace le résultat de mon calcul dans mon expression :

      A = 42 + 7

      Je ne peux plus rien calculer car mes termes sont de nature différente :
      42 = racine carrée
      7 : nombre entier

      Je ne peux pas additionner ou soustraire des racines carrées avec des nombre entiers

      A = 42 + 7

    Exercice N° 2. Effectuer le calcul suivant : A = 18 + 50


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier : je ne connais pas l'équivalent de racine de 18 et racine de 50 par contre je vais pouvoir les décomposer en une multiplication de nombres.

      18 = 9 2 = 9 2 = 3 2 = 3 2

      50 = 25 2 = 25 2 = 5 2 = 5 2

      (revoir la méthode de simplification des racines carrées ci-dessus)

    2è étape : je m'aperçois qu'en simplifiant les 2 racines, j'obtiens des racines carrées de 2 :

      Je peux donc effectuer l'addition :
        3 2 + 5 2

      Comme pour les termes en x, j'additionne ou je soustrait le nombre de 2


      Je regarde :

        32 = 3 2
        52 =
        5 2

      3 2 + 5 2 = (3 + 5) 2

      3 2 + 5 2 = 8 2 = 82

    Je ne peux plus rien calculer car je ne peux remplacer 2 par un nombre entier ,

      A = 82

    Exercice N° 3. Effectuer le calcul suivant : A = 436 + 3147 - 48 + 4


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier :

    • Je connais l'équivalent en nombre entier de 36 : 6 car 62 = 36
      Je peux écrire : A = 4
      6 + 3147 - 48 + 4

    • je ne connais pas l'équivalent de racine de 147 et racine de 48 par contre je vais pouvoir les décomposer en une multiplication de nombres.
      147 = 49 3 = 49 3 = 7 3 =
      7 3

      48 = 16 3 = 16 3 = 4 3 = 4 3


      A = 4
      6 + 3 7 3 - 4 3 + 4

    2è étape : je vois que j'ai des multiplications (opérations prioritaires) : je les effectue :

      A = 4 6 + 3 7 3 - 4 3 + 4

      4 6 = 24
      3
      7 3 = 3 7 3 = 213 (je peux multiplier les termes de même nature entre eux)

      A = 24 + 213 - 4 3 + 4

    3è étape : je regarde les racines carrées identiques pour pouvoir effectuer les opérations :

      Je peux effectuer le calcul de 213 - 4 3 , puisque ce sont des3
      Comme pour les termes en x, j'additionne ou je soustrais le nombre de 3
      Je regarde :
        213 = 21 3
        43 =
        4 3

      213 - 4 3 = (21 - 4) 3

      213 - 4 3 = 17 3 = 173

      A = 24 +
      173 + 4

    4è étape : je regroupe les termes de même nature pour les calculer :

      A = 24 + 4 + 173

      24 + 4 = 28
      A = 28 +
      173

    Je ne peux plus rien calculer, car je ne peux additionner ou soustraire des racines carrées avec des nombre entiers

      A = 173 + 28

    ATTENTION : Ne pas confondre : a + b et a + b

    exemple : 19 + 6 = 25 = 5

    Par contre : 19 + 6 : je ne peux pas effectuer l'opération, car les racines carrées ne sont pas les mêmes !



    2/ Multiplications de racines carrées


    1ère propriété :
    je ne peux pas multiplier des racines carrées avec des nombres (nombres entiers, décimaux ou fractions). Par contre, grâce à la propriété de la multiplication je peux les associer et mes nombres prendront alors la nature de la racine carrée :

    2 2 = 22 ; 2 = 2 ;

    Nature des résultats :
    22 est une racine carrée
    2 est une racine carrée

    Pour tout calcul avec ces 2 nombres, on utilisera les propriétés des racines carrées.


    2ème propriété
    :
    Les racines carrées se multiplient entre elles, conformément aux propriétés déjà énoncées ci-dessus :

    a b = a b
    et



    Autre règle à connaître : quand une racine carrées est multipliée par un nombre (entier, décimal ou fraction) : type ab

    Lorsque une racine carrée multipliée par un nombre (type ab ), multiplie une autre racine carrée (qui peut elle aussi être déjà multipliée par un nombre, type cd ) la règle de multiplication est la même que pour les termes en : les nombres se multiplient entre eux, et les racines carrées entre elles.

    ab cd = a c b d

    ou

    ab c b = a c ( b)2 = a c b

     

    Ces propriétés sont très importantes. Sinon, les autres propriétés à appliquer sont celles de toute multiplication : priorité, distributivité et association : voir rubrique
    les bases du calcul

    Exemples :

    Exercice N°1. Effectuer le calcul suivant : A = 22 32 - 2 7


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier : aucune puisque je ne connais pas l'équivalent de racine de 2 en nombre entier, et que je ne peux pas décomposer 2 en une multiplication de nombres.

    2ème étape : je regarde les opérations que je dois effectuer : multiplications et soustraction : je commence par les multiplications (priorité)

      22 32 et 2 7

    3ème étape : j'applique les propriétés des multiplications et des multiplications de racines carrées :

      a . 22 32 = 2 2 3 2

    Comme pour les x, je sais que les nombres vont se multiplier entre eux, et les racines carrées entre elles : J'applique la propriété associative de la multiplication et je regroupe les termes de même nature, pour les calculer :

      2 3 2 2 = 6 ( 2)2 ; un nombre qui se multiplie par lui même est un nombre au carré

      J'applique la propriété concernant les multiplications de racines carrées :


      ( 2)
      2 = 2
      6 ( 2)
      2 = 6 2 = 12

      22 32 = 12

     

      b . 2 7 = 7 2 ; je ne peux les multiplier ensemble parce que ce ne sont pas 2 termes de même nature : par contre, je peux écrire : 72

     

    4ème étape : je remplace les résultats de mes multiplications dans mon expression :

        A = 22 32 - 2 7
      22 32 =
      12
      2 7 =
      72

      A = 12 - 72

    Je ne peux plus rien calculer car j'ai deux termes de nature différente :

      12 = nombre entier
      72 = racine carrées

    Je ne peux pas additionner ou soustraire des nombres entiers avec des racines carrées

    A = - 72 + 12

    Exercice N° 2. Effectuer le calcul suivant : A = 5 (5 +6);


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier : aucune puisque je ne connais ni l'équivalent de racine de 5 ni l'équivalent de racine de 6 en nombre entier, et que je ne peux pas les décomposer en une multiplication de nombres. (6 = 2 3, mais je ne connais ni l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent de racine de 3 en nombre entier)

    2ème étape : je regarde les opérations que je dois effectuer : addition dans la parenthèse ; multiplication d'un nombre par une parenthèse :

    • Priorité de la parenthèse : je ne peux rien calculer dans ma parenthèse car je ne peux pas additionner 2 racines carrées différentes

    • Je vais donc effectuer la multiplication, en appliquant la propriété de la distributivité de la multiplication :

        Rappel
        : quand un nombre multiplie une parenthèse, je distribue (multiplie) ce nombre sur (par) chacun des termes de la parenthèse

      5 (5 +6) = 5 5 + 5 6

       

    3ème étape : j'applique les propriétés des multiplications et des multiplications de racines carrées :

      a . 5 5 = (5)2 ; un nombre qui se multiplie par lui même est un nombre au carré

      J'applique la propriété concernant les multiplications de racines carrées :


      ( 5)
      2 = 5

     

      b . 5 6

      J'applique la propriété concernant les multiplications de racines carrées :

      a b = a b

      5 6 = 5 6 = 30

     

    4ème étape : je remplace les résultats de mes multiplications dans mon expression :

        A = 5 (5 +6)
      5 5 = 5
      5 6 = 30

      A = 5 + 30

    Je ne peux plus rien calculer car j'ai deux termes de nature différente :

      5 = nombre entier
      30 = racine carrées

    Je ne peux pas additionner ou soustraire des nombres entiers avec des racines carrées. la seule chose que je peux essayer de faire, c'est de simplifier 30, en essayant d'extraire une racine carrée que je connais :
    Je cherche la composition de 30 : je peux écrire :

      30 = 6 5 ; je ne connais ni la racine carrée de 6, ni celle de 5
      30 = 3 10 ; je ne connais ni la racine carrée de 3, ni celle de 10
      30 = 2 15 ; je ne connais ni la racine carrée de 2, ni celle de 15

      Je ne peux apparemment pas simplifier 30

      A = 30 + 5

    NB : Attention à toujours simplifier le résultat d'un produit de racines carrées : en effet, il se peut certaines fois, que les racines carrées ne se simplifient pas ; par contre leur produit peut se simplifier :

    ex :
    3 6 : je ne connais ni l'équivalent de racine de 3 ni l'équivalent de racine de 6 en nombre entier, et je ne peux pas les décomposer en une multiplication de nombres. (6 = 2 3, mais je ne connais ni l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent de racine de 3 en nombre entier)


    Par contre :
    3 6 = 3 6 = 18
    Je peux décomposer 18 ; 18 = 9 2 = 9 2 = 3 2 = 32

    Remarque :
    avant d'effectuer ma multiplication j'aurais pu aussi décomposer 6 en 3 2, pour obtenir :

      3 6 = 3 3 2 = ( 3)2 2 = 3 2 = 32

    Tous les coups sont permis !!!

    Exercice N° 3
    . Effectuer le calcul suivant : A = (5 +6)2


      Méthode :

    1ère étape : je regarde les racines carrées que je peux simplifier : aucune puisque je ne connais ni l'équivalent de racine de 5 ni l'équivalent de racine de 6 en nombre entier, et que je ne peux pas les décomposer en une multiplication de nombres.
    (
    6 = 2 3, mais je ne connais ni l'équivalent de racine de 2, ni l'équvalent de racine de 3 en nombre entier)

    2ème étape : je regarde les opérations que je dois effectuer : addition dans la parenthèse ; calcul d'une expression entre parenthèses au carré

    • Priorité de la parenthèse : je ne peux rien calculer dans ma parenthèse car je ne peux pas additionner 2 racines carrées différentes

    • Je vais donc effectuer la multiplication, en appliquant la propriété de la distributivité de la multiplication :


    Rappel
    : une parenthèse au carré. A quoi cela me fait-il pensé ? Aux identités remarquables bien évidemment (voir rubrique les identités pour vous les rappeler). On me demande de calculer une expression, je suis en développement : quelle est l'identité remarquable en question :


      (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
      avec a = 5 et b = 6

    Je préfère cette solution à la méthode de la distributivité : j'applique l'identité remarquable :

        (5 +6)2 = (5)2 + 2 5 6 + (6)2

    3ème étape : j'applique les propriétés des multiplications et des multiplications de racines carrées :

    a . (5)2 = 5 ; conformément à la propriété


    b . 2 5 6 = 2 5 6

    J'applique la propriété concernant les multiplications de racines carrées :

    a b = a b

    2
    5 6 = 2 30 = 230

    c . (6)2 = 6 ; conformément à la propriété

     

    4ème étape : je remplace les résultats de mes multiplications dans mon expression :

      A = (5)2 + 2 5 6 + (6)2

      A = 5 + 230 + 6

      Je regroupe les termes de même nature pour les calculer :
      5 + 6 = 11
      A =
      11 + 230

    Je ne peux plus rien calculer car j'ai deux termes de nature différente :

      11 = nombre entier
      2
      30 = racine carrée (+ j'ai vu dans l'exercice précédent que 30 ne peut se simplifier)

    A = 11 + 230

    Et toujours pour voir si vous suivez, amusez-vous à calculer l'expression :

      A = (5 +6)2

    en appliquant la méthode de la distributivité : aide pour le départ : qu'est-ce qu'un nombre (ou une expression) au carré ? C'est un nombre (ou une expression) multiplié(é) par lui même........

      (5 +6)2 = (5 +6) (5 +6) ; et en avant la distributivité !!!

    Si vous n'y arrivez-pas, contactez-moi !!!


    2/ Divisions de racines carrées

    J'apprends une nouvelle propriété concernant la division de racines carrées :

    Règle : Lorsque j'ai une racine carrée au dénominateur d'une fraction, je dois absolument rendre mon dénominateur entier. Comment ? Quelle est la formule qui me permet de rendre une racine carrée entière : en la multipliant par elle même, grâce à la propriété :

     Chaque fois que j'aurai une racine carrée au dénominateur, je vais multiplier la fraction complète (numérateur et dénominateur) par la même racine carrée de façon à obtenir au dénominateur une racine carrée au carré, et donc un nombre entier :

       Exercice : écrire la fraction suivante sans radical au dénominateur :

    1ère étape : j'utilise la propriété que j'ai apprise :

    Je peux alors écrire : ; je me retrouve avec une fraction dont le dénominateur est une racine carrée.


    2ème étape : je vais supprimer la racine carrée au dénominateur en multipliant ma fraction par 2, de façon a obtenir 2 2, soit ( 2)2 au dénominateur . Pourquoi ? De cette façon je pourrai appliquer la propriété : et ainsi rendre mon dénominateur entier.

      Je multiplie ma fraction par 2 : j'obtiens :

      au dénominateur : ( 2)2 donc 2
      au numérateur : 2 3 : je ne connais pas l'quivalent de 2 en nombre entier ; je ne connais pas non plus l'équivalent de 3 en nombre entier ; je peux écrire :

          2 3 = 2 3 = 6

    Ma fraction va donc devenir :
    Règle : je ne peux pas diviser une racine carrée par un nombre entier : ma fraction est simplifiée au maximum ; j'ai effectivement écrit le dénominateur sans radical. Ceci est le type d'exercice le plus couramment demandé concerant les divisions de racines carrées.

    D'autre part, je dois savoir qu'une racine carrée ne se divise que par elle même :

      Ex :

     
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