LES PUISSANCES

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Un nombre soumis à une puissance (ou exposant) se multiplie par lui même, autant de fois que l'indique la puissance (ou exposant)
 Exemples :

7² = 7 7 = 49 (7 se multiplie par lui même)
se lit "sept au carré"

2³ = 2 2 2 = 8 (2 se multiplie 3 fois par lui même)

se lit "deux au cube"

10⁴= 10 10 10 10 = 10000 ( 10 se multiplie 4 fois par lui même)

se lit "dix exposant quatre" ou "dix puissance 4"

ATTENTION : Surtout ne pas confondre : 104 = 10000 et 10 4 = 40 (bien retenir qu'une puissance multiplie un nombre par lui même) ; de même faites attention aux carrés (souvent employés dans les calculs) : 72 n'est pas égal à 2 7 , mais 7 7 2 7 = 14 7 7 = 49 Ce n'est pas le même résultat tout de même !!!

 

Cas particuliers de puissances :


Puissance 1 :
a¹ = a ; ex : 15¹ = 15


Puissance nulle :
a⁰ = 1 ; ex : 15⁰ = 1


Puissance négative :
a^{- n} = 1/ aⁿ ; ex : 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16




Puissances et nombres relatifs

Nous l'avons vu dans la rubrique correspondante, les nombres relatifs sont accompagnés d'un signe + ou -


• S'il est positif, un nombre soumis à une puissance n sera toujours positif
  ex : 10 ⁴ = 10 000 ; 3⁴ = 3 3 3 3 = 81 .....
  
• S'il est négatif, un nombre soumis à une puissance n, subira la règle de multiplication des signes
  J'apprends la règle :

Un nombre négatif sera toujours négatif, s'il est soumis à une puissance impaire (exposant 3, 5, 7,9 ....)

ex : (- 10) ³ = ( - 10) ( - 10) = (+ 100) ( - 10) = (- 1000)

Par contre, il deviendra positif s'il est soumis à une puissance paire (exposant 2, 4, 6, 8, 10 .....)


ex : (- 10) ⁴ = ( - 10) ( - 10) = (+ 100) ( - 10) = (- 1000) ( - 10) = + 10 000
C'est l'application de la règle - - = +




Cette règle définit une propriété utile en calcul : un nombre au carré (2) est toujours positif un nombre au cube (3) conserve son signe





Distributivité des Puissances

Règle : une puissance se distribue (se calcule) sur chacun des termes où elle s'applique :


Ces deux propriétés sont très importantes, car elles vont beaucoup me servir dans mes calculs avec des carrés notamment ; je dois savoir qu'il faut que je les applique :
• Aux termes en ( ou y, z, a ......) : ex : (2) ² = 2 ^{2 2} = 4 ² = 4 ²
  
  
• Aux racines carrées : ex : (22) ² = 2 ² (2) ² = 4 (2) ² = 4 2 = 8
  voir propriétés des racines carrées
  
  
• Aux fractions : ex : ( ) ² = =

  
  

Opérations avec les puissances

1/ Addition et soustraction de puissances

Il n'existe pas de règle particulière pour les additions ou les soustractions de puissances, chaque nombre devant être calculé avant d'être additionné ou soustrait

exemple : 2² + 3⁴ + 5¹ - 4² = (2 2) + (3 3 3 3) + 5 - (4 4) = 4 + 81 + 5 - 16 = 74


2/ Multiplication et division de puissances

J'apprends les formules suivantes et je les applique:



an ap = a (n+p)

ex : 2³ 2⁴ = 2^{(3 + 4)} = 2⁷




(an)p = a (n p)

ex : (2³)⁶ = 2^{(3 6)} = 2¹⁸


an / ap = a (n - p)

ex : = 2^{(3 - 6)} = 2^-3 ; 2^-3 = = (cf propriété des puissances négatives)

Les puissances de 10


Règle :


• Pour toute puissance positive n , on a :

  10n = 1 suivi de n 0

  Exemples :

  10³ = 1 000 (1 suivi de 3 zéro)
  10⁶ = 1 000 000 (1 suivi de 6 zéro)
  etc .....
  
  

• Pour toute puissance négative -n , on a :

  10-n = = 0,0........1 (n chiffres apès la virgule dont le 1)

  Exemples :

  10^-3 = 0,001(3 chiffres après la virgule dont le 1)
  10^-6 = 0,000001 (6 chiffres après la virgule dont le 1)
  10^-1 = 0,1 (1chiffre après la virgule dont le 1)
  etc .....
  

On utilise généralement des puissances de 10 pour éviter la multitude de zéro : dans un calcul par exemple, on préferera écrire 10⁶ plutôt que 1 000 000. Les zéro, c'est embarassant !!

Exemple d'utilisation :
Je simplifie la fraction par 10⁴: j'utilise la propriété de calcul aⁿ/ a^p = a ^(n-p) :
= 10 ^{(7 - 4)} = 10 ⁽³⁾
Il reste 10³ au numérateur : ma fraction devient :

Je simplifie la fraction par 5 : numérateur : 5 1 ; dénominateur : 5 3


10³ = 1 000
Fraction simplifiée sous sa forme irréductible :


On utilise également les puissances de 10 pour l'écriture scientifique d'un nombre

Qu'est-ce que l'écriture scientifique d'un nombre ?

J'apprends la règle :

Ecrire un nombre en écriture scientifique c'est le mettre sous la forme d'un nombre à 1 chiffre non nul avant la virgule multiplié par une puissance de 10.

Exemples :

123 : écriture scientifique : 1,23 10²
0,0035 : écriture scientifique : 3,5 10^-3

Méthode :

2 choses élémentaires dans l'écriture scientifique d'un nombre :

1. Je dois transformer mon nombre en un nombre à un chiffre non nul (0) avant la virgule - C'est ma 1ère étape :
Pour n'importe quel nombre à mettre en écriture scientifique, je dois mettre une virgule après le 1er nombre 0

Exemple : Mettre en écriture scientifique les nombres : 125346 et 0,0002563

125346 : 1er chiffre 0 : 1 - Je mets une virgule après le 1

1,25346

0,0002563 : 1er chiffre 0 : 2 - Je mets une virgule après le 2

2,563

2. Je dois multiplier ce nombre par une puissance de 10 - C'est ma 2è étape :

Je regarde par quelle puissance de 10 je dois multiplier mes nombres pour arriver au nombre de départ :

Règle :


Si je dois déplacer ma virgule vers la droite je multiplie par une puissance de 10 positive - Si je dois déplacer ma virgule vers la gauche je multiplie par une puissance de 10 négaitve. Dans les 2 cas, la puissance correspond au nombre de fois où je dois déplacer ma virgule

Mes exemples :
• 1,25346 :

Pour retrouver mon nombre de départ 125346, je dois déplacer ma virgule vers la droite : ma puissance de 10 sera positive
Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois 12,5346
2 fois 125,346
3 fois 1253,46
4 fois 12534,6
5 fois 125346


Je dois déplacer ma virgule 5 fois pour retrouver le nombre 125346

125346 = 1,25346 10⁵


• 2,563 :

Pour retrouver mon nombre de départ 0,0002563, je dois déplacer ma virgule vers la gauche : ma puissance de 10 sera négative

Combien de fois dois-je déplacer ma virgule ?
1 fois 0,2563
2 fois 0,02563
3 fois 0,002563
4 fois 0,0002563


Je dois déplacer ma virgule 4 fois pour retrouver le nombre 0,0002563


0,0002563 = 2,563 10^-4


^{Facile non ????}