1/ On me demande de construire une figure géométrique :
Je la construis en suivant les instructions dans l'ordre :

1/ Je trace trois points alignés M, B et F avec MB = 9 et BF = 6 : je n'oublie pas d'indiquer en même temps les mesures sur le dessin


Attention : la figure a été réalisée à l'échelle 1/3

2/ Je construis le cercle C de diamètre BF : c'est à dire, je place le centre de mon compas à 3 cm de B, car le diamètre d'un cercle est égal à 2 fois son rayon

J'appelle O ce centre :


Enfin, je place un point A sur le cercle tel que BA = 5cm :
Je trace la droite (AF) : ensuite je trace la parallèle à cette droite passant par M : le point de rencontre de la droite (M) avec la droite (AB) s'appelle N : voici mon dessin :

2/ Je dois maintenant calculer BN :
Je note toutes les mesures dont je dispose pour mieux me rendre compte de la procédure :


Tiens, c'est étrange : vu sous cet angle,
ma figure ressemble à celle-ci :

Et à quelle occasion rencontrons-nous ce type de figure ??
En application du théorème de Thalès :
Je revois la fiche d'explication correspondante :

le théorème de Thalès

Et vérifie que toutes les conditions pour son application sont réunies sur mon dessin :

Je suis donc en parfaite situation d'application du théorème :

Je peux donc prendre les mêmes rapports que ceux de mon exemple, : et les appliquer aux lettres de mon dessin :

Ainsi j'obtiens selon le théorème de Thalès :



BN apparaît bien dans l'écriture de mon égalité

Je regarde maintenant si les mesures que je possède me permettent de le calculer : je remplace :
BA = 5 ; BF = 6 ; BM = 9



Je ne connais aucune mesure sur le rapport AF/MN : je le retire de l'égalité (ça tombe bien, je n'en ai pas besoin)

Il me reste :



Je réécris mon égalité par la propriété des produits en croix :
Si =

Alors = 5 x 9 = 6 x BN
DONC : 45 = 6BN
et BN = 45 ÷ 6 = 7,5

BN = 7,5 cm

Elle est tout de même bien pratique cette propriété de Thalès non ??

FIN DE LA QUESTION


  3/ On me demande la nature du triangle ABF :

Je regarde le dessin :




Le triangle ABF a l'air rectangle, mais comment le prouver ?
Je ne peux pas utiliser la propriété de l'angle droit, car on ne me parle nulle par de cet angle
Je ne peux pas utiliser la réciproque du théorème de Pyhtagore, car je n'ai pas la mesure du côté AF
Je vais donc utiliser la propriété du cercle circonscrit : cf la fiche les triangles
Le cercle C passe par les 3 sommets du triangle ABF : je peux donc dire que le cercle C est circonscrit au triangle ABF
Le centre O du cercle C est le milieu de BF
Le triangle ABF est donc rectangle en A, car BF est son hypothénuse : en effet, :

Je cite la propriété trouvée dans la ficheParticularité du triangle rectangle :
"Dans un triangle, si le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse (c'est à dire le côté opposé à l'angle qu'on pense être droit), alors le triangle est effectivement un triangle rectangle."
Et voilà : ma démonstration est faite !!


On me demande ensuite de calculer la mesure de l'angle arrondie au degré près :
Je le localise sur le dessin (marqué en rose) :

TILT : je suis en situation de triangle rectangle : j'ai la mesure de 2 des côtés, je dois trouver la mesure d'un angle :
La situation est typique de l'application des formules trigonométriques :

Je révise donc la fiche sur la trigonométrie


Je fais le point de la situation : AB = 5 ; BF = 6 ; Je dois chercher l'angle

Je sais que les formules trigonométriques font appel à des côtés particuliers en fonction de l'angle à calculer :

Je nomme donc les côtés pour lesquels j'ai une mesure, en fonction de mon angle :

BF est le côté opposé à l'angle droit du triangle :

BF est donc l'hypothénuse du triangle

AB se trouve en face de l'angle C :

AB est donc le côté opposé à l'angle que je dois calculer

Je connais 3 formules trigonométriques : quelle est celle qui prend en compte l'hypothénuse et le côté opposé de l'angle ??

Je les sais par coeur : je peux les écrire les 3 sur mon brouillon

Je choisirai donc le sinus
Je sais quelle formule appliquer ; il ne me reste plus qu'à remplacer les éléments par leur valeur :

sin = je ne peux remplacer par sa valeur ; je ne la connais pas ; je la cherche
Côté opposé = AB = 5cm
Hypothénuse = BF = 6cm

Sin =

Il ne me reste plus qu'à faire le calcul :
Sin =

Sin = 0,83333333...... (5 ÷ 6 )
=
= 0,8333...... sin^-1 (touche shift + sin) : ma calculatrice me donne :.56,4426.....

Ce nombre correspond à la valeur de l'angle
Je peux écrire : = 56 °
(mesure de l'angle arrondie au degré près, comme demandé par l'énoncé)


J'ai ainsi répondu à ma question, grâce à la trigonométrie


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4/ Enfin, on me demande de calculer la mesure de l'angle :

Je le délimite sur mon dessin :

L'angle est l'angle formé par le centre du cercle C et par B et A, deux points de ce cercle : l'angle est appelé angle au centre :
nous avons déjà vu cette notion dans le sujet corrigé d'annales N° 1 : je peux y faire un retour si je veux, car un complément de cours sur le sujet y a été apporté

Sujet corrigé N° 1 : exercice N° 3 de géométrie

Aussi, et conformément à cette même démonstration, je peux dire que :
L'angle intercepte l'arc AB :
L'angle intercepte ce même arc : c'est un angle inscrit du cercle (il a pour sommet un point du cercle): je peux alors appliquer la propriété suivante :

Je cite : "Dans un cercle, si l'angle au centre, intercepte le même arc de cercle qu'un angle inscrit, alors sa mesure est égale à deux fois la mesure de cet angle inscrit"

DONC ici : si l'angle au centre intercepte le même arc que l'angle inscrit alors :
= 2 x


Je sais puisque je viens de le calculer que : l'angle = 60°

DONC : = 2 x 60 = 120

L'angle mesure 120 °


Et voilà : la partie géométrie est maintenant terminée !!


Remarques sur l'exercice : un exercice classique et typique de brevet, utilisant Thalès et le travail dans un triangle rectangle : attention cependant au cas particulier du cercle circonscrit, et de son angle au centre !!