LES TRIANGLES
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Caractéristiques des
triangles
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Comme son nom l'indique, un
triangle est une figure à "3'" : tri = trois
trois
côtés
trois
angles
trois
sommets : sommet : points, extrêmités des 3
segments qui forment le triangle :
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les points A B C sont les 3 sommets du triangle
AB- BC et CA sont les 3 côtés
CAB - ABC et BCA sont les 3 angles
Règle : la somme des 3 angles d'un
triangle est toujours égale à
180°
Base
du triangle : on appelle base d'un triangle,
le côté sur lequel "il se pose. Le
sommet opposé à cette base s'appelle
le
sommet principal du
triangle. La base du triangle peut
être indifféremment l'un des 3
côtés.
ex : si je prends pour base de mon triangle le
côté CB, A sera le sommet principal de
mon triangle.
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Tel se
caractérise un triangle. Il existe maintenant des
triangles particuliers, de par leurs côtés et
ou leurs angles ; étudions les :
Caractéristiques
:
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Triangle dont 2 des
côtés et des angles sont égaux
(de même mesure)
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Construction
:
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Je trace un premier
segment (base du triangle), puis avec un compas je
prends un écartement équivalent
à la mesure de mes 2 côtés
égaux : à la 1ère
extrémité de la base, un petit trait
de compas équivalent à
l'écartement - même chose à la
2è extrémité, et voilà
j'obtiens le sommet de mon triangle
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Propriétés :
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Issues de ses caractéristiques
:
Si un triangle est isocèle,
alors il a 2 côtés égaux - et
la propriété inverse : si un triangle
a deux côtés égaux, alors il
est isocèle.
La base d'un triangle isocèle
est le côté dont la mesure est
différente des 2 autres
sur le dessin : base = CB
Dans un triangle isocèle, les 2
angles de la base sont de même mesure- et la
propriété inverse : si un triangle a
les 2 angles de sa base de même mesure, alors
il est isocèle.
Si dans un triangle, deux des
éléments parmi hauteurs,
médianes, médiatrices, bissectrices
sont confondus, alors ce triangle est
isocèle. (voir droites particulières
ci-dessous).
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Caractéristiques
:
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Triangle dont les 3
côtés et les 3 angles sont
égaux (de même mesure) - Mesure d'un
angle = 60°
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Construction
:
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Même chose que
pour le triangle isocèle sauf que
l'écartement de mon compas sera
équivalent à la mesure de la base,
puisque mes 3 côtés doivent être
égaux
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Propriétés :
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Issues de ses caractéristiques
:
Si un triangle est
équilatéral, alors ses 3
côtés sont égaux - et la
propriété inverse : si un triangle a
ses 3 côtés égaux, alors il est
équilatéral
Un triangle équilatéral
a ses 3 angles de même mesure = 60°- et
la propriété inverse : si un triangle
a ses 3 angles de même mesure = 60°,
alors il est équilatéral
Propriétés annexes
:
Si un triangle a deux angles de
60°, alors c'est un triangle
équilatéral. logique que le3è
angle mesure aussi 60°, car sur un total de
180° (somme des 3 angles d'un triangle)
180° - 120° (2 60) = 60° non ??
Si un triangle isocèle a un
angle de 60°, alors il est
équilatéral. Toujours aussi logique,
car on a vu plus haut qu'un triangle isocèle
a deux angles égaux : donc toujours sur un
total de 180°: 180° - 60°= 120
° et 120° / 2 (car réparti sur les
2 angles égaux) = 60°.
Magique non ???
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Caractéristiques
:
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Triangle dont 2 des côtés sont
perpendiculaires (forment un angle droit :
90°)
Vocabulaire :
Hypoténuse : l'hypoténuse est
particulière au triangle rectangle : on
appelle hypoténuse le côté du
triangle qui est opposé (en face de)
à l'angle droit.
Ex: dans le triangle ABC, BC =
hypoténuse
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Construction
:
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Je construis les 2
côtés de l'angle droit avec mon
équerre. Je relie ensuite ces 2
côtés entre eux pour obtenir mon
3è côté.
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Propriétés :
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Issues de ses caractéristiques
:
Si un triangle est rectangle, alors un
de ses angles est un angle droit, et 2 de ses
côtés sont perpendiculaires
Exemple : dire que le triangle ABC est
rectangle en A, c'est dire que A est un angle droit
(mesure = 90°) et que (AC) et (AB) sont
perpendiculaires
et la propriété inverse
: Si 2 des côtés d'un triangle sont
perpendiculaires, alors le triangle possède
un angle droit : il est rectangle.
Si un triangle possède 2 angles
complémentaires, alors il est rectangle.
Rappel
: angles
complémentaires : angles dont la somme de
leurs mesures est égale à 90°
(angle droit) (voir fiche). Si vous avez compris les angles,
il n'y a rien de plus logique : on sait que la
somme des 3 angles d'un triangle doit toujours
être égale à 180° : si
deux de mes angles sont complémentaires, ils
mesurent à eux 2 90°. Il est donc
logique que le 3è angle mesure 90° et
donc soit droit : 180° - 90° = 90° .
Voilà pourquoi il est normal que, à
cette condition, le triangle soit rectangle !!
Le triangle rectangle est l'hôte
du théorème de Pythagore et des
formules trigonométriques (voir fiches
respectives)
Enfin, il existe une propriété
commune à tous les types de triangles,
puisque non issue des caractéristiques de
chacun d'entre eux,
c'est
le théorème des
milieux :
Dans un triangle, si une droite passe
par le milieu de 2 des côtés, alors
elle est parallèle au 3è
côté
et la propriété inverse
(réciproque du théorème des
milieux) : dans un triangle, si une droite passe
par le milieu d’un côté et est
parallèle à un deuxième
côté,. alors elle passe par le milieu
du troisième côté
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Les droites particulières du
triangle
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Il existe plusieurs
catégories de droites particulières au
triangle:
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Une hauteur est une droite qui passe par un des
sommets et est perpendiculaire au côté
opposé à ce sommet
Tracé des 3
hauteurs : je pars
d'un des sommets et avec mon équerre trace
une droite perpendiculaire au côté
opposé au sommet
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Propriétés :
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Les 3 hauteurs du triangle se coupent
en un même point appelé orthocentre du
triangle. Point O sur le dessin
Si une droite est hauteur dans un
triangle, alors elle est perpendiculaire à
un côté et passe par le sommet
opposé.
et la propriété inverse
: Si une droite est perpendiculaire à un des
côtés d'un triangle et passe par son
sommet opposé, alors cette droite est l'une
des 3 hauteurs du triangle.
Particularité du triangle
isocèle :
Dans un triangle
isocèle, la hauteur issue de l'angle
principal est aussi bissectrice de l'angle,
médiane et médiatrice du
côté opposé (base). Cela
signifie que la hauteur issue de l'angle principal
coupe cet angle en 2 angles égaux
(bissectrice) et passe par le milieu de la base
(médianes et médiatrices). Voir +
bas
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Une médiane est une droite qui passe par un
des sommets et par le milieu du côté
opposé à ce sommet.
Tracé des 3
médianes :
je prends les milieux de chacun des 3
côtés et les relient au sommet du
triangle qui leur est opposé
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Propriétés :
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Les 3 médianes d'un triangle se
coupent en un même point appelé centre
de gravité du triangle ce centre de
gravité se situe aux 2/3 de chaque
médiane en partant du sommet.
Dans un triangle, si une droite est
médiane, alors elle passe par le milieu d'un
côté etpar le sommet opposé
et la propriété inverse
: dans un triangle, si une droite passe par le
milieu d'un côté et par le sommet
opposé, alors cette droite est une
médiane du triangle
Particularité du triangle
rectangle :
Dans un triangle rectangle, la longueur de la
médiane issue de l'angle droit est
égale à la moitié de la
longueur l'hypoténuse.
Exemple :Soit ABC un triangle rectangle en
A. La médiane de l'angle  passera
donc par le milieu du segment BC,
hypothénuse. On nommera ce point le point
O
On peut donc écrire :
0B = OC = OA
Ce qui implique la propriété suivante
:
Dans un triangle rectangle, le milieu
de l'hypothénuse est équidistant des
3 sommets du triangle.
D'où la formation de 2 triangles
isocèles AOB et AOC
et la propriété inverse
: Si dans un triangle, la longueur de la
médiane relative à un
côté est égale à la
moitié de la longueur de ce
côté, alors ce triangle est
rectangle.
Particularité du triangle
isocèle :
Dans un triangle
isocèle, la médiane issue de l'angle
principal est aussi bissectrice de l'angle, hauteur
et médiatrice du côté
opposé (base). Cela signifie que la
médiane issue de l'angle principal coupe cet
angle en 2 angles égaux (bissectrice) et est
perpendiculaire à la base
(médiatrices et hauteurs).
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Comme pour n'importe quel segment (voir
fiche), c'est une droite qui passe par
le milieu d'un des côtés du triangle
et qui est perpendiculaire à ce même
côté.
Tracé des 3
médiatrices
: je prends les milieux de chacun des 3
côtés et trace avec mon équerre
la perpendiculaire passant par ce milieu.je peux
aussi construire les médiatrices avec mon
compas (explication sur la fiche "la
médiatrice d'un segment : voir fiche)
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Comme je l'ai déjà vu dans la fiche
sur les angles, une bissectrice est une droite qui
coupe un angle en 2 angles égaux. Dans un
triangle, c'est donc la droite qui coupe un angle
du triangle en deux angles égaux.
Tracé des 3
bissectrices :
Rappel de l'explication donnée dans la fiche
les angles
Avec un compas : je pose la pointe de mon compas
sur un des sommets du triangle. je prend un petit
écartement et je marque chacun des 2
côtés de mon sommet avec cet
écartement. Je place la pointe de mon compas
successivement sur chacune des marques des
côtés, et avec un plus grand
écartement, vais marquer leur point de
rencontre. La bissectrice passera par le sommet
concerné et le point ainsi
tracé.
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Propriétés :
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Les 3 bissectrices d'un triangle se
coupent en un même point qui est centre du
cercle inscrit dans le triangle.
Si dans un triangle,une droite est la
bissectrice d'un des 3 angles, alors elle coupe cet
angle en 2 angles égaux
et la propriété inverse
: si dans un triangle, une droite coupe un des 3
angles en 2 angles égaux, alors cette droite
est la bissectrice de cet angle: je pourrai donc
utliser les mêmes propriétés
déjà vues dans la fiche les angles
"Bissectrice d'un angle" (voir fiche)
Particularité du triangle
isocèle :
Dans un triangle
isocèle, la bissectrice de l'angle
principale est aussi hauteur issue de cet angle,
médiatrice et médiane de la base
.Cela signifie que la bissectrice de l'angle
principal passe par le milieu de la base
(médiane et médiatrice) et est
perpendiculaire à cette base
(médiatrice et hauteur).
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