LE THEOREME DE THALES


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Allez, on repart avec un nouveau théorème : cette fois-ci, ce n'est plus Pythagore qui l'a inventé mais Thalès. Il y en a du monde qui invente des théorème non ??



Situation d'application du théorème

2 droites sécantes en un même point
2 points alignés sur chacune des 2 droites
2 droites parallèles


Exemples de cas de figure pour Thalès :

Figure N° 3 : triangle ACF avec (BE) // (CF)

Le théorème de Thalès

La formule du théorème :




Chaque fois que je suis en présence d'un des cas de figure ci-dessus, je peux écrire l'égalité suivante :

C''est à dire ? Thalès a découvert que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes, et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux

ou encore

C'est le rapport inverse des plus grandes mesures sur les plus petites : les 2 formules sont valables.

Je comprends le théorème :

Thalès me dit plusieurs choses importantes :

1. Le théorème ne s'applique qu'en situation de droite sécante, avec 2 points alignés sur chacune des 2 droites, et 2 droites parallèles passant par ses points (exemple d'un triangle dans lequel on trace une droite parallèle à la base : voir cas de figure ci-dessus)

2. le théorème prend en compte des mesures de segment : il va donc me servir à
calculer la mesure de segments


J'utiliserai donc le théorème de Thalès, chaque fois que, dans un exercice, on me demandera de calculer la mesure d'un segment, et que la figure sera en situation d'application du théorème



Application du théorème

Exercice type utilisant le théorème :

L'exercice type pour l'application du théorème va me donner les élément qui me permettent de construire une figure en situation du théorème :

Exemple d'exercice : Soit un triangle ACF avec AC = 5 cm et CF = 7 cm. placer un point B sur AC tel que BC = 3 cm. Placer un point E sur AF tel que (BE) soit parallèle à (CF)

1. Construire la figure
2. Calculer BE

 

1ère question : . Je réalise la figure, et porte toutes les indications qui me sont données :

(*) le dessin n'a pas été réalisé aux mesures réelles

 

2è question : Je dois calculer la mesure du segment BE - Comment faire ?

Je résume mes données :

1. Je suis en présence d'un triangle avec une droite parallèle à la base : en regardant la figure, je m'aperçois que j'ai deux droites sécantes en A, 2 points alignés sur chacune des droites, et 2 droites parallèles passant par ces points :

Je peux dire que ma figure est en situation de Thalès

 

    2. Je vais pouvoir regarder si le théorème va me permettre de résoudre mon problème : je me rappelle que le théorème prend en compte la mesure de segments : cela tombe bien puisqu'on me demande justement de calculer la mesure de segments : je vais donc essayer d'appliquer le théorème de Thalès
       

    3. J'applique le théorème :

    Méthode :

    a/Je le sais par coeur, je l'écris, en prenant soin de l'adapter à mon exercice :

    Que dit Thalès ? le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes, et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux.


    J'applique le théorème au cas de ma figure : j'aurai :

    b/ J'ai adapté le théorème à mon exercice : je remplace les segments par leur valeur qu'on me donne dans l'énoncé :

      AC = 5 cm ; CF = 7 cm ; BC = 3cm

      Je remplace dans le théorème :

    Est-ce que les valeurs que j'ai remplacé me permettent de calculer quelque chose ? Absolument pas; je suis bien avancée . Je regarde : la mesure de BC ne me sert à rien ; cela est étrange. En général, dans un énoncé de mathématique toutes les données sont utiles, et encore plus quand je suis bloquée. Je réfléchis : la mesure de BC ne pourrait-elle pas me servir à calculer AB par exemple ?


      J'écris : AB = AC - BC ; AB = 5 - 3 ; AB = 2 cm

      Je peux maintenant remplacer AB par sa valeur dans le théorème :

      Est-ce que je peux alors utiliser mon théorème pour calculer les mesures de BE et AE : ET BIEN OUI !!!

      Comment ?

    Je me rappelle de ce que j'ai appris en algèbre : le théorème de Thalès est une égalité de quotient (de fractions) : je me rappelle la règle que j'ai apprise dans la fiche sur les fractions : deux fractions sont égales si et seulement si leur produit en croix est égal (produit en croix = numérateur de la 1ère fraction multiplié par dénominateur de la 2è et inversement.)

     

    Comment vais-je me servir de cette propriété avec Thalès ?

    Je peux dire que :

    Si alors les produits en croix de chaque fraction doivent être égaux (si 3 fractions sont égales, elles sont aussi égales deux à deux non ??)

    Aussi : Sialors AB AF = AC AE

      Si alors AB CF = AC BE
      Si alors AE CF = AF BE

    Et volià ! Je vais me servir des égalités de fraction pour appliquer le théorème. Je regarde les fractions que je connais :

    et ; par contre, je ne connais pas

    Je vais donc utiliser l'égalité de fraction avec les valeurs que je connais :

      Si alors AB CF = AC BE
      donc si alors 2 7 = 5 BE

    Je vais ainsi pouvoir trouver la valeur de BE. Comment ? En résolvant l'équation :

    2 7 = 5 BE
    14 = 5 BE
    BE =
    BE = 2,8 cm


    Et voilà ! Grâce à la propriété d'égalité de fraction, j'ai trouvé la mesure de BE. Et bien le théorème de Thalès, c'est uniquement ça ! Un cas de figure, une formule à savoir et à appliquer à la figure de l'exercice, et une égalité de fractions à trouver. Alors votre avis : est-ce que finalement le théorème de Thalès est compliqué ???

     
      ATTENTION : pour pouvoir résoudre mon égalité de fraction, il me faut 3 valeurs sur les 4. Si on m'avait demandé par exemple de calculer la mesure de AE ou la mesure de AF, est-ce que j'avais les moyens de les calculer ?


      Réfléchissons : conformément à la règle d'égalité de fractions, j'aurais pu écrire :

      c'est à dire := ; donc 2 AE = 5 AF

      Est ce que je peux calculer dans ce cas AE ? AF ? Non puisque mon équation a 2 inconnues

      ou encore :

      c'est à dire : = ; donc BE AF = 7 AE

      Est ce que je peux calculer dans ce cas AE ? AF ? Non puisque mon équation a 3 inconnues


      Pour calculer une de ces 2 mesures, il aurait fallu qu'on me donne la mesure soit de AE soit de AF ou alors qu'on me donne les moyens de les calculer : par exemple un exercice dans lequel on me donne un triangle rectangle, et la mesure de 2 des côtés du triangle : Comment je trouve la mesure du 3è côté ? Et bien avec Pyhtagore bien sûr !!! Des énoncés de ce style vous seront proposés dans la partie exercice.

      Ici, dans mon exercice d'exemple on me demandait seulement la mesure de BE, cela veut donc dire que l'on me donnait tous les éléments pour le calculer et seulement ceux-ci. Et cela n'a-t-il pas été vérifié ? En mathématiques, je garde à l'esprit que l'on ne me tend pas de piège : tous les éléments d'un énoncé doivent me servir à répondre aux questions....rien de plus, et rien de moins..........

     

       
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