La formule du
théorème :
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Chaque fois que je
suis en présence d'un des cas de figure
ci-dessus, je peux écrire
l'égalité suivante :
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C''est à
dire ? Thalès a
découvert que le rapport de la plus petite mesure sur
la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites
sécantes, et le rapport de la plus petite mesure sur
la plus grande pour les segments qui représentent les
droites parallèles sont égaux
ou encore
C'est le rapport inverse des
plus grandes mesures sur les plus petites : les 2 formules
sont valables.
Je comprends le
théorème :
Thalès me
dit plusieurs choses importantes :
1. Le théorème
ne s'applique
qu'en situation de droite sécante, avec 2 points
alignés sur chacune des 2 droites, et 2 droites
parallèles passant par ses points
(exemple d'un
triangle dans lequel on trace une droite parallèle
à la base : voir cas de figure ci-dessus)
2. le théorème prend en compte des mesures de
segment : il va donc me servir à
calculer la
mesure de segments
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J'utiliserai donc le théorème de
Thalès, chaque fois que, dans un exercice,
on me demandera de calculer la mesure d'un segment,
et que la figure sera en situation d'application du
théorème
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Exercice type
utilisant le théorème :
L'exercice type pour l'application du théorème
va me donner les élément qui me permettent de
construire une figure en situation du théorème
:
Exemple
d'exercice : Soit un
triangle ACF avec AC = 5 cm et CF = 7 cm. placer un point B
sur AC tel que BC = 3 cm. Placer un point E sur AF tel que
(BE) soit parallèle à (CF)
1. Construire la
figure
2. Calculer BE
1ère question
: . Je réalise la
figure, et porte toutes les indications qui me sont
données :
(*) le dessin n'a pas été
réalisé aux mesures
réelles
2è
question : Je dois calculer
la mesure du segment BE - Comment faire ?
Je résume mes
données :
1. Je suis en présence
d'un triangle avec une droite parallèle à la
base : en regardant la figure, je m'aperçois que j'ai
deux droites sécantes en A, 2 points alignés
sur chacune des droites, et 2 droites parallèles
passant par ces points :
Je peux dire
que ma figure est en situation de
Thalès
2. Je vais pouvoir regarder si
le théorème va me permettre de
résoudre mon problème : je me rappelle que
le théorème prend en compte la mesure de
segments : cela tombe bien puisqu'on me demande justement
de calculer la mesure de segments : je vais donc essayer
d'appliquer le théorème de
Thalès
3. J'applique le
théorème :
Méthode :
a/Je le sais par coeur, je l'écris, en prenant
soin de l'adapter à mon exercice :
Que dit Thalès ? le
rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour
chacun des deux segments des 2 droites sécantes,
et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande
pour les segments qui représentent les droites
parallèles sont égaux.
J'applique le théorème au cas de ma figure
: j'aurai :
b/ J'ai adapté le
théorème à mon exercice : je
remplace les segments par leur valeur qu'on me donne dans
l'énoncé :
Est-ce que les valeurs que
j'ai remplacé me permettent de calculer quelque
chose ? Absolument pas; je suis bien avancée . Je
regarde : la mesure de BC ne me sert à rien ; cela
est étrange. En général, dans un
énoncé de mathématique toutes les
données sont utiles, et encore plus quand je suis
bloquée. Je réfléchis : la mesure de
BC ne pourrait-elle pas me servir à calculer AB
par exemple ?
J'écris : AB = AC - BC ; AB = 5 - 3 ; AB = 2
cm
Je peux maintenant remplacer AB par sa valeur dans le
théorème : 
Est-ce que je peux alors
utiliser mon théorème pour calculer les
mesures de BE et AE : ET BIEN OUI !!!
Comment
?
Je me rappelle de ce que
j'ai appris en algèbre : le théorème
de Thalès est une égalité de
quotient (de fractions) : je me rappelle la règle
que j'ai apprise dans la fiche sur les fractions : deux fractions sont égales si
et seulement si leur produit en croix est égal
(produit en croix = numérateur de la 1ère
fraction multiplié par dénominateur de la
2è et inversement.)
Comment vais-je me servir
de cette propriété avec Thalès
?
Je peux dire que
:
Si
alors les
produits en croix de chaque fraction doivent être
égaux (si 3 fractions sont égales, elles
sont aussi égales deux à deux non
??)
Aussi : Si
alors AB 
AF = AC AE
Si 
alors AB CF = AC BE
Si 
alors AE CF = AF BE
Et volià ! Je vais
me servir des égalités de fraction pour
appliquer le théorème. Je regarde les
fractions que je connais :
et 
; par contre, je ne
connais pas 
Je vais donc utiliser
l'égalité de fraction avec les valeurs que
je connais :
Si alors AB CF = AC BE
donc si 
alors 2 7 = 5 BE
Je vais ainsi pouvoir
trouver la valeur de BE. Comment
? En
résolvant l'équation :
2 7 = 5 BE
14 = 5 BE
BE = 
BE = 2,8 cm
Et voilà ! Grâce à la
propriété d'égalité de
fraction, j'ai trouvé la mesure de BE. Et bien le
théorème de Thalès, c'est uniquement
ça ! Un cas de figure, une formule à savoir
et à appliquer à la figure de l'exercice,
et une égalité de fractions à
trouver. Alors votre avis : est-ce que finalement le
théorème de Thalès est
compliqué ???
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