LA TRIGONOMETRIE

Situation d'application de la trigonométrie

Le triangle rectangle

Rappel : triangle rectangle : 1 angle droit (90°) - côté opposé à l'angle droit : hyothénuse.

ABC triangle rectangle en A : BC Hypothénuse

Les formules trigonométriques

Cosinus (cos)
Sinus (sin)
Tangente (tan) :

 Pour un angle donné : A on a :

Je comprends les formules :

 Chaque formule prend en compte :

un angle,

et au choix :

le côté adjacent à cet angle

le côté opposé à cet angle

l'hypothénuse du triangle rectangle

 

Qu'est-ce que cela signifie ?

Que ces trois formules vont me permettre de calculer soit : La mesure d'un angle La mesure de côtés

J'apprends à nommer les côtés d'un triangle par rapport à un angle :

Je viens de voir que dans les 3 formules de trigonométrie, pour un angle, donné on prend en compte tantôt le côté adjacent à l'angle, tantôt le côté opposé, tantôt l'hypothénuse du triangle.

Qu'est-ce que le côté adjacent à un angle ?
C'est le côté, autre que l'hypothénuse, qui touche l'angle concerné

Qu'est-ce que le côté opposé à un angle ?
C'est le côté, autre que l'hypothénuse, qui est opposé (en face de) à l'angle concerné

Qu'est-ce que l'hypothénuse d'un triangle ?
Comme vu + haut, c'est le côté opposé à l'angle droit

ATTENTION : les côtés peuvent changer de "nomination" en fonction de l'angle concerné, sauf l'hypothénuse

 

Exemple : soit ABC triangle rectangle en A , comme figure ci-dessous :

 

Je marque tout de suite l'hypothénuse : je sais que c'est le côté opposé à l'angle droit, dont BC hypothénuse


Considérons maintenant l'angle B et nommons les côtés du triangle par rapport à cet angle :

J'ai toujours BC hypothénuse du triangle (ne change jamais)

Je dois nommer le côté AB : je regarde : le côté AB touche l'angle B : je dirai donc que AB est le côté adjacent à l'angle B

Il me reste à nommer AC : je regarde : le côté AC est en face de l'angle B : je dirai donc que AC est le côté opposé à l'angle B

Je viens de nommer mes 3 côtés par rapport à l'angle B : BC hypothénuse - AB côté adjacent et AC côté opposé : j'ai bien les 3 côtés de mon triangle : je peux appliquer les formules trigonométriques

Prenons maintenant l'angle C : je fais le même travail que tout à l'heure, je nomme les côtés du triangle par rapport à cet angle :

J'ai toujours BC hypothénuse du triangle (ne change jamais)

Par contre, je vois que AB ne touche pas l'angle C comme il touchait l'angle B : il est en face de l'angle C : AB devient donc le côté opposé à l'angle C

Je vois également que le côté AC n'est pas en face de l'angle C comme il l'était de l'angle B, mais ol touche l'angle C : le côté AC devient par conséquent le côté adjacent à l'angle C

 

Je viens de nommer mes 3 côtés par rapport à l'angle C : BC hypothénuse - AB côté opposé et AC côté adjacent : j'ai bien les 3 côtés de mon triangle : je peux appliquer les formules trigonométriques.

C'est, je dirais la principale difficulté (et voyez vous elle est moindre) de la trigonométrie. Nommer les côtés par rapport à un angle donné, car vous avez pu voir que le nom des côtés varie en fonction de l'angle considéré.

C'est aussi la condition pour appliquer les formules de trigonométrie. Une fois que l'angle est déterminé, et que les côtés sont nommés, je peux les utiliser dans les formules

 

Quand appliquer les formules de trigonométrie ? Chaque fois que :

1.Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me demande de calculer la mesure d'un angle par rapport à la mesure de 2 côtés
3. On me demande de calculer la mesure d'un côté par rapport à la mesure d'un autre côté et la mesure d'un angle

 

J'aurai donc deux énoncés d'exercice types :


1. Pour calculer la mesure d'un angle : on me donnera en échange la mesure de 2 des côtés pour pouvoir appliquer mes formules de trigonométrie


2. Pour calculer la mesure d'un côté du triangle : on me donnera alors en échange la mesure de 1 autre des côtés et la mesure d'un angle pour pouvoir appliquer mes formules de trigonométrie

Différence fondamentale avec le théorème de Pythagore :

Vous allez me dire que le théorème de Pythagore et les formules de trigonométrie servent tous deux à calculer la mesure d'un des côtés dans un triangle rectangle. Alors quelle technique utiliser ? Et bien simplement, il n'y a pas de confusion possible : en effet :

Pythagore sert à calculer la mesure d'un des côtés par rapport aux deux autres

Les formules de trigonométrie servent à calculer la mesure d'un des côtés par rapport à la mesure d'un autre côté et d'un angle

La différence essentielle se tient donc dans la nature des éléments qu'on me donne en énoncé

 

Application des formules trigonométriques

Exemple d'exercices :

Pour trouver la mesure d'un angle

On va donc me donner en énoncé la mesure de 2 des côtés :


Enoncé type : Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB = 6cm et BC = 12cm. Calculer la mesure de l'angle B au degrés près :

Résolution de l'exercice :

 

1. Je trace la figure en y inscrivant les indications données par l'énoncé :





2. Cela me permet de voir les éléments dont je dispose :

1. Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me donne la mesure de 2 des côtés
3. On me demande de calculer la mesure d'un angle

Bingo : j'ai la mesure de 2 côtés : je cherche celle d'un angle : je suis en situation parfaite pour l'application d'une des formules de trigonométrie. La question maintenant est de savoir laquelle ? comment choisir ? et bien en fonction du nom des côtés dont je possède les mesures par rapport à mon angle tout simplement.

Je regarde :

Je connais la mesure de BC ; BC =12 : je sais que BC est l'hypothénuse de mon triangle

Je connais la mesure de AB : que représente AB par rapport à l'angle B ? C'est le côté qui touche l'angle B; je peux donc dire que AB est le côté adjacent à mon angle B.

Je ne connais pas la mesure de AC mais en ai-je besoin ? NON. L'essentiel est de connaître au moins la mesure de 2 des côtés du triangle ; en effet, les formules de trigonométrie prennent en compte 2 des côtés + 1 angle :

Il ne me reste plus qu'à choisir la formule qui correspond aux éléments dont je dispose, c'est à dire la formule qui prend en compte l'hypothénuse du triangle et le côté adjacent de l'angle

Je réécris les 3 formules que je connais par coeur :

Quelle est la formule que je vais utiliser ? Et bien le COSINUS

Méthode de calcul pour trouver la mesure d'un angle

1. j'ai choisi la formule adaptée à mon exercice : je la réecris : pour un angle A donné on a:

2. Je remplace les termes de ma formule par les termes de mon énoncé :

3. Je remplace les termes de mon énoncé par leur valeur :

Cela tombe bien , je connais 2 valeurs sur les 3 et celle qui me manque est bien celle que je cherche : l'angle B

4. Je calcule ma formule comme une équation :

= 0,5 donc cos = 0,5
donc

Le reste se passe à la calculatrice : je taperai 0,5 cos^-1 (touche shift + cos) : ma calculatrice me donne 60 : ce nombre correspond à la valeur de l'angle B : je peux écrire : B = 60 °

Remarque : Si ce sont les formules du sinus ou de la tangente qu'il faut utiliser, la méthode de calcul est exactement la même : la différence est la touche de calculatrice utilisée : si on fait le sinus on tapera la touche sin^-1 , si c'est la tangente, on tapera tan^-1. Et c'est tout ! Facile non ???

Pour trouver la mesure d'un côté

On va donc me donner en énoncé la mesure d'un des côtés du triangle, + la mesure d'un angle :

Enoncé type : Tracer un triangle ABC rectangle en A avec AB = 4 cm et angle C = 43°. Calculer la mesure du côté AC, arrondi au millimètre près :

  Résolution de l'exercice : Même procédé que dans l'exercice ci-dessus

1. Je trace la figure en y inscrivant les indications données par l'énoncé :





2. Cela me permet de voir les éléments dant je dispose :

1. Je suis en situation de triangle rectangle
2. On me donne la mesure d'un des côtés + la mesure d'un angle
3. On me demande de calculer la mesure d'un côté

 

Bingo : j'ai la mesure d'un des côtés du triangle + la mesure d'un angle : je cherche celle d'un 2è côté : je suis en situation parfaite pour l'application d'une des formules de trigonométrie. La question maintenant est de savoir laquelle ? Comment choisir ? et bien en fonction du nom du côté dont je possède la mesure et le nom du côté dont je cherche la mesure par rapport à mon angle tout simplement.

Je regarde :

Je connais la mesure de AB ; AB = 4 : je regarde ce que représente le côté AB pour l'angle dont on me donne la mesure, c'est à dire l'angle C : le côté AB est en face de l'angle C : le côté AB est donc opposé à l'angle C

Je regarde maintenant ce que représente AC, le côté dont je cherche la mesure, par rapport à mon angle C : le côté AC touche l'angle C, il est donc adjacent à l'angle C

J'ai un angle et deux côtés nommés : je vais pouvoir choisir la formule de trigonométrie qui correspond aux éléments dont je dispose, c'est à dire la formule qui prend en compte le côté adjacent et le côté opposé à un angle :


Je réécris les 3 formules que je connais par coeur :

Quelle est la formule que je vais utiliser ? Et bien LA TANGENTE

Méthode de calcul pour trouver la mesure d'un côté

1. j'ai choisi la formule adaptée à mon exercice : je la réecris : pour un angle A donné on a:

2. Je remplace les termes de ma formule par les termes de mon énoncé :

3. Je remplace les termes de mon énoncé par leur valeur :

Cela tombe bien , je connais 2 valeurs sur les 3 et celle qui me manque est bien celle que je cherche : le côté AC


4. Je calcule ma formule comme une équation :

donc

Encore une fois, c'est la calculatrice qui fait le reste : je tape 4 ÷ tan 43 (touche tan) : ma calculatrice me donne 4,28947..... ce nombre correspond à la mesure de mon côté AC : je l'arrondis au mm supérieur : j'écris AC = 4,3 cm

Comme tout à l'heure, ma calculatrice s'adaptera à la formule qui correspond à mon exercice : si j'ai utilisé le cosinus ou le sinus, la méthode de calcul sera la même : par contre j'appuierai sur la touche sin de ma calculatrice, ou sur la touche cos.


ATTENTION à ne pas confondre les touches sin, tan, cos et sin^-1, tan^-1 et cos^-1 : à retenir :

Les touches sin^-1, tan^-1 et cos^-1 servent quand je cherche la mesure d'un angle
Les touches sin, tan, cos servent quand je cherche la mesure d'un côté


Le réflexe : Un triangle rectangle + des mesures d'angle et de côtés donnés ou à chercher = application de l'une des 3 formules de trigonométrie.