DROITES & SEGMENTS
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Qu'est-ce qu'une droite ?
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Une
droite se trace avec une règle. (bien
évidemment hi ! hi !)
Une
droite passe par un nombre infini de points : elle ne se
termine pas. Sa longueur est infinie. Je ne peux donc pas la
mesurer.
Notation d'une
droite :
entre parenthèses (......)
La droite qui passe par les points A et B est appelée
droite (AB)
Caractéristiques
:
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Deux droites parallèles sont 2 droites qui
ont la même direction (inclinaison ou
pente)
Notation : //
Exemple sur le
dessin : (AB) //
(CD)
2 droites parallèles n'ont aucun point
commun : elles ne se couperont jamais
Règle : Si deux droites
parallèles ont un point commun, alors elles
sont confondues (forment une seule et même
droite)
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Construction
:
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Je trace une 1ère droite
Je pose ma règle sur cette droite et bloque
l'inclinaison de la règle avec une autre
règle (ou équerre)
Je fais ensuite glisser ma règle pour tracer
ma 2è droite : étant donné que
ma règle ainsi bloquée conserve la
direction (ou inclinaison) de ma 1ère
droite, ma 2è droite aura cette même
direction : j'ai bien 2 droites
parallèles.
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Caractéristiques
:
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Ce sont deux droites qui se coupent en un point :
l'intersection de 2 droites sécantes forme
des angles (voir fiche les angles )
2 droites sécantes ont un point commun et un
seul : le point où elles se
coupent
Exemple sur le
dessin :
Les droites D et D' sont sécantes en un
point O ; le point O est commun aux 2 droites
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Ce sont des droites
sécantes particulières ; elles sont aussi
appelées droites orthogonales
Caractéristiques
:
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Deux droites perpendiculaires sont deux droites
sécantes qui forment un angle
droit, au point où elles se
coupent
Notation
:
Exemple sur le
dessin : (D) (D')
Règle
: si deux droites
sont perpendiculaires, elles forment un angle droit
: angle dont la mesure est 90° (voir
les angles)
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Construction
:
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Instrument indispensable à la construction
de droites perpendiculaires :
l'équerre
Je trace une
1ère droite
Je pose l'angle droit
de mon équerre sur cette droite, de
façon à ce que cette 1ère
droite représente un côté de
mon angle droit : la droite perpendiculaire sera le
2è côté de l'angle droit de mon
équerre : je le trace
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L'équerre a
la forme de l'angle droit : cet instrument
permet de disposer d'un angle droit
"déjà prêt". C'est
tellement pratique ! Sinon, je dois me
servir du rapporteur pour tracer l'angle
(voir fiche les
angles).
C'est à chacun de voir ce qui est
le + simple !!
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Propriétés des
droites :
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Si deux droites sont parallèles
à une même troisième, alors
elles sont parallèles entre
elles.
Si, si,
je vous promets ! Faîtes l'expérience.
Exemple : soit la droite (AB) ; tracez les droites
(DC) et (FE) parallèles à cette
droite (AB). Que remarquez-vous ? Et bien que (DC)
et (EF) deviennent également
parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires
à une même troisième, alors
elles sont parallèles entre elles.
Exemple :
soit la droite (F). Tracer les droites (D) et (D')
perpendiculaires à cette droite (F). Que
remarquez-vous ? Les droites (D) et (D') pour
qu'ells soient perpendiculaires à (F) ne
peuvent pas être autrement que
parallèles entre elles.
Et la
propriété inverse : Si deux droites sont
parallèles, alors toute droite
perpendiculaire à l'une est perpendiculaire
à l'autre.
Ces propriétés sont très
importantes, et pourtant souvent oubliées.
Malheureusement !!
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Demi-droites et segments de
droite
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La demi-droite et
le segment sont des portions de droite.
Qu'est-ce qu'une demi-droite
?
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Elle
est issue d'un point (représentant son
extrêmité) et va jusqu'à l'infini :
comme la droite je ne peux la mesurer
Notation
d'une demi-droite : [.......)
Le crochet indique
le point extrêmité de la demi-droite. la
parenthèse exprime l'infini (comme pour la
droite)
La demi-droite qui
part du point A et se continue à l'infini en B est
appelée demi-droite [AB)
Comme pour la
droite, je peux tracer des demi-droites parallèles ou
perpendiculaires (ou simplement sécantes) : les
propriétés acquises par le parallèlisme
et l'orthogonalité demeurent les mêmes.
Qu'est-ce qu'un segment de droite
?
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Il est
délimité par 2 points, appelés
extrêmités. Un segment de droite
peut être
mesuré
Notation d'un segment
:
[......]
Le segment
délimité par les points A et B est
appelé segment [AB]
Lorsque l'on mesure le segment [AB] on parle de
distance AB : la mesure de [AB] sera notée
AB
Comme pour la
droite, je peux tracer des segments parallèles ou
perpendiculaires (ou simplement sécants) : les
propriétés acquises par le parallèlisme
et l'orthogonalité demeurent les
mêmes.
ATTENTION : un segment peut aussi faire partie d'une
droite ou d'une demi-droite
Exemple :
Dessin N°
1 : sur la droite (D) ou
(AB) la portion de droite délimitée par les
points A et B forme le segment [AB]
Je peux dire que [AB] est un segment de la droite (D) ou
(AB)
Dessin N°
2 : sur la demi-droite
[AB), la portion délimitée par les points A et
B est appelée segment [AB]
Puisque le segment
peut être mesuré, je peux en tracer le milieu :
le milieu d'un segment est le point qui est situé
à égale distance des extremités de ce
segment. On dit qu'il est équidistant
des
extrêmités du segment.
Je
peux écrire les égalités
suivantes :
AM = MB = AB
c'est à dire la
distance AM est égale à la distance MB ; cette
mesure correspond à la moitié () de
la mesure du segment [AB]
ou encore
AB = AM + MB
AB = 2AM = 2MB
Droite particulière au
segment : la médiatrice
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Caractéristiques
:
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La médiatrice d'un segment est une droite
qui :
- Passe par le
milieu du segment
- Est
perpendiculaire à ce segment
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Construction
:
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2 méthodes de construction :
1.
Avec une équerre
:
Je cherche le milieu de mon segment : ce sera le
point du segment situé à égale
distance de ses extrêmités, c'est
à dire le point qui correspond à la
moitié de la mesure du segment.
M milieur de [AB]
Une fois le milieu de mon segment placé,
j'utilise l'équerre pour tracer la
perpendiculaire
Je pose l'angle droit de mon équerre sur mon
segment à hauteur de mon milieu, de
façon à ce que le segment
représente un côté de mon angle
droit : la droite perpendiculaire sera le 2è
côté de l'angle droit de mon
équerre : je le trace. Vu que cette
perpendiculaire passe par le milieu du segment,
elle devient la médiatrice de ce segment
2. Avec un
compas :
Cette construction est à mon avis plus
précise, rapide et plus simple.
Je prends comme écartement du compas la
mesure du segment [AB].
Avec cet écartement, je place la pointe de
mon compas successivement en A puis en B.
Depuis ces 2 points, je fais des marques de part et
d'autre de mon segment. les intersections des deux
marques, de chaque côté de mon
segment, constituent 2 points de ma
médiatrice. Il ne me reste donc plus
qu'à la tracer.
Remarque : cette construction
m'évite de placer le milieu au
préalable.
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Propriétés :
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Issues de ses caractéristiques
:
Si une droite est la médiatrice
d'un segment, alors elle est perpendiculaire
à ce segment
Si une droite est la médiatrice
d'un segment, alors elle passe par le milieu du
segment : par conséquent, et comme pour le
milieu, tous les points situés sur la
médiatrice sont équidistants (c'est
à dire se trouvent à égale
distance) des extremités du segment.
Remarque : on peut aussi énoncer les
propriétés inverses (cela peut servir
en fonction de ce que l'on me demande, en
démonstration par exemple)
Si une droite est perpendiculaire
à un segment et passe par son milieu, alors
cette droite est la médiatrice de ce
segment.
Si un point est équidistant des
extrémités d'un segment, alors il
appartient à la médiatrice de ce
segment.
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