DROITES & SEGMENTS


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Qu'est-ce qu'une droite ?
 

Une droite se trace avec une règle. (bien évidemment hi ! hi !)

Une droite passe par un nombre infini de points : elle ne se termine pas. Sa longueur est infinie. Je ne peux donc pas la mesurer.


Notation d'une droite : entre parenthèses (......)


La droite qui passe par les points A et B est appelée droite (AB)

 

Droites parallèles


Caractéristiques :


Deux droites parallèles sont 2 droites qui ont la même direction (inclinaison ou pente)

Notation : //

Exemple sur le dessin : (AB) // (CD)

2 droites parallèles n'ont aucun point commun : elles ne se couperont jamais

Règle :  Si deux droites parallèles ont un point commun, alors elles sont confondues (forment une seule et même droite)


 

Construction :


Je trace une 1ère droite
Je pose ma règle sur cette droite et bloque l'inclinaison de la règle avec une autre règle (ou équerre)
Je fais ensuite glisser ma règle pour tracer ma 2è droite : étant donné que ma règle ainsi bloquée conserve la direction (ou inclinaison) de ma 1ère droite, ma 2è droite aura cette même direction : j'ai bien 2 droites parallèles.

 



Droites sécantes


Caractéristiques :


Ce sont deux droites qui se coupent en un point : l'intersection de 2 droites sécantes forme des angles (voir fiche
les angles )

2 droites sécantes ont un point commun et un seul : le point où elles se coupent


Exemple sur le dessin :

Les droites D et D' sont sécantes en un point O ; le point O est commun aux 2 droites

 



Droites perpendiculaires

Ce sont des droites sécantes particulières ; elles sont aussi appelées droites orthogonales


Caractéristiques :


Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui
forment un angle droit, au point où elles se coupent

Notation :

Exemple sur le dessin : (D) (D')

Règle : si deux droites sont perpendiculaires, elles forment un angle droit : angle dont la mesure est 90° (voir les angles)

 

Construction :



Instrument indispensable à la construction de droites perpendiculaires :
l'équerre

 

Je trace une 1ère droite

Je pose l'angle droit de mon équerre sur cette droite, de façon à ce que cette 1ère droite représente un côté de mon angle droit : la droite perpendiculaire sera le 2è côté de l'angle droit de mon équerre : je le trace



L'équerre a la forme de l'angle droit : cet instrument permet de disposer d'un angle droit "déjà prêt". C'est tellement pratique ! Sinon, je dois me servir du rapporteur pour tracer l'angle (voir fiche les angles). C'est à chacun de voir ce qui est le + simple !!

 

 



Propriétés des droites :


Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Si, si, je vous promets ! Faîtes l'expérience. Exemple : soit la droite (AB) ; tracez les droites (DC) et (FE) parallèles à cette droite (AB). Que remarquez-vous ? Et bien que (DC) et (EF) deviennent également parallèles entre elles.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
 

Exemple : soit la droite (F). Tracer les droites (D) et (D') perpendiculaires à cette droite (F). Que remarquez-vous ? Les droites (D) et (D') pour qu'ells soient perpendiculaires à (F) ne peuvent pas être autrement que parallèles entre elles.

Et la propriété inverse : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Ces propriétés sont très importantes, et pourtant souvent oubliées. Malheureusement !!

Demi-droites et segments de droite

 

La demi-droite et le segment sont des portions de droite.


Qu'est-ce qu'une demi-droite ?

 

Elle est issue d'un point (représentant son extrêmité) et va jusqu'à l'infini : comme la droite je ne peux la mesurer

 

Notation d'une demi-droite : [.......)

 

Le crochet indique le point extrêmité de la demi-droite. la parenthèse exprime l'infini (comme pour la droite)

 

La demi-droite qui part du point A et se continue à l'infini en B est appelée demi-droite [AB)

Comme pour la droite, je peux tracer des demi-droites parallèles ou perpendiculaires (ou simplement sécantes) : les propriétés acquises par le parallèlisme et l'orthogonalité demeurent les mêmes.



Qu'est-ce qu'un segment de droite ?

Il est délimité par 2 points, appelés extrêmités. Un segment de droite peut être mesuré

Notation d'un segment :
[......]

Le segment délimité par les points A et B est appelé segment [AB]

Lorsque l'on mesure le segment [AB] on parle de distance AB : la mesure de [AB] sera notée AB

Comme pour la droite, je peux tracer des segments parallèles ou perpendiculaires (ou simplement sécants) : les propriétés acquises par le parallèlisme et l'orthogonalité demeurent les mêmes.

ATTENTION : un segment peut aussi faire partie d'une droite ou d'une demi-droite

Exemple :

Dessin N° 1 : sur la droite (D) ou (AB) la portion de droite délimitée par les points A et B forme le segment [AB]

Je peux dire que [AB] est un segment de la droite (D) ou (AB)

Dessin N° 2 : sur la demi-droite [AB), la portion délimitée par les points A et B est appelée segment [AB]

Segment et milieu

 

Puisque le segment peut être mesuré, je peux en tracer le milieu : le milieu d'un segment est le point qui est situé à égale distance des extremités de ce segment. On dit qu'il est équidistant des extrêmités du segment.

Je peux écrire les égalités suivantes :
AM = MB = AB

c'est à dire la distance AM est égale à la distance MB ; cette mesure correspond à la moitié () de la mesure du segment [AB]

ou encore

AB = AM + MB
AB = 2AM = 2MB



Droite particulière au segment : la médiatrice

 

Caractéristiques :


La médiatrice d'un segment est une droite qui :

  • Passe par le milieu du segment
  • Est perpendiculaire à ce segment



 

Construction :


2 méthodes de construction :

1. Avec une équerre :

Je cherche le milieu de mon segment : ce sera le point du segment situé à égale distance de ses extrêmités, c'est à dire le point qui correspond à la moitié de la mesure du segment.


M milieur de [AB]
Une fois le milieu de mon segment placé, j'utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire
Je pose l'angle droit de mon équerre sur mon segment à hauteur de mon milieu, de façon à ce que le segment représente un côté de mon angle droit : la droite perpendiculaire sera le 2è côté de l'angle droit de mon équerre : je le trace. Vu que cette perpendiculaire passe par le milieu du segment, elle devient la médiatrice de ce segment

2. Avec un compas :

Cette construction est à mon avis plus précise, rapide et plus simple.
Je prends comme écartement du compas la mesure du segment [AB].
Avec cet écartement, je place la pointe de mon compas successivement en A puis en B.
Depuis ces 2 points, je fais des marques de part et d'autre de mon segment. les intersections des deux marques, de chaque côté de mon segment, constituent 2 points de ma médiatrice. Il ne me reste donc plus qu'à la tracer.

Remarque : cette construction m'évite de placer le milieu au préalable.

 

Propriétés :


Issues de ses caractéristiques :

Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment

Si une droite est la médiatrice d'un segment, alors elle passe par le milieu du segment : par conséquent, et comme pour le milieu, tous les points situés sur la médiatrice sont équidistants (c'est à dire se trouvent à égale distance) des extremités du segment.

Remarque : on peut aussi énoncer les propriétés inverses (cela peut servir en fonction de ce que l'on me demande, en démonstration par exemple)

Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu, alors cette droite est la médiatrice de ce segment.

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

 

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