les angles

LES ANGLES

Qu'est-ce qu'un angle ?

C'est l'intersection de 2 droites sécantes : 2 droites sécantes forment4 angles. Le point d'intersection de ces 2 droites devientle sommetdes 4 angles.

Caractéristiques d'un angle

Un angle est formé :

d'un sommet
de 2 côtés

Prenons pour exemple l'angle dessiné en vert, et résultant de l'intersection des droites D et D' sur le dessin ci-dessus. Je nomme O son sommet et place les points A et C respectivement sur chacun de ses 2 côtés. Mon angle dessiné en vert peut être ainsi nommé : angle AOC

Notation

, correspondant aux trois points formant l'angle : le point du milieu correspondant systématiquement au

sommet de l'angle

Un angle se mesure :

Unité de mesure de l'angle :le degrésnoté °

Instrument de mesure d'un angle :le rapporteur

Le rapporteur est un instrument en demi-cercle, gradué sur sa partie supérieure, l'arc de cercle. Les graduations n'apparaissent pas sur mon dessin, mais il vous suffit de le constater sur le vôtre. Comment ça vous n'en avez pas !! Et bien courrez vite en acheter un - ça ne coûte pas cher, et c'estindispensablepour mesurer un angle : rappelez-vous ! Pour être un bon écolier, il faut avoir de bons outils !!

Utilisation du rapporteur :

Pour mesurer un angle

Je place le 0 central de mon rapporteur sur le sommet de l'angle. Je fais pivoter le rapporteur sur cet axe, pour le "poser" sur un des côtés de l'angle. La mesure de l'angle sera la graduation, point de rencontre du rapporteur avec le 2è côté de l'angle.

Au point de rencontre avec le côté AO de l'angle, mon rapporteur marque 70. Mon angle mesure donc 70° c'estun angle aigu(voir les différents angles ci-dessous)

Pour tracer un angle

Exemple : tracer l'angle = 90 ° Méthode : je trace un premier côté de l'angle, le segment [BC]. En B, je place le point 0 de mon rapporteur , et comme tout à l'heure, fais pivoter le rapporteur sur cet axe, pour le "poser" sur le côté que je viens de tracer. A la graduation 90 du rapporteur, je fais une marque : cette marque sera mon point A : je peux tracer le 2è côté AB de mon angle.

Une fois que mon rapporteur est correctement positionné sur BC, 1er côté de l'angle, je fais une marque à sa graduation 90 : cette marque sera le point A qui me permettra de tracer AB, le 2è côté de mon angle

Classement des angles

Les angles se classent en fonction de leur mesure : quand on a un peu pris l'habitude de travailler avec les angles, on les reconnaît aussi facilement à leur aspect :

`L'angle droit`
`Mesure: 90° Aspect: c'est l'angle de l'équerre Remarque : pour tracer un angle droit, 2 solutions : avec le rapporteur comme expliqué plus haut, ou simplement avec l'équerre en traçant 2 droites (ou segments) pendiculaires : c'est l'orthogonalité (voir fiche les droites)`
`L'angle aigu`
`Mesure: inférieure à 90° Aspect: écartement + petit que l'angle droit`
`L'angle obtu`
`Mesure: supérieure à 90° Aspect: écartement + grand que l'angle droit`
`L'angle plat (ou nul)`
`Mesure: 180° Aspect: aucun écartement : c'est l'angle formé par une seule droite`

Vocabulaire des angles

`angles complémentaires`
`2 angles sont complémentaires quand leur somme est égale à 90° (angle droit) Exemple sur le dessin : l'angle dessiné en bleu mesure 35° l'angle dessiné en vert mesure 55° la somme des 2 mesures fait 90° : les 2 angles forme un angle droit L'angle vert et l'angle bleu sont complémentaires`
`angles supplémentaires`
`2 angles sont supplémentaires quand leur somme est égale à 180° (angle plat) Exemple sur le dessin : l'angle dessiné en bleu mesure 110° l'angle dessiné en vert mesure 70° la somme des 2 mesures fait 180° : les 2 angles forme un angle plat L'angle vert et l'angle bleu sont supplémentaires`
`angles opposés (par le sommet)`
`2 angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet, et sont "l'un en face de l'autre" (n'ont aucun côté commun) Exemple sur le dessin : l'angle dessiné en bleu et l'angle dessiné en vert ont le même sommet O ils ne se touchent pas mais sont au contraire "l'un en face de l'autre" : ils n'ont aucun côté commun L'angle vert et l'angle bleu sont opposés par le sommet`

Propriétés des angles :

La somme des 4 angles formés par l'intersection de 2 droites (droites sécantes) est toujours égale à 360° Si un angle plat est composé de plusieurs angles la somme de leurs mesures doit être égale à 180° (angles supplémentaires) Si l'intersection de 2 droites forment un angle droit, les 3 autres angles ainsi formés seront aussi des angles droits. 2 angles opposés par le sommet sont égaux (ont la même mesure) Si deux angles ont le même complémentaire (ou supplémentaire) alors ils ont la même mesure.

Etudions maintenant les angles ci-dessus à la lumière de ces propriétés :

Je connais la mesure de l'angle dessiné en vert : je l'ai mesuré au rapporteur plus haut = 70° Grâce à cette mesure, et aux propriétés que je viens d'exposer, je vais pouvoir trouver la mesure des 3 autres angles :

angle dessiné en jaune : il possède le même sommet que l'angle vert, et se trouve "en face de lui" - je peux dire que l'angle jaune est opposé par le sommet à l'angle vert. je peux donc utiliser la propriété : 2 angles opposés par le sommet sont égaux.
angle dessiné en bleu : il forme avec l'angle vert, un angle plat : je peux dire qu'ils sont supplémentaires. Je vais donc pouvoir appliquer la propriété : " Si un angle plat est composé de plusieurs angles la somme de leurs mesures doit être égale à 180° (angles supplémentaires)"
angle dessiné en rose : comme l'angle bleu, il forme avec l'angle jaune un angle plat : ils sont supplémentaires. J'applique de la même façon la propriété : " Si un angle plat est composé de plusieurs angles la somme de leurs mesures doit être égale à 180° (angles supplémentaires)"
Tiens, je vois que l'angle rose a la même mesure que l'angle bleu. Normal !! Quand je regarde de plus près, je m'aperçois que ces 2 angles, comme le jaune et le vert sont opposés par le sommet. j'ai donc bien respecté la règle de dire que 2 angles opposés par le sommet sont égaux. Tout est cohérent. Enfin, je vérifie que je ne me suis pas trompée avec la dernière propriété : " La somme des 4 angles formés par l'intersection de 2 droites (droites sécantes) est toujours égale à 360°"

Droites particulières aux angles

La bissectrice

La bissectrice est une droite qui partage un angle en 2 angles égaux : Construction : Avec un compas : Je place la pointe de mon compas sur le sommet de l'angle. Je prends un écartement (n'importe lequel, mais petit de préférence), et je fais une marque avec cet écartement sur chacun des côtés de mon angle. Je place ensuite la pointe de mon compas successivement sur ces 2 marques nouvellement tracées, et avec un nouvel écartement (touujours n'importe lequel, mais un peu plus grand cette fois-ci), je redessine 2 autres marques : l'intersection de ces marques constitue un point de la bissectrice de mon angle. Il ne me reste plus qu'à tracer cette bissectrice, en reliant ce point au sommet de mon angle.

Propriétés :

La bissectrice partage un angle en 2 (on peut dire que c'est le "milieu de l'angle") : cela implique que tous les points situés sur la bissectrice d'un angle sont équidistants (se trouvent à égale distance) des côtés de l'angle. Cela implique que les 2 nouveaux angles ainsi créés par la bissectrice ont la même mesure Et la propriété inverse : si un point est équistant des côtés d'un angle, alors ce point appartient à la bissectrice de ce segment Si un angle est coupé en 2 angles égaux, alors la droite qui coupe cet angle est appelée bissectrice

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