LES SERIES STATISTIQUES

Travail sur les séries statistiques

Un série statistique, se lit, s'étudie et s'exploite

Attention : avant d'exploiter de lire ou d'étudier une série statistique, celle ci-doit être triée et ordonnée en fonction des caractères :

Trier la série : ranger les effectifs par caractère commun
Ordonner la série : Je range en principe les données dans l'ordre croissant de caractères

En effet, la série statistique est toujours issue d'un relevé d'élèments dans une population donnée : ce tri et cette ordonnancement permet à ces éléments de prendre une signification, de se profiler autour de certains axes d'études

Exemple :

La série statistique simple des notes que vous avez découverte ci-dessus provient du relevé de notes suivant :

1 ; 4 ; 10 ; 3; 12; 17; 14 ; 10 ; 12; 3; 5 ; 11 ; 4 ; 8; 11; 9; 3 ; 6; 14; 7; 15; 2 ; 10 ; 12; 8; 13; 9; 12; 9

Effectif total de la classe : 29 élèves
Caractère de la série : notes obtenues au brevet

Bien entendu, pour arriver cette série statistique, ces notes ont été triées et ordonnées

1/ L'ordonnancement : je classe les notes (caractères) dans un tableau par ordre croissant :

Cette première étape me permet de faire une première constation sur la série :

Personne dans la classe n'a obtenu 0 sur 20, ni 16 sur 20 - Et les notes s'arrêtent à 17 sur 20

2/ Le tri : je regroupe cette fois les élèves (effectifs) par notes :

Exemple : dans mon relevé de notes, je constate que j'ai :
1 seul élève, qui a obtenu 1 sur 20
1 seul élève qui a obtenu 2 sur 20
3 élèves qui ont obtenu 3
etc....

Je remplis ainsi mon tableau avec ce total d'effectif par caractère

ATTENTION : je fais bien attention de ne pas oublier de valeurs dans mon classement (je peux par exemple rayer les notes au fur et à mesure que je les comptabilise)
Je vérifierai finalement que le total de mes élèves est bien restitué par ce partage : 29 notes donc 29 élèves

1 + 1 + 3 + 2+ 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 2 + 4 + 1 +2 + 1 + 1 = 29 : le compte est bon !!

Remarque : A nouveau et à la fin de cette deuxième étape de tri par caractère, e peux affiner mon analyse des notes obtenues par cette classe de 3è :

Je sais déjà que personne n'a eu O/20, ni 16/20 à l'épreuve de maths du Brevet : personne non plus n'a eu une note supérieure à 17/20

Je peux dire encore que :
"la note la plus souvent obtenue est 12 : elle a été obtenue par 4 élèves sur 29"

ou encore que :

14 élèves ont eu la moyenne au brevet : (je prends pour cela tous les élèves ayant une note supérieure ou égale à 10 = 3 + 2 + 4 + 1 + 2 + 1 + 1 = 14

Sur le total de la classe, cela représente presque la moitié des élèves ( moitié = 29 ÷ 2 = 14,5)

etc.... etc....

Je fais la même chose avec une série rangée par classe :

La différence : je dois bien faire attention à ranger les effectifs en fonction des classes et de leur amplitude

Les classes et leur amplitude :

Soit on me les impose dans un énoncé


Exemple : "Voici les salaires moyens par mois en francs de tous les salariés de l'entreprise X. sur l'année 2001. Vous ordonnerez et trierez la série dans des classes d'amplitude 2000"



Soit, aucune précision n'est donnée sur le sujet dans l'exercice : c'est alors à moi de voir comment ordonner les valeurs dans des classes, pour que la série soit lisible et significative


Une fois que ma série est correctement triées et ordonnée : je peux alors me lancer dans son interprétation et explication

Comment ??

2 possibilités :

• Par le calcul
• Par représentation et lecture graphique




Calcul sur des séries statistiques


Les calculs me permettent bien entendu d'affiner mon interprétation de la série :

Ce que je peux calculer sur une série statistique (nous ne verrons dans cette fiche que les calculs les plus simples) :

La fréquence


c'est l'effectif réalisé par chaque caractère exprimé en pourcentage du total

Pour l'explication du calcul d'un pourcentage d'un total, je révise la fiche correspondante :

Exemple 1:

Dans la série simple sur les notes, je peux dire que le caractère (la note) 12 représente : 4 effectifs sur un total de 29 soit ramené à la base 100 : 4 x 100 ÷ 29 = 13,79310..... = 13,79 %


Je peux faire la même chose avec tous les autres caractères notes de la série, mais aussi avec les séries rangées par classe :

ATTENTION : si le total des effectifs n'apparaît pas je dois impérativement le calculer pour obtenir cette fréquence

Exemple 2:

Dans la série par classes sur les salaires, je n'ai encore pas calculé le total des salariés :
Je dois le faire pour exprimer les fréquences par classes

Pour obtenir le total des salariés, j'additionne tout bêtement leur nombre comptabilisé dans chacune des classes :
Ainsi et pour remprendre mon tableau :

Et si je considère que tous les employés de l'entreprise ont été comptabilisés dans la série :

J'aurai donc un nombre total de salariés de : 20 + 96 + 52 + 17 = 185

Ce total est appelé effctif total de la série et va me permettre de calculer les fréquences de chacune des classes de caractères :

Ainsi, je peux dire par exemple que :

• La tranche de salaire [4000 ; 6000 [ représente (20 ÷185) x 100 = 10,81 % du total , c'est à dire que dans cette entreprise 10,81 % des salariés ont un salaire mensuel entre 4000 et 6000 francs
  
  
• La tranche de salaire [6000 ; 8000 [ représente (96 ÷ 185) x 100 = 51,89 % du total , c'est à dire que dans cette entreprise 51,89 % des salariés ont un salaire mensuel entre 6000 et 8000 francs
  
  etc..... etc......
  

Cette fréquence en pourcentages, me permet une meilleure lecture de la série :

Les 51,89 % que je viens de calculer par exemple, me permettent clairement d'affirmer que plus de la moitié des salariés de l'entreprise ont un salaire entre 6000 et 8000 francs mensuel, car je sais que la moitié d'un total est égal à 50 % (le pourcentage est peut-être plus significatif que le nombre correspondant : 96 sur 185)

Bien entendu, je dois toujours faire attention que le total de mes fréquences soit égal à 100 % (dans le cas contraire, je dois forcément me dire qu'il y a une erreur quelque part non ??




Les cumuls


Je pense que tout le monde connaît la signification de ce mot : cumuler, c'est bien sûr additionner des valeurs, des données, .etc......

Concernant une série statistique nous pouvons faire le cumul :


• Des effectifs
• Des fréquences

L'intérêt de ces cumuls : savoir où j'en suis au niveau des effectifs pour un caractère donné

Explication : elle va se faire sous forme de tableau et en reprenant mes exemples :

Je reprends ma série simple de notes du brevet :

Regardez bien le tableau des calculs :

(*) : 100,01 % très exactement en raison des arrondis

Qu'ai-je fait ??

J'ai pris soin tout d'abord de calculer les fréquences des effectifs pour chacun des caractères, comme vu plus haut

Ensuite, j'ai tout simplement additionner les effectifs et les fréquences en suivant, dans l'ordre où elles se présentaient, et à chaque stade de caractère :

Ainsi, le cumul total des effectifs est égal à 29, c'est à dire l'effectif total de la classe
Et le cumul total des fréquences est égal à 100 % (100,01 % en raison des arrondis) : logique non ??

Et quelle est l'utilité alors de ces cumuls intermédiaires ??

Et bien, je vous l'ai dit plus haut : les cumuls vont me permettre de connaître la situation globale de mes effectifs, pour un caractère donné :

Exemple : si je regarde la ligne du caractère 9, je lis :

15 dans la colonne cumul des effctifs, et
51,73 % dans la colonne cumul des fréquences


A qui correspondent ces chiffres ??

Pour le cumul des effectifs : Et bien à l'addition des effectifs des élèves qui ont obtenu une note de 1 à 9, 9 y compris

Et pour le cumul des fréquences : Et bien à l'addition des fréquences des élèves qui ont obtenu une note de 1 à 9, 9 y compris

Bon, jusque là on est d'accord : MAIS A QUOI CELA ME SERT-IL ??

Et bien, puisque la note 9 est juste avant la moyenne, je sais alors grâce à ces cumuls que :
15 élèves ont obtenu une note inférieure à 10 (puisque le cumul donne le total des élèves ayant obtenu les notes, 1-2-3-4-5-6-7-8 et 9

Je peux donc dire que 15 élèves de la classe n'ont pas obtenu la moyenne à l'épreuve de maths du brevet 2001, ce qui représente une part de la classe de 51,73 % (but des fréquences cumulées)

Et voilà : grâce à ces cumuls l'analyse s'affine, j'ai d'avantage de matière pour analyser et parler de la série de notes

Remarque 1 : N'avais-je pas commencé à dire plus haut que :

"14 élèves ont eu la moyenne au brevet : (je prends pour cela tous les élèves ayant une note supérieure ou égale à 10 = 3 + 2 + 4 + 1 + 2 + 1 + 1 = 14
Sur le total de la classe, cela représente presque la moitié des élèves ( 29 / 2 = 14,5)"

Et bien cela se confirme ici : puisque 15 élèves ont eu une note inférieure à la moyenne, alors 14 élèves (29 - 16 = 14) ont eu une note supérieure ou égale
Et
Cela représente bien moins de la moitié des élèves, puisque les notes inférieures à 10 représentent une part du total de 51,73 %, soit effectivement plus de la moitié (moitié = 50 %) : les notes supérieures ou égales à 10 représentant alors 48,27 % (100 % - 51,73 % = 48,27 %)


Remarque 2 : les cumuls peuvent se faire dans les 2 sens : nous venons de le voir dans notre exemple ici
Pour calculer la répartition des notes par rapport à la moyenne 10 :

• Soit je cumule les notes inférieures à cette note
  
• Soit je calcule les notes supérieures, comme je l'ai fait ici par soustraction par rapport à mon total : car bien sûr ce cumul ne peut pas me faire apparaître les notes supérieures, car par son principe, il prend en compte toutes les notes au moins (l'effectif du caractère + les effectifs précédents) : "dans cette classe 15 élèves ont obtenu au moins 9 à l'épreuve de mathématiques du brevet"

Mais pas de panique .....Car les cumuls offrent de grandes possibilités, y compris celle de montrer combien d'élèves ont par exemple obtenu 10 ou plus à l'examen

Cela relève bien sûr d'un autre principe de cumul, que je qualifierais plutôt de "décumul" :

Reprenons notre tableau et regardez plutôt :

J'appelerai cumul 2, ce nouveau principe de cumul : bien sûr et une fois encore le cumul est possible à la fois au niveau des effectifs et au niveau des fréquences

 

3,44 %(*) : il manque 0,01 % à cause des arrondis

Quel est le principe de ce cumul N° 2 :

Dans la case de mon premier caractère je pars avec la totalité de mes effectifs ou de mes fréquences :
Les cumuls des caractères suivants viendront alors progressivement déduire ce total des effectifs précédents :

Et bien oui : si je réfléchis par rapport à ma logique, je dois me rappeler que par ce cumul, je devais arriver à totaliser les effectifs pour cette note ou plus

Ainsi et par exemple :

Si je prends l'effectif et la fréquence cumulés 2 du caractère 1, il est donc tout à fait logique de dire que :

29 élèves ont obtenu 1 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 1)
100 % des élèves ont obtenu 1 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 1)

Si je prends l'effectif et la fréquence cumulés 2 du caractère 2, je dirai alors et de la même façon que :

28 élèves ont obtenu 2 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 2)
96,55 % des élèves ont obtenu 2 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 2)


etc.... etc......

Et finalement que :

Si je prends l'effectif et la fréquence cumulés 2 du caractère 10 :

14 élèves ont obtenu 10 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 10)
48,27 % des élèves ont obtenu 10 et + à l'épreuve (une note supérieure ou égale à 10)

Le nombre d'élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 est donc bien de 14, soit 48,27 % de la classe
C'est le résultat que j'ai trouvé + haut, et que j'ai pu obtenir grâce à ce nouveau principe de cumul

Remarque :

Vocabulaire et résumé :

Le 1er cumul des effectifs et des fréquences me permet pour un caractère donné (exemple note) de calculer le total des effectifs ou des fréquences qui ont obtenu cette note ou moins

Le 2 ème cumul des effectifs et des fréquences me permet pour un caractère donné (exemple note) de calculer le total des effectifs ou des fréquences qui ont obtenu cette note ou plus

Je peux donc, et il peut m'être utile de calculer les 2, en fonction des analyses que je dois faire

On appelle le 1er cumul des effectifs et des fréquences l' effectif ou fréquence cumulés croissants

On appelle le 2ème cumul des effectifs et des fréquences l' effectif ou fréquence cumulés décroissants

Comme je vous l'ai dit, il peut être intéressant de savoir calculer les 2 ; au niveau représentation graphique également, le point de rencontre des courbes représentatives des effectifs cumulés croissants et des effectifs cumulés décroissants constitue la médiane de la série : mais nous reverrons cela plus tard


ATTENTION EGALEMENT : aux séries statistiques rangées par classes:

Bien sûr, le calcul des effectifs et fréquences cumulés croissants et décroissants sont possibles et se réalisent de la même manière.

Mais attention à leur lecture et surtout à leur interprétation en raison notamment de la signification des classes, et des valeurs incluses ou non :

Voici par exemple le tableau des cumuls réalisés sur notre série concernant la répartition des salaires de l'entreprise X :

Regardez bien ces cumuls et essayez de répondre aux questions suivantes :

1. Combien de salariés dans l'entreprise touchent moins de 10000 francs par mois ??
2. Quel est le poucentage de "bons" salaires ?? Remarque : on considérera comme "bons salaires" les salaires de 8000 francs ou plus
3. Une amie me dit que dans cette entreprise, il y a plus de 50 % des salariés qui touchent moins de 8000 francs par mois : a-t-elle raison ??

etc...

Les réponses:

1. Combien de salariés dans l'entreprise touchent moins de 10000 francs par mois ??

Je dois regarder à la ligne [8000; 10000 [, le total de la colonne effectifs cumulés croissants :

Je lis : 168
168 correspond bien au total des salariés qui touchent moins de 10 000 francs, car c'est le total de la classe 8000 francs inclus, 10 000 francs exlus + les classes précédentes (principe de l'éffectif cumulé croissant)

Je fais une phrase de réponse :
168 salariés de l'entreprise touchent moins de 10 000 francs par mois

2. Quel est le poucentage de "bons" salaires ?? Remarque : on considérera comme "bons salaires" les salaires de 8000 francs ou plus

Je dois regarder à la ligne [8000; 10000 [, le total de la colonne fréquences cumulées décroissantes :

Je lis : 37,30 %
37,30 % correspond bien à un pourcentage de salariés qui touchent 8000 francs ou plus, car c'est le total des fréquences (pourcentage) de la classe 8000 francs inclus, + les classes suivantes (principe des fréquences cumulées décroissantes)

Je fais une phrase de réponse :
Les "bons salaires" représentent 37,30 % des salaires de l'entreprise

3. Une amie me dit que dans cette entreprise, il y a plus de 50 % des salariés qui touchent moins de 8000 francs par mois : a-t-elle raison ??

Je dois regarder à la ligne [6000; 8000 [, le total de la colonne fréquences cumulées croissantes :

Je lis : 62,70 %
62,70 % correspond bien au pourcentage des salariés qui touchent moins de 8000 francs, car c'est la fréquence de la classe 8000 francs exclus, + les classes précédentes (principe des fréquences cumulées croissantes)

62,70 % est bien supérieur à 50 %

Je fais une phrase de réponse :
Oui, mon amie a raison : il y a bien plus de 50 % des salariés de cette entreprise qui touchent moins de 8000 francs pas moi

Et voilà : si toutes vos réponses sont correctes, c'est que vous avez compris : si vous avec compris la correction, c'est très bien également : mais dans les autres cas, je vous conseillerais de revoir les explications ci-dessus avant d'aller plus loin : surtout que des questions d'interprétation de ce genre sont souvent demandées sur des séries statistiques, et notamment à l'examen du brevet : alors pensez-y !!




La moyenne


Alors ça, la moyenne on connaît : surtout lorsqu'il s'agit de notes, n'est-ce pas ?? En effet, qui n'a jamais eu l'occasion de calculer sa propre moyenne ??!!

Dans une série dont les caractères sont des notes, la moyenne servira à donner la note moyenne de la série
Dans une série dont les caractères sont des âges, la moyenne servira à donner l'âge moyen de la série
etc...
etc....

Alors là le calcul de la moyenne......c'est très facile !!
A h oui, et bien alors, comment fait-on ??

Je réfléchis : lorsqu'à la fin d'un trimestre par exemple, je dois calculer ma moyenne en maths, en anglais, en français ......Quelle opération dois-je faire ??

Et bien j'additionne simplement toutes les notes obtenues dans cette matière
La moyenne : Permet d'obtenir une valeur moyenne de caractère pour l'ensemble d'une série : c'est ce que nous faisons lorsque nous devons calculer notre moyenne de notes sur un trimestre par exemple : comment faire ?? Et bien on additionne toutes les notes obtenues, et on divise ce total ainsi obtenu par le nombre total de notes....

Exemple :

Voici mes notes du 1er trimestre en anglais :
11,5 - 8 - 13 - 12
J'additionne mes 4 notes : 11,5 + 8 + 13,5 + 12 = 45
Je divise ce total obtenu par le nombre de notes, soit 4 : 45 : 4 = 11,25

Ma moyenne de ce trimestre en anglais sera donc de 11,25

Je crois que ça tout le monde sait faire non ??

Et maintenant, avec nos séries statistiques ??

Tiens, cela tombe bien : l'exemple concerne justement une série de notes : je reprends mon tableau de calcul :

Ah oui, c'est vrai : les notes ont été triées et regroupées : mais alors, comment faire pour la moyenne ??

Et bien je connais déjà mon nombre total de notes : il est égal à l'effectif total de la classe : et bien oui ! Puisqu'il y a 29 élèves dans la classe il y aura 29 notes : LOGIQUE !!
Mais alors ? Pour obtenir le total des points obtenus dans cette classe ??

Et bien, le fait d'avoir regroupé les notes ne change rien : si je sais par exemple que :
• Si 4 élèves de la classe ont obtenu 12 sur 20, le total de leurs points sera bien égal à 12 + 12 + 12 + 12, ou encore 12 x 4 = 48 non ??
  
• Si 3 élèves ont obtenu 9 sur 20, le total de leurs points sera bien égal à 9 + 9 + 9 ou encore 9 x 3 = 27 ?? et ainsi de suite pour toutes les notes
  

Il me suffira donc dans mon tableau d'ajouter une colonne de calcul résultant de la multiplication du caractère avec son nombre d'effectifs correspondant

Et alors le total de toutes les notes s'obtiendra alors par addition de tous ces calculs :

J'ai le nombre de points obetnus par chacune des notes en fonction du nombre d'élèves : je peux alors additionner tous ces points pour avoir un nombre de points total sur toute la classe :

1 + 2 + 9 + 8 + 5 + 6 + 7 + 16 + 27 + 30 + 22 + 48 + 13 + 28 + 15 + 17 = 254

A l'épreuve de maths du brevet 2001, cette classe de 3è a donc acquis, de part ses notes obtenues, un total de 259 points

Quelle sera alors la note moyenne de la classe ??
Et bien il ne me restera plus alors qu'à diviser ce total de points par le nombre de notes (ou nombre d'élèves de la classe) = 254 ÷ 29 = 8,63

La moyenne de cette classe à l'épreuve de maths sera de 8,63 sur 20

Et voila : pas plus compliqué finalement que pour mes notes d'anglais !!

Remarque : l'exercice se corse un peu avec des séries rangées par classes :

Exemple de notre série concernant les salaires de l'entreprise X

Bien sûr, je peux aussi et cette fois calculer le salaire moyen perçu par les salariés de l'entreprise : mais comment alors faire un calcul du total des salaires avec des classes ?? En effet, le tableau ne me donne pas le salaire exact des 185 salariés.....Dans ce cas là,il vaudrait peut-être alors meiux que je retrouve le relevé d'origine : celui où tous les salaires sont repertoriés, mais non classés.......Je n'aurais alors plus qu'à tous les additionner puis à diviser le total par 185 ??!!!

Remarquez : 185 salaires ......La liste et l'addition risquent d'être longues...!!

Non..... Les statisticiens ont instauré une méthode plus rapide de calcul de la moyenne d'une série, lorsqu'elle est rangée par classe.....
Ils vont en fait partir du principe, que à moyenne, caractère moyen

Principe : Je n'ai pas une seule valeur de caractère pour un effectif donné, mais une classe complète de caractères (ici classes de 2000 caractères) ? Très bien : pour ramener cette classe à une seule valeur de caractère, et ainsi procéder pour le calcul de la moyenne comme pour une série simple, je vais claculer le caractère moyen de chaque classe

Ainsi, chaque classe aura son caractère représentatif qui pourra être multiplié par l'effectif de la classe pour obtenir un total moyen de salaires

Principe de calcul du caractère moyen de chaque classe :
(valeur de début de la classe + valeur de fin de classe) ÷ 2

Exemple : classe [4000 ; 6000 [ : caractère moyen = (4000 + 6000) ÷ 2 = 10000 ÷ 2 = 5000
Le caractère moyen de la classe sera donc 5000

Je peux ainsi et de la même façon calculer le caractère moyen de chacune des classes, et les insérer dans mon tableau :

Ainsi le total des salaires va se faire sur une base moyenne, par la multiplication de l'effectif de chaque classe et du caractère moyen de la classe : Regardez plutôt :

Soit un total de salaire moyen de 1 427 000 francs, que je peux alors diviser par le total de mes effectifs : 185

1 427 000 ÷ 185 = 7713,51 francs

Cemontant correspondra alors au salaire moyen de l'entreprise .....

En résumé la moyenne d'une série s'obtient :

Avec des séries simples :
Somme des multiplications caractère par effectif ÷ effectif total

Avec des séries rangées par classes :

Somme des multiplications caractère moyen de la classe par effectif ÷ effectif total

Première conclusion


Et voilà pour ce qui est des premières notions et des premiers calculs à effectuer sur une série statistique - Il existe bien sûr d'autres calculs possibles, dont parmi eux et pour les plus courants :

• Le calcul de la médiane
• Le calcul des quartiles et de leurs écarts
• Le calcul de la variance
• Le calcul de l'écart type

Nous ne verrons ici et pour l'instant qu'un seul de ces autres calculs : celui de la médiane

Car ce calcul fait partie du programme de 3è, et peut être demandé au brevet, sur des séries simples : il est donc utile de le connaître et surtout de comprendre comment il fonctionne ;

Pour les autres, ils sont abordés en général dans des classes supérieures, ou dans des sections professionnelles, en cours de gestion, car ils relèvent d'une étude plus affinée de la série ex: l'ecart intercartile permet de connaître l'étendue des notes par rapport à la moyenne, en occultant les notes aux extrémintés, l'écart type......)

Il est donc inutile ici de s'embrouiller l'esprit avec ces calculs, qui relèvent souvent d'apprentissage de formules : bien sûr, ceux qui en ont besoin, parce qu'ils sont amenés à les utiliser en cours, ou dans leur vie professionnel, peuvent me faire la demande de leur explication par mail stefladino@wanadoo.fr

Pour les autres, et pour l'instant, que chacun le sache : nous n'irons pas plus loin que l'explication du calcul de la médiane ......Mais c'est déjà pas si mal.............L'essentiel surtout et de bien comprendre que l'on peut effectuer toutes sortes de calculs sur des séries statistiques

Calcul de la médiane


Par définition, calculer la médiane, c'est calculer la valeur du caractère qui partage la série statistique en 2 parties d'effectifs égaux : tout simplement

Exemple :

Dans la petite série de notes suivantes :
3; 10 ; 14 ; 7 ; 8; 15; 9
La médiane sera : 9

Principe :

Je commence par ranger mes caractères dans l'ordre croissant :
3; 7; 8; 9; 10 ; 14; 15

Je comptabilise maintenant mon effectif = j'ai 7 notes donc 7 effectifs

Pour partager cette série en 2 parties d'effectifs égaux, je devrai la couper à l'effectif 4 : en effet, à cet effectif, j'aurai bien 3 effectifs avant et 3 effectifs après (car 7 = 3 x 2 + 1)



3; 7; 8;	9	10 ; 14; 15
3 effectifs		3 effectifs


La médiane de la série sera donc 9 : car 9 est le caractère pour lequel ma série est coupée en 2 parties d'effctifs égaux - le caractère qui correspond donc au 4è effectif

Intérêt de la médiane :

Cette médiane 9 me permet par exemple de dire que : "il y a autant de personnes qui ont obtenu une note inférieure à 9 que de personnes qui ont obtenu une note supérieure"

Attenion : une médiane n'est pas une moyenne
Ici la médiane est 9 et la moyenne est : 3 + 7 + 8 + 9 + 10 + 14 + 15 = 66 ÷ 7 = 9,43

Et si je reprends mes 2 exemples de séries :

Quelles en seront les médianes ??

Série N° 1 : les notes

La série prend en compte un effectif total de 29 élèves : pour qu'elle soit partagée en 2 parties d'effectifs égaux, je devrai la couper au 15è effectif ( 29 = 14 x 2 + 1)

En effet, et effectivement , au 15è effectif, j'aurai bien 14 effectifs avant et 14 effectifs après : je regarde alors dans mon tableau à quel caractère de note correspond mon 15è effectif ?

J'obtiens l'effectif 15 au 3è effectif de la note 9/20 : la médiane de la série sera donc 9

Je peux le vérifier également dans le tableau des cumuls :

L'effectif 15 se situe bien dans la ligne du caractère 9 de la colonne effectif cumulé croissant :

Série N° 2 : les salaires

La série prend en compte un effectif total de 185 personnes : pour qu'elle soit partagée en 2 parties d'effectifs égaux, je devrai la couper au 93è effectif ( 185 = 92 x 2 + 1)

En effet, et effectivement , au 93è effectif, j'aurai bien 92 effectifs avant et 93 effectifs après : je regarde alors dans mon tableau à quel caractère de salaire correspond mon 93è effectif ?

Concrètement le 93è effectif se trouve dans la classe de salaire [6000 ; 8000[, quelque part entre ces 2 valeurs : comme tout à l'heure en série simple, je peux le vérifier également grâce aux effectifs cumulés croissants :

Le 93è effectif se situe bien effectivement dans les 116 premiers effectifs - il correspond donc effectivement à une valeur de caractère située dans la classe [6000 ; 8000[

La médiane de la série se situe donc dans la classe [6000 ; 8000[

Et si j'ai envie de donner la valeur exacte de la médiane ??

Et bien, je peux le faire si j'en ai besoin : comment ?? Je vais alors partir du principe que le valeur de la médiane est proportionnelle dans la classe à la place de l'effectif correspondant :

Explication :

Le 93è effectif représentatif de la médiane se situe à la 73è place dans la classe [6000 ; 8000[
93 - les 20 places de la classe précédente [4000 ; 6000[

Je peux donc dire que cet effectif est 73è sur 96 (76/96) : je vais partir du principe que son équivalent médiane occupe proportionnellement le même rapport de place dans la classe

Amplitude de la classe : 2000 caractères



	Effectifs	caractères
médiane	73	?
total	96	2000


73 x 2000 ÷ 96 = 1520,83

Le caractère médian occupe donc la 1520,83è place dans la classe de caractères
Le caractère médian est donc exactement égal à 7520,83
6000 (début de la classe) + 1520,83 (place de la médiane dans cette classe) = 7520,83

Qu'est-ce que cela signifie concrètement ??

Et bien simplement que dans la série des salaires, il y a exactement autant de salariés qui touchent moins de 7520,83 francs par mois que de salariés qui touchent plus : 92 d'un côté, comme de l'autre pour être exact !!

Et voilà : vous savez tout sur la médiane et sur son utilisation : vous pouvez également et comme je vous le disais en début de cette fiche, consulter le sujet corrigé N° 4 de la partie spéciale brevet : l'exercice en question sur les statistiques incluait justement un calcul de médiane : cela pourra vous donner un exemple d'utilisation supplémentaire.....

Nous en avons fini également avec les calculs sur les séries statistiques : je vous l'ai dit : nous ne verrons pas ici les calculs plus poussés, tels les variantes d'écartement de la série

Il ne nous reste plus qu'à voir rapidement le principe de la représentation graphique d'une série statistique : car de telles représentations peuvent vous être demandées à l'examen : on peut aussi vous demander de savoir lire et interpréter ces représentations : il nous faut donc les voir un minimum : cela se passe.....
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