LA FACTORISATION

Que veut dire factoriser une expression ?

Factoriser une expression c'est mettre en évidence un facteur commun dans 2 (ou plus) expressions multipliées

Qu'est-ce qu'un facteur ? C'est un nombre (ou un groupe de nombres) qui multiplie un ou plusieurs autres nombres (ou groupes de nombres)

Rappel : lorsque qu'on lit l'application 2 (2 + 3) , on peut dire : 2 multiplié par ( 2 + 3) ou encore 2 facteur de ( 2 + 3) (voir fiche sur les opérations) - Les 2 expressions sont synonymes.

Qu'est-ce que cela signifie ? Que tout nombre qui se multiplie avec tout autre nombre est appelé facteur :

Par conséquent dans notre exemple, 2 est un facteur et (2 + 3) est aussi un autre facteur
Si on prend une autre expression multipliée : 2 (3 + 6 ) , 2 est un facteur et (3 + 6) est un autre facteur
Et si on relie nos deux exemples d'expressions multipliées par un signe + ou -, qu'est-ce qu'on a ?
2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) ou 2 (2 + 3) - 2 (3 + 6)

On a deux expressions multipliées reliées par un signe + ou -, qui comportent chacune 2 facteurs : la particularité de ces expressions : elles ont toutes les 2 le facteur 2 : je peux donc dire que 2 est le facteur commun à mes 2 expressions multipliées : c'est le principe même de la factorisation !!





Comment factoriser une expression ?

1ère étape : Je dois vérifier que mon expression est prête à être factorisée



Règle : Pour pouvoir pratiquer le principe de la factorisation, mon expression à factoriser doit être impérativement sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - ............. .................. + - ................... ....................


C'est LA condition pour pouvoir commencer une factorisation,

Et si mon expression n'est pas sous cette forme ? Je la réécris pour qu'elle le devienne. Je verrai également dans les cas particuliers que je peux être amenée à la transformer, ou encore, et si je ne peux rien faire, à utiliser les identités remarquables (voir ci-dessous).


Exemple : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : je réécris mon expression : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : mon expression est correctement construite : je vais pouvoir commencer ma factorisation

 

Cas particuliers : certains cas nécessitent une légère modification :

Multiplication par 1 :

Exemple: 3 - 3 : je réécris mon expression : 3 - 3 ; mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer ; Comment transformer 3 en une multiplication de nombre ? en le multipliant par 1 : si j'écris 3 - 3 1 , mon expression est alors correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation

NB : Je vais utiliser cette propriété de multiplication par 1, chaque fois que j'aurai besoin de transformer un terme simple en une multiplication


Parenthèses au carré :

Exemple: ( - 1) (2 + 3) + ( - 1)² : je réécris mon expression : ( - 1) (2 + 3) + ( - 1)² ; mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer ; Comment transformer (- 1)² en une multiplication de nombre ? en me rappelant q'un nombre au carré, c'est un nombre multiplié par lui même tout simplement, soit :

( - 1)² = ( - 1) ( - 1)

Si j'écris ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1) , mon expression est alors correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation

NB : Bien penser à la signification du carré chaque fois que je suis en présence d'une parenthèse au carré


2ème étape : Mon expression est correctement construite : Je dois chercher le facteur commun à mes expressions multipliées


Je reprends mes exemples et j'analyse leur contenu :


Exemple N° 1 : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe + ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 2 et facteur ( 2 + 3) et dans la 2è : facteur 2 et facteur (3 + 6)

Question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :

Je dis que 2 est le facteur commun à 2 (2 + 3) et à 2 (3 + 6)


Exemple N° 2 : 3 - 3 1 : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe - ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 3 et facteur , et dans la 2è : facteur 3 et facteur 1

Même question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur 3. En effet, 3 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :

Je dis que 3 est le facteur commun à 3 - 3 1


Exemple N° 3 : ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1) : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe +; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur ( - 1) et facteur (2 + 3) , et dans la 2è : 2 facteurs ( - 1)

Même question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur ( - 1). En effet, ( - 1) est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :

Je dis que ( - 1) est le facteur commun à ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1)




ATTENTION : Il se peut que dans certaines expressions, mon facteur commun ne soit pas apparent, et qu'il me faille transformer au moins une de mes expressions multipliées pour le faire apparaître. Comment ? Voir cas particuliers ci-dessous.



3ème étape : J'ai trouvé le facteur commun à mes 2 expressions multipliées : je peux faire ma factorisation

Règle : Dès que j'ai trouvé mon facteur commun : je le sors de mes 2 expressions et le mets en facteur de "tout le reste", comme ci-dessous :

Toujours, conformément à mes exemples :


Exemple N° 1 : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : dans cette expression, j'ai déterminé que le facteur commun était 2.

Principe : Je le sors de mes deux expressions et le mets en facteur :
= 2 (................)

Dans la parenthèse que multiplie 2, je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait le 2

Que me reste-t-il ? (2 + 3) + (3 + 6) - j'écris :

= 2 [(2 + 3) + (3 + 6) ]

Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)
[(2 + 3) + (3 + 6) ] : j'enlève les parenthèses à l'intérieur de mes crochets en respectant la règle - Je n'ai pas de signe - devant mes parenthèses, je peux les enlever sans problème :

[(2 + 3) + (3 + 6) ] = (2 + 3 + 3 + 6)

J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :

(2 + 3 + 3 + 6) = (2 + 6 + 3 + 3 )

2 + 6 = 8
3 + 3 = 6
(2 + 3 + 3 + 6) = ( 8 + 6) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse

Résultat de ma parenthèse : ( 8 + 6)

Je peux donc écrire : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) = 2 ( 8 + 6) ou 2 ( 8 + 6)

2 ( 8 + 6) est le résultat de la factorisation de l'expression 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6)



Exemple N° 2 : 3 - 3 1 : dans cette expression, j'ai déterminé que le facteur commun était 3.

Principe : Je le sors de mes deux expressions et le mets en facteur :
= 3 (................)

Dans la parenthèse que multiplie 3, je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait 3

Que me reste-t-il ? - 1 ; j'écris :

= 3 ( - 1)

Je vois que je ne peux pas calculer ma parenthèse (je n'ai pas le droit de soustraire un terme et un nombre entier


Je peux donc écrire : 3 - 3 1 = 3 ( - 1)

3 ( - 1) est le résultat de la factorisation de l'expression 3 - 3


Exemple N° 3 : ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1): dans cette expression, j'ai déterminé que le facteur commun était ( - 1)

Principe : Je le sors de mes deux expressions et le mets en facteur :
= ( - 1) (................)

Dans la parenthèse que multiplie ( - 1) je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait ( - 1)

Que me reste-t-il ? (2 + 3) + ( - 1) ; j'écris :

= ( - 1) [(2 + 3) + ( - 1)]


Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)
[(2 + 3) + ( - 1)] : j'enlève les parenthèses à l'intérieur de mes crochets en respectant la règle - Je n'ai pas de signe - devant mes parenthèses, je peux les enlever sans problème :

[(2 + 3) + ( - 1)] = (2 + 3 + - 1)

J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :

(2 + 3 + - 1) = (2 + + 3 - 1)

2 + = 3
3 - 1 = 2
(2 + 3 + - 1)) = ( 3 + 2) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse

Résultat de ma parenthèse : ( 3 + 2)

Je peux donc écrire : ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1) = ( - 1) ( 3 + 2) ou
( - 1) (3 + 2)

( - 1) (3 + 2) est le résultat de la factorisation de l'expression ( - 1) (2 + 3) + ( - 1)²

 

Ceci est le principe même de la factorisation. Le principe est simple - La factorisation s'effectue toujours selon les trois mêmes étapes :

1. Je vérifie que mon expression à factoriser est sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - : je la réécris pour qu'elle soit correctement structurée dans le cas contraire

2. Dans mon expression correctement structurée, je recherche un facteur commun à toutes les expressions multipliées (voir exemples)

3. J'ai trouvé mon facteur commun : je le sors et le multiplie par tout le reste

Malheureusement, certaines fois les expressions à factoriser sont plus complexes : elles nécessitent d'être transformées, soit pour faire apparaître une structure correcte (étape N° 1), soit pour mettre en évidence un facteur commun (étape N° 2). Certaines fois même, et si je ne peux les transformer, je dois faire appel aux identités remarquables. Voyons comment tout cela se passe .........


Cas particuliers de factorisation

Transformation d'une expression :


Cas N° 1 : je dois transformer mon expression pour obtenir une expression correctement structurée :

Exercice : Factoriser l'expression suivante : (5 -3) ( + 1) + 2 + 2

1ère étape : Je dois réecrire mon expression sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - je réécris mon expression :

(5 -3) ( + 1) + 2 + 2

la 1ère expression est bien une expression multipliée ; un signe + sépare les deux expressions : jusque là mon expression est correctement structurée. Je regarde ma deuxième expression : 2 + 2 ; ce n'est pas une expression multipliée. Je ne peux donc pas commencer ma factorisation.


Que dois-je faire ? Chercher à mettre mon expression 2 + 2 sous la forme .......... ..............

Comment ?


En effectuant la factorisation de l'expression 2 + 2 :

a/. Je réécris mon expression : 2 + 2 ; mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer en écrivant 2 + 2 1 : mon expression est maintenant correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation


b/ J'analyse le contenu de mon expression : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe + ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 2 et facteur , et dans la 2è : facteur 2 et facteur 1. Quel est le facteur commun à mes 2 expressions ? Le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : 2 est donc le facteur commun à 2 + 2 1 : je peux donc le sortir et le mettre en facteur de tout le reste :

= 2 (.............) ; que me reste-t-il ? + 1 ; Je vais écrire :
= 2 ( + 1) ; je ne peux pas calculer d'avantage ma parenthèse
2 x ( + 1) est le résultat de ma factorisation de mon expression 2 + 2 ; grâce à la factorisation, j'ai transformé la 2ème expression de mon exercice en une expression multipliée : je vais donc la remplacer :

(5 -3) ( + 1) + 2 ( + 1)
Cette fois-ci, mon expression est correctement structurée : 2 expressions multipliées séparées par un signe + : je peux commencer ma factorisation .

2ème étape : Je peux maintenant rechercher le facteur commun : j'analyse mes expressions :j'ai 2 expressions séparées par un signe + ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur (5 -3) et facteur ( + 1) , et dans la 2è : facteur 2 et facteur ( + 1). Quel est le facteur commun à mes 2 expressions ? Le facteur ( + 1) . En effet, ( + 1) est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è :( + 1) est donc le facteur commun à :
(5 -3) ( + 1) + 2 ( + 1)

Je peux donc le sortir et le mettre en facteur de tout le reste :

= ( + 1) (...............)

Que me reste-t-il ? (5 -3) + 2

= ( + 1) [(5 -3) + 2]

Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)

[(5 -3) + 2] : j'enlève les parenthèses à l'intérieur de mes crochets en respectant la règle - Je n'ai pas de signe - devant mes parenthèses, je peux les enlever sans problème :
[(5 -3) + 2] = (5 -3 + 2)

J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :

- 3 + 2 = - 1
(5 -3 + 2) = (5 - 1) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse

Résultat de ma parenthèse : (5 - 1)

Je peux donc écrire : (5 -3) ( + 1) + 2 ( + 1) = ( + 1) (5 - 1) ou ( + 1) (5 - 1)

( + 1) (5 - 1) est le résultat de la factorisation de l'expression (5 -3) ( + 1) + 2 + 2


Particularités : factorisation par 1 ou par - 1

Dans mon exemple, à la place de 2 + 2, j'aurais pu avoir :

a/ + 1 ; je n'ai aucun facteur commun à et à 1 à part 1 : j'aurais écrit + 1 = 1 ( + 1) pour avoir mon expression multipliée
b/ - - 1 ; je n'ai aucun facteur commun à - et à - 1 à part 1 : j'aurais écrit :
- - 1 = -1 x( --1) pour avoir mon expression multipliée. Par contre, comment faire pour retomber sur le facteur commun ( + 1) ? Pour cela, ce n'est pas 1 que j'aurais du mettre en facteur, mais - 1, de façon à obtenir -1 ( + 1), et ainsi , en réintégrant l'expression dans mon exemple ci-dessus, pouvoir mettre ( + 1) en facteur

 

Cas N° 2 : je dois transformer mon expression pour faire apparaître le facteur commun


Exercice 1 : Factoriser l'expression suivante : 10 - 2

1ère étape : Je dois réecrire mon expression sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - je réécris mon expression : 10 - 2 ; mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer en écrivant 10 - 2 1 : mon expression est maintenant correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation

2ème étape : Je peux maintenant rechercher le facteur commun : j'analyse mes expressions :j'ai 2 expressions séparées par un signe - ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur
10 et facteur , et dans la 2è : facteur 2 et facteur 1. Quel est le facteur commun à mes 2 expressions ? Je m'aperçois que je n'ai aucun facteur commun à mes 2 expressions. Aïe ! Comment vais-je faire ? J'imagine que si on me demande de factoriser cette expression, c'est qu'il est possible de le faire. Comment ? Et bien si le facteur commun n'est pas apparent, je vais essayer de le faire apparaître en modifiant mes expressions multipliées.

NB : en règle générale, il me suffit de modifier une seule expression, le facteur commun étant déjà évident au moins dans l'une des 2 expressions.


METHODE : j'essaie de trouver une relation entre les termes des deux expressions : j'étudie chacune des expressions, et je vois qu'il peut exister une relation entre le 10 de la 1ère expression, et le 2 de la 2è. Quelle est cette relation ?

10 = 5 2

Je peux donc remplacer 10 dans mon expression par 2 5 ; mon expression devient :

5 2 x - 2 1

J''ai maintenant 2 expressions toujours séparées par un signe - ; dans ma 1ère expression : 3 facteurs : le facteur 5, le facteur 2 et le facteur ; dans ma 2ème expression : toujours 2 facteurs : le facteur 2 et le facteur 1. Est-ce que je peux maintenant dégager un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui - le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : 2 est donc le facteur commun à 5 2 x - 2 1 : je peux donc le sortir et le mettre en facteur de tout le reste :

= 2 (..............)
Que va-t--il me rester dans ma parenthèse ? 5 - 1

= 2 (5 - 1)


  Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)

(5 - 1) = La multiplication est prioritaire ; j'effectue 5 = 5

(5 - 1) = ( 5 - 1) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse

Résultat de ma parenthèse : (5 - 1)

Je peux donc écrire : 10 - 2 = 2 (5 - 1) ou 2 (5 - 1)

2 (5 - 1) est le résultat de la factorisation de l'expression 10 - 2

 

Exercice 2 :

Factoriser l'expression suivante : (10 - 2) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1)


1ère étape : Comme d'habitude, je réecris mon expression sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - :

(10 - 2) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1)

Mon expression est correctement structurée (j'ai bien au moins deux expressions multipliées séparées par un signe -) : je vais pouvoir commencer ma factorisation


2ème étape : Je peux maintenant rechercher le facteur commun : j'analyse mes expressions :j'ai 2 expressions séparées par un signe - ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur
(10 - 2) et facteur (3 + 4) , et dans la 2è : facteur (4 + 2) et facteur (5 - 1). Quel est le facteur commun à mes 2 expressions ? Je m'aperçois que je n'ai aucun facteur commun à mes 2 expressions. Aïe ! Comment vais-je faire ? Comme dans l'exemple ci-dessus, je vais essayer de le faire apparaître en modifiant mes expressions multipliées.

METHODE : j'essaie de trouver une relation entre les termes des deux expressions : j'étudie chacune des parenthèses, et je vois qu'il peut exister une relation entre le (10 - 2) de la 1ère expression, et le (5 - 1) de la 2è. Quelle est cette relation ?

(10 - 2) = 2 (5 - 1) ; j'ai déjà transformé l'expression dans l'exercice N° 1


Je peux donc remplacer (10- 2) dans mon expression par 2 (5 - 1) ; mon expression devient :

2 (5 - 1) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1)


Je me retrouve avec cette fois-ci 2 expressions multipliées, l'une à 3 facteurs, le facteur 2, le facteur (5 - 1) et le facteur (3 + 4) , et l'autre à 2 facteurs, le facteur (4 + 2) et le facteur (5 - 1) . Ai-je mis en évidence un facteur commun ? OUI - c'est le facteur (5 - 1) , car il est facteur dans la 1ère expression et facteur dans la 2ème : je le sors, et le multiplie avec tout ce qui reste :


= (5 - 1) (.............)

Que va-t-il me rester dans la parenthèsse ? 2 (3 + 4) - (4 + 2)


= (5 - 1) [ 2 (3 + 4) - (4 + 2) ]

 


  Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)

2 (3 + 4) - (4 + 2) = La multiplication est prioritaire ; j'effectue 2 (3 + 4), en appliquant la distributivité de la multiplication : 2 (3 + 4) = 2 3 + 2 4 = 6 + 8

2 (3 + 4) - (4 + 2) = 6 + 8 - (4 + 2)

J'enlève les parenthèses en appliquant la règle : il y a un signe - devant (4 + 2) , pour enlever la parenthèse, je change les signes des termes de la parenthèse : 4 devient -4 ; 2 devient - 2

2 (3 + 4) - (4 + 2) = 6 + 8 - 4 - 2

Je regroupe les termes de même nature pour les calculer :
6 - 2 = 4
+ 8 - 4 = 4


2 (3 + 4) - (4 + 2) = 4 + 4 ; je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse

Résultat de ma parenthèse : (4+ 4)

Je peux donc écrire :
2 (5 - 1) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1) = (5 - 1) x (4 + 4) ou (5 - 1) (4 + 4)

(5 - 1) (4 + 4) est le résultat de la factorisation de l'expression :
(10 - 2) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1)


ATTENTION : pour chaque expressions que je transforme, je dois faire attention de toujours la transformer en expression multipliée ; sinon, je m'éloigne du principe même de la factorisation.

Contrôle : Chaque fois que je transforme une expression en la factorisant, je dois vérifier que mon expression est correctement transformée. Pour cela, je redistribue mon terme factorisé sur les autres

Exemple : Je vérifie que 2 (5 - 1) est la bonne factorisation de (10 - 2), en redistribuant 2 sur chacun des termes de ma parenthèse : 2 5 - 2 1 = 10 - 2 ; la transformation est correcte


Identités Remarquables :

La règle :

Toutes les fois où je vois que mon expression n'est pas correctement structurée et que je m'aperçois que je ne peux pas non plus la transformer pour la mettre sous la forme :

................. .................. + - ................................,

ou
Toutes les fois où je n'arrive pas à trouver un facteur commun à mes expressions multipliées,
je dois me tourner vers les identités remarquables.

En effet, si je n'arrive pas à modifier une expression pour qu'elle soit prête à être factorisée, pourquoi alors me demanderait-on de la factoriser ? Et si je ne trouve pas de facteur commun ? Comment vais-je factoriser ? La solution à tous ces problèmes : les identités remarquables...........

Principe : voir fiche les identités remarquables


Exercice d'utilisation : Factoriser l'expression : 4² + 4 + 1


1 . Je dois réecrire mon expression sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - je réécris mon expression : 4 + 4 + 1 mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer en écrivant 4 + 4 + 1 1 : mon expression est maintenant correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation

2ème étape : Je peux maintenant rechercher le facteur commun : j'analyse mes expressions : j'ai 3 expressions séparées par un signe + ; dans ma 1ère expression : 3 facteurs : facteur 4 , et 2 facteurs ; dans ma 2è expression le facteur 4 et le facteur ; dans ma 3ème expression : 2 facteurs 1
Quel est le facteur commun à mes 3 expressions ? Je m'aperçois que je n'ai aucun facteur commun à mes 3 expressions. J'ai bien le facteur 4 et le facteur commun à mes 2 premières expressions, mais ils ne sont pas facteurs dans ma troisième. Comme tout à l'heure, je vais dons être obligée de modifier au moins une des 3 expressions pour mettre en évidence le facteur commun

Je cherche la relation qu'il peut exister entre 4², 4 et 1 : je cherche, je cherche, j'ai beau chercher, il n'y en a apparemment aucune : je ne peux pas mettre en evidence un facteur commun aux 3 expressions

 

Je me tourne donc vers la solution finale : les identités remarquables : je les ai notées sur un coin de brouillon, cela me permets de choisir rapidement parmi les 3 celle qui correspond à mon expression :

a² + 2ab + b² = (a + b )²
a² - 2ab + b² = (a - b )²
a² - b² = (a + b ) (a - b)

J'ai choisi les énoncés de la colonne de droite puisque je suis en factorisation (voir tableaux dans fiche correspondante)

J'ai les 3 énoncés sous les yeux : je regarde s'il y en a un qui correspond à mon exercice : il semblerai que le 1er énoncé : a² + 2ab + b² corresponde à la structure de mon expression :

Je vérifie :
si 4² = a², cela signifie que a = 2 ; (2)²= 2^{2 2} = 4²
si 1 = b^2, cela signifie que b = 1 ; (1)²= 1
avec a = 2 et b = 1, j'aurai : 2ab = 2 2 1 = 4
Mon expression correspond bien à l'identité remarquable : a² + 2ab + b², avec a = 2 et b = 1
Il ne me reste plus qu'à remplacer les valeurs a et b dans l'expression (a + b )², qui correspond à la factorisation de a² + 2ab + b² :

( 2 + 1 )² ; ceci est le résultat final de ma factorisation


Il est important de bien comprendre que les identités remarquables me serviront toutes les fois où je suis bloquée ; par contre, si je suis bloquée et que les identités remarquables ne fonctionnent pas non plus (c'est à dire que mon énoncé ne correspond pas à un énoncé d'identité remarquable), cela signifie sûrement que je me suis trompée dans la gestion de mon exercice ! Je pouvais certainement transformer une de mes expressions, et cela m'a échappé.

ATTENTION : Certaines fois, les identités remarquables sont dissimulées dans des expressions : il est nécessaire de transformer l'expression avant de voir apparaître l'identité remarquable ; ouïe, ouïe, ouïe, ça se complique non ???





Factorisation et Développement

ATTENTION à ne pas confondre factorisation et développement .

En effet, dans tous les sujets du brevet des collèges par exemple, vous avez une partie de l'activité numérique où, pour une expression donnée, vous devez à la fois développer et factoriser cette expression (vous trouverez des exemples de ce type d'exercice dans les exercices de cette fiche). Il s'agit de bien remettre à leur place les 2, et donc il est nécessaire de bien en comprendre la différence.

Il ne faudrait pas par exemple redévelopper une expression que vous venez de factoriser !! C'est tentant je sais, mais dommage pour le résultat de l'exercice non ????