Qu'est-ce qu'un facteur ? C'est un nombre (ou un groupe de nombres) qui multiplie un ou plusieurs autres nombres (ou groupes de nombres) Rappel
:
lorsque qu'on lit l'application 2 (2 + 3) , on peut dire : 2
multiplié
par (
2 + 3) ou encore 2
facteur
de (
2 + 3) (voir fiche sur les opérations) - Les
2 expressions sont synonymes.
Si on prend une autre expression multipliée : 2 (3 + 6 ) , 2 est un facteur et (3 + 6) est un autre facteur Et si on relie nos deux exemples d'expressions multipliées par un signe + ou -, qu'est-ce qu'on a ?
On a deux expressions multipliées
reliées par un signe + ou -, qui comportent
chacune 2 facteurs : la particularité de ces
expressions : elles ont toutes les 2 le facteur 2 : je
peux donc dire que 2 est le facteur
commun à mes 2 expressions
multipliées : c'est le principe même de
la factorisation !!
C'est LA condition pour pouvoir commencer une factorisation, Et si mon expression n'est pas sous cette forme ? Je la réécris pour qu'elle le devienne. Je verrai également dans les cas particuliers que je peux être amenée à la transformer, ou encore, et si je ne peux rien faire, à utiliser les identités remarquables (voir ci-dessous).
Cas
particuliers : certains cas
nécessitent une légère
modification : Exemple: 3 - 3 : je réécris mon expression : 3 - 3 ; mon expression n'est pas sous la forme demandée : je peux la transformer ; Comment transformer 3 en une multiplication de nombre ? en le multipliant par 1 : si j'écris 3 - 3 1 , mon expression est alors correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation NB : Je vais
utiliser cette propriété de
multiplication par 1, chaque fois que j'aurai besoin
de transformer un terme simple en une
multiplication Parenthèses au
carré :
Si j'écris ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1) , mon expression est alors correctement structurée : je vais pouvoir commencer ma factorisation NB : Bien
penser à la signification du carré
chaque fois que je suis en présence d'une
parenthèse au carré 2ème
étape : Mon expression est
correctement construite : Je dois chercher le facteur
commun à mes expressions multipliées
Exemple N° 1 : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe + ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 2 et facteur ( 2 + 3) et dans la 2è : facteur 2 et facteur (3 + 6) Question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :
Exemple N° 2 : 3 - 3 1 : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe - ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 3 et facteur , et dans la 2è : facteur 3 et facteur 1 Même question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur 3. En effet, 3 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :
Même question : Y a-t-il un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui , le facteur ( - 1). En effet, ( - 1) est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : il est donc commun aux 2 expressions :
3ème étape : J'ai trouvé le facteur commun à mes 2 expressions multipliées : je peux faire ma factorisation Règle : Dès que j'ai trouvé mon facteur commun : je le sors de mes 2 expressions et le mets en facteur de "tout le reste", comme ci-dessous :
Exemple N° 1 : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) : dans cette expression, j'ai déterminé que le facteur commun était 2.
Dans la parenthèse que multiplie 2, je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait le 2
= 2 [(2 + 3) + (3 + 6) ] Je vois que la parenthèse
peut-être simplifiée : je fais le
calcul de ma parenthèse conformément
aux propriétés de calcul que je
connais: (voir fiche règles de
calcul)
J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :
3 + 3 = 6 (2 + 3 + 3 + 6) = ( 8 + 6) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse Résultat de ma parenthèse : ( 8 + 6) Je peux donc écrire : 2 (2 + 3) + 2 (3 + 6) = 2 ( 8 + 6) ou 2 ( 8 + 6)
Exemple N° 2 : 3 - 3 1 : dans cette expression, j'ai déterminé que le facteur commun était 3.
Dans la parenthèse que multiplie 3, je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait 3
= 3 ( - 1) Je vois que je ne peux pas calculer ma
parenthèse (je n'ai pas le droit de
soustraire un terme et un nombre entier Je peux donc écrire : 3 - 3 1 = 3 ( - 1)
Dans la parenthèse que multiplie ( - 1) je vais mettre tout ce qui me reste une fois que j'ai extrait ( - 1)
= ( - 1) [(2 + 3) + ( - 1)] Je vois que la parenthèse
peut-être simplifiée : je fais le
calcul de ma parenthèse conformément
aux propriétés de calcul que je
connais: (voir fiche règles de
calcul)
J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :
3 - 1 = 2 (2 + 3 + - 1)) = ( 3 + 2) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse Résultat de ma parenthèse : ( 3 + 2) Je peux donc
écrire : ( - 1) (2 + 3) + ( - 1) ( - 1) = ( - 1) ( 3 + 2) ou ( - 1) (3 + 2) est le résultat de la factorisation de l'expression ( - 1) (2 + 3) + ( - 1)2 Ceci est le principe même de la factorisation. Le principe est simple - La factorisation s'effectue toujours selon les trois mêmes étapes :
2. Dans mon expression correctement structurée, je recherche un facteur commun à toutes les expressions multipliées (voir exemples) 3. J'ai trouvé mon facteur commun : je le sors et le multiplie par tout le reste Malheureusement, certaines fois
les expressions à factoriser sont plus
complexes : elles nécessitent d'être
transformées, soit pour faire apparaître
une structure correcte (étape N° 1), soit
pour mettre en évidence un facteur commun
(étape N° 2). Certaines fois même,
et si je ne peux les transformer, je dois faire appel
aux identités remarquables. Voyons comment tout
cela se passe .........
Cas N° 1 : je dois transformer mon expression pour obtenir une expression correctement structurée :
1ère étape : Je dois réecrire mon expression sous la forme d'au moins 2 expressions multipliées séparées par un signe + ou - je réécris mon expression :
la 1ère expression est bien une
expression multipliée ; un signe +
sépare les deux expressions : jusque là
mon expression est correctement structurée. Je
regarde ma deuxième expression :
2 + 2 ; ce n'est pas
une expression multipliée. Je ne peux donc pas
commencer ma factorisation. Que dois-je faire ? Chercher à mettre mon expression 2 + 2 sous la forme .......... ..............
b/ J'analyse le contenu de mon expression : j'ai 2 expressions multipliées séparées par un signe + ; dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans la 1ère expression : facteur 2 et facteur , et dans la 2è : facteur 2 et facteur 1. Quel est le facteur commun à mes 2 expressions ? Le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : 2 est donc le facteur commun à 2 + 2 1 : je peux donc le sortir et le mettre en facteur de tout le reste : = 2
(.............) ; que me
reste-t-il ? + 1 ; Je vais écrire
: (5 -3) ( + 1) + 2 ( + 1) 2ème
étape : Je peux maintenant rechercher le
facteur commun : j'analyse mes expressions :j'ai 2
expressions séparées par un signe + ;
dans chacune de mes 2 expressions : 2 facteurs - dans
la 1ère expression : facteur (5 -3) et facteur
( + 1) , et dans la
2è : facteur 2 et facteur ( + 1). Quel est le
facteur commun à mes 2 expressions ? Le facteur
( + 1) . En effet,
( + 1) est facteur
dans la 1ere expression et facteur dans la 2è
:( + 1) est donc le facteur commun
à :
Que me reste-t-il ? (5 -3) + 2
Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)
J'ai des termes de même nature : je les regroupe et en effectue le calcul :
(5 -3 + 2) = (5 - 1) : je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse Résultat de ma parenthèse : (5 - 1) Je peux donc écrire : (5 -3) ( + 1) + 2 ( + 1) = ( + 1) (5 - 1) ou ( + 1) (5 - 1) ( + 1) (5 - 1) est le résultat de la factorisation de l'expression (5 -3) ( + 1) + 2 + 2 Particularités : factorisation par 1 ou par - 1 Dans mon exemple, à la place de 2 + 2, j'aurais pu avoir :
b/ - - 1 ; je n'ai aucun facteur commun à - et à - 1 à part 1 : j'aurais écrit : - - 1 = -1 x( --1) pour avoir mon expression multipliée. Par contre, comment faire pour retomber sur le facteur commun ( + 1) ? Pour cela, ce n'est pas 1 que j'aurais du mettre en facteur, mais - 1, de façon à obtenir -1 ( + 1), et ainsi , en réintégrant l'expression dans mon exemple ci-dessus, pouvoir mettre ( + 1) en facteur
Cas N° 2 : je dois transformer mon expression pour faire apparaître le facteur commun Exercice 1 : Factoriser l'expression suivante : 10 - 2 1ère
étape : Je dois réecrire mon
expression sous la forme d'au moins 2 expressions
multipliées séparées par un signe
+ ou - je réécris mon expression : 10
- 2 ; mon expression n'est pas
sous la forme demandée : je peux la transformer
en écrivant 10 - 2 1 :
mon
expression est maintenant correctement
structurée : je vais pouvoir commencer ma
factorisation METHODE : j'essaie de trouver une relation entre les termes des deux expressions : j'étudie chacune des expressions, et je vois qu'il peut exister une relation entre le 10 de la 1ère expression, et le 2 de la 2è. Quelle est cette relation ?
Je peux donc remplacer 10 dans mon expression par 2 5 ; mon expression devient :
J''ai maintenant 2 expressions toujours séparées par un signe - ; dans ma 1ère expression : 3 facteurs : le facteur 5, le facteur 2 et le facteur ; dans ma 2ème expression : toujours 2 facteurs : le facteur 2 et le facteur 1. Est-ce que je peux maintenant dégager un facteur commun à mes 2 expressions ? Réponse : oui - le facteur 2. En effet, 2 est facteur dans la 1ere expression et facteur dans la 2è : 2 est donc le facteur commun à 5 2 x - 2 1 : je peux donc le sortir et le mettre en facteur de tout le reste :
Que va-t--il me rester dans ma parenthèse ? 5 - 1 = 2 (5 - 1) Je vois que la parenthèse peut-être simplifiée : je fais le calcul de ma parenthèse conformément aux propriétés de calcul que je connais: (voir fiche règles de calcul)
Résultat de ma parenthèse : (5 - 1) Je peux donc écrire : 10 - 2 = 2 (5 - 1) ou 2 (5 - 1) 2 (5 - 1) est le résultat de la factorisation de l'expression 10 - 2
Factoriser l'expression suivante : (10 - 2) (3 + 4) - (4 + 2) (5 - 1)
Mon
expression est correctement structurée (j'ai
bien au moins deux expressions multipliées
séparées par un signe -) : je vais
pouvoir commencer ma factorisation 2ème
étape : Je peux maintenant
rechercher le facteur commun : j'analyse mes
expressions :j'ai 2 expressions séparées
par un signe - ; dans chacune de mes 2 expressions : 2
facteurs - dans la 1ère expression :
facteur
Je peux donc remplacer (10- 2) dans mon expression par 2 (5 - 1) ; mon expression devient :
= (5 - 1) (.............)
= (5 - 1) [ 2 (3 + 4) - (4 + 2) ]
2 (3 + 4) - (4 + 2) = 6 + 8 - (4 + 2)
2 (3 + 4) - (4 + 2) = 6 + 8 - 4 - 2
6 - 2 = 4 + 8 - 4 = 4 2 (3 + 4) - (4 + 2) = 4 + 4 ; je ne peux plus rien calculer dans ma parenthèse Résultat de ma parenthèse : (4+ 4) Je peux donc
écrire : (5 - 1) (4 + 4) est le
résultat de la factorisation de l'expression
:
Identités
Remarquables :
ou Exercice d'utilisation : Factoriser l'expression : 42 + 4 + 1 1 . Je dois
réecrire mon expression sous la forme d'au
moins 2 expressions multipliées
séparées par un signe + ou - je
réécris mon expression : 4
+ 4
+ 1 mon expression
n'est pas sous la forme demandée : je peux la
transformer en écrivant 4
+ 4
+ 1 1 :
mon
expression est maintenant correctement
structurée : je vais pouvoir commencer ma
factorisation Je cherche la relation qu'il peut exister entre 42, 4 et 1 : je cherche, je cherche, j'ai beau chercher, il n'y en a apparemment aucune : je ne peux pas mettre en evidence un facteur commun aux 3 expressions Je me tourne donc vers la solution finale : les identités remarquables : je les ai notées sur un coin de brouillon, cela me permets de choisir rapidement parmi les 3 celle qui correspond à mon expression :
J'ai choisi les énoncés de
la colonne de droite puisque je suis en factorisation
(voir tableaux dans fiche correspondante)
si 42 = a2, cela signifie que a = 2 ; (2)2= 22 2 = 42 si 1 = b2, cela signifie que b = 1 ; (1)2= 1 avec a = 2 et b = 1, j'aurai : 2ab = 2 2 1 = 4 Mon expression correspond bien à l'identité remarquable : a2 + 2ab + b2, avec a = 2 et b = 1 Il ne me reste plus qu'à remplacer les valeurs a et b dans l'expression (a + b )2, qui correspond à la factorisation de a2 + 2ab + b2 : ( 2 + 1 )2 ; ceci est le résultat final de ma factorisation
En effet, dans tous les sujets du brevet des collèges par exemple, vous avez une partie de l'activité numérique où, pour une expression donnée, vous devez à la fois développer et factoriser cette expression (vous trouverez des exemples de ce type d'exercice dans les exercices de cette fiche). Il s'agit de bien remettre à leur place les 2, et donc il est nécessaire de bien en comprendre la différence. Il ne faudrait pas par exemple redévelopper une expression que vous venez de factoriser !! C'est tentant je sais, mais dommage pour le résultat de l'exercice non ????
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