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L'ART DE LA
DEMONSTRATION
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Ah la
démonstration !! Quelle aubaine ! Encore une
tâche bien épineuse pour la plupart d'entre
vous n'est-ce pas ?? Mais vous serez rassurés quand
je vous aurai dit que la démonstration
représente l'étape finale de l'activité
géométrique, comme si elle représentait
la synthèse de tout un travail. Réconfortant
non ?? Je parie que cela vous donne envie d'en savoir
plus.....
Démontrer, c'est par définition,
expliquer au
moyen d'un raisonnement basé sur des preuves que
l'idée qu'on vous soumet est
vraie.
Trois mots importants qui je vais retenir pour la
démonstation en mathématique :
Je ne vais pas me contenter d'apporter des preuves, je dois
les "rédiger" , en justifiant des raisons pour
lesquelles je les ai choisies, et en quoi elles vont dans le
sens de la vérification de l'idéé
avancée : je n'hésiterai donc pas à
user et à abuser, dans mon explication, des types de
phrases comme : " si ..............alors" -
si.........donc......" - "ceci est
vrai..........car.........." etc....
Comme toute explication digne de ce nom, une
démonstration doit être établie à
partie d'éléments fondés, de preuves -
c'est à dire que je dois construire ma
démonstration autour de choses,
éléments, idées que je sais vraies,
existantes, vérifiées, publiées..... :
je n'inventerai jamais rien en démonstation.
Mais où trouver mes
preuves pour la démonstration en mathématiques
? ?
Et bien dans toutes les fiches que je viens
d'étudier, tout simplement : c'est à dire dans
toutes les règles, propriétés,
théorèmes ou formules mises à ma
disposition. En effet, quoi de plus vérifié
(et sûrement déjà
démontré) que toutes les
propriétés que l'on me demande de retenir et
de savoir sur le bout des doigts pour répondre
à un exercice ? Cela veut bien dire tout de
même que tous ces éléments sont
établis, fondés non ?? Elles seront donc ma
source principale de preuves dans chacune de mes
démonstrations, ma mine d'or.
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Expliquer.....que l'idée est
vraie
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Cette partie de la définition est très
importante, car elle implique de ne pas "dépasser" le
rôle de la démontration : en effet, on ne me
donne pas une idée vraie, on me demande de montrer
qu'elle est vraie : je ne dois surtout pas dire "oui" cette
idée est vraie, puisqu'on me le dit.
Inversement, si on me dit de montrer qu'une idée est
vraie, c'est qu'elle l'est forcément : je n'ai pas le
droit de la contester : "je te dis que c'est vrai mais
prouve le" !!
Alors vous commencez à saisir ???
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Le principe fondamental du
raisonnement
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 On me donne un énoncé de
problème :
Je
vais partir du principe que toutes les informations
données vont m'être utiles. En effet,
pourquoi me les donnerait-on dans le cas contraire ?
Inversement, je dois garder à l'esprit que ce sont
ces informations et elles seules qui vont me servir pour
ma démonstration. Si l'on ne m'en donne pas
d'avantage, c'est que je n'en ai pas besoin d'avantage.
Alors pas la peine de chercher ailleurs ou de dire que
c'est impossible : Avec les informations donné,
tout est là et tout est possible. OK ??
Dans la consigne du problème, avant
la démonstration, on me donnera presque tout le
temps (ou on me demandera de construire) une figure
correspondante à l'énoncé
donné. Et alors, que se passera-t-il ?
Je
serai évidemment tentée de construire ma
démonstration ainsi : " cette idée est
vraie...........car je peux le constater sur la figure"
OUÏE, OUÏE, la catastrophe !!! C'est pourtant
tentant, n'est-ce pas ? ET BIEN NON !!Rappelons nous : il
me faut des preuves, des vraies, c'est-à-dire des
éléments fondés,
vérifiés.......Est-ce qu'un dessin est
fondé ? Est-ce que la tour de Pise
s'élève à 90° au dessus du sol
parce que je l'ai dessinée droite ? Et si je
m'étais trompée ?
Non !! la démonstration doit définitivement
être basée sur les informations qu'on me
donne, ou les calculs qu'on me demande de faire, ou
pourquoi pas sur des démonstrations
précédentes (je les ai
démontrées donc je sais qu'elles sont
vraies)
ATTENTION
CEPENDANT
: En revanche, la construction d'une figure peut m'aider
à confirmer l'outil que je vais utiliser pour la
démonstration, dans le cas par exemple où
je reconnaisse une situation typique d'application d'un
théorème, et que l'énoncé
seul ne m'aie pas permis de la reconnaître. Elle
peut aussi me permettre de mieux me rendre compte de ce
que l'on me demande de démontrer : elle sert
à la confirmation et non à la
démonstration....
La 3è étape, va me conduire
à vous donner le cheminement d'une
démonstration : comprenez-le et apprenez-le bien
car il sera toujours le même, pour toutes les
démonstrations que vous aurez à faire dans
votre vie (pourvu que cela ne représente pas un
très grand nombre n'est-ce pas ?)
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1 . On me donne des éléments de
travail dans l'énoncé de mon
exercice
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2. Je vais interpréter chacun des
éléments (ou un groupe
d'éléments) par rapport à
toutes les propriétés, règles
ou théorèmes que je connais.
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3. J'analyse maintenant l'idée qu'on me
demande de démontrer dans la consigne de mon
exercice. Je fais le choix, parmi toutes les
interprétations, ou règles que j'ai
mis en avant, de l'élément qui me
permet d'expliquer cette idée.
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4. Après avoir vérifié que je
possédais bien tous les
éléments pour apporter la "preuve"
ainsi retenue, je rédige ma
démonstration selon la trame suivante
(quelque peu variable d'un exercice à
l'autre tout de même quoi que :
Si 1 élément de mon
énoncé me dit que :
Alors je peux me servir de la
propriété que je connais qui dit que
" J'énoncerai toujours en
toutes lettres la propriété que
j'utilise" DONC
et
grâce à ce que je viens
d'énoncer, je peux dire que l'idée
à démontrer est
vérifiée, établie.
Cette logique impose bien évidemment que je
connaisse le plus grand nombre possible de
propriétés et
théorèmes.
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Cela vous paraît barbare
? Vous allez voir avec un exemple, c'est tout de suite
plus simple.
Enoncé
: Construire un triangle
rectangle en A, avec AC = 6 cm et BC = 12 cm.
Consigne : Montrer que l'angle  mesure 60°.
1. Je construis la figure en y portant bien sûr
toutes les indications données par
l'énoncé.
J'analyse la
situation : Ouïe !
je suis en présence d'un triangle, on me donne la
mesure de 2 de ses côtés et maintenant on me
parle d'angle !! CATASTROPHE !!!
Donc bien sûr, je panique : C'EST LA MAUVAIS
SOLUTION !!!
Je décide donc de reprendre mon calme, et
d'essayer de suivre les étapes de la
démonstration :
1. J''interpréte chacun des éléments
de mon énoncé par rapport à toutes
les propriétés, règles ou
théorèmes que je connais.
Que dis mon énoncé ?
a. Que je suis en
présence d'un triangle rectangle
b. Que deux de ses côtés mesures , mais
cela m'inspire moins : je verrai bien l'utilisation
que j'en fais par la suite.
Par contre le triangle rectangle m'inspire. Mais
m'inspire quoi ?
Je farfouille dans mes
connaissances et je dis :
Bien sûr, j'en
connais encore quelques autres, mais elles concernent
toutes des droites particulières aux triangles, et
je vois bien que rien est mentionné à ce
sujet dans mon énoncé.
2. Une fois les propriétés connues
listées, étape suivante : analyse de
l'idée qu'on me demande de démontrer dans
la consigne de mon exercice et choix, parmi toutes les
interprétations, ou règles que j'ai mis en
avant, de l'élément qui me permet
d'expliquer cette idée.
Je
réfléchis
: on me demande de montrer la mesure d'un
angle du
triangle
Je regarde mes
propriétés listées :
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Un de ses angles est droit (mesure
90°)
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Inutile pour ma
démonstration : la mesure d'un seul angle me
permet-elle de donner la mesure d'un 2è
?
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Ses 2 autres angles sont
complémentaires (la somme de leur mesure =
90°)
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Utile pour ma
démonstration : je suis bien en présence
de mesures d'angles, et cette-fois-ci au moins j'en
ai au moins 2 à comparer
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Les 2 côtés de l'angle
droit sont perpendiculaires
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Inutile pour ma
démonstration : je n'ai que faire de
côtés, je veux des angles
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Théorème de Pythagore :
théorème qui, dans un triangle
rectangle, me permet de trouver la mesure d'un
côté par rapport à la mesure
des 2 autres.
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Inutile pour ma
démonstration : je n'ai que faire de
côtés, je veux des angles
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Trigonométrie : formules qui me
permettent, dans un triangle rectangle, de trouver
la mesure d'un côté par rapport
à un autre côté et à un
angle, ou la mesure d'un angle par rapport à
deux côtés du triangle
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Utile pour ma
démonstration : je suis bien en présence
de mesures d'angles, mais c'est par rapport
à la mesure de 2 côtés du
triangle. Tiens intéressant !! J'avais
justement 2 mesures de côté, dont je
ne savais que faire..... hummm.....
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Après
analyse de l'utilité de mes règles pour ma
démonstration, je remarque que 2 d'entre elles,
peuvent m'être utile :
- Les angles du triangle qui
ne sont pas droits sont complémentaires (la somme
de leur mesure = 90°)
- Formules
trigonométriques : permettent de trouver dans un
triangle rectangle la mesure d'un angle par rapport
à la mesure de 2 de ses côtés.
J'étudie
maintenant la possibilté d'appliquer l'une ou
l'autre d'entre elle par rapport aux
éléments de départ que je
possède :
1ère propriété : angles complémentaires :
Est-ce que je peux trouver la mesure de de cette façon ?
Et bien NON : bien évidemment il me manque la
mesure du 2è angle pour le faire.
2ème
propriété
: Formules trigonométriques :
Est-ce que je peux trouver la mesure de de cette façon ?
Bien sûr que OUI : pourquoi ? Comme je l'ai vu tout
à l'heure, je possède bien la mesure de 2
des côtés du triangle : elles vont donc bien
me permettre de calculer la mesure d'un angle soit
ET VOILA : j'ai trouvé la propriété
qui va me permettre la démonstration : Astucieux
non ??
Je peux maintenant expliquer mon raisonnement avec des
mots :
"Le triangle
ABC est rectangle en A - Je peux donc utiliser les
formules trigonométriques pour calculer la mesure
de l'angle "
Selon la trame d'explication, je viens bien:
1. De donner
l'élément de mon énoncé
qui "me dit que" (le triangle rectangle)
2. De
donner par conséquent
la
propriété que je connais qui dit que "
et grâce à ce que je viens
d'énoncer, je peux vérifier que
l'idée proposée est vraie.
Bien entendu, il me faut effectuer le calcul
trigonométrique pour le vérifier : mais je
peux déjà dire que je suis sur la bonne
voie, puisque tout semble s'accorder avec harmonie.
Tiens d'ailleurs, et parce que j'ai déjà
pas mal travaillé, je vais vous laisser faire le
calcul vous-même : cela vous fera une bonne
révision non ?? Si vous hésitez, vous
pouvez toujours retourner à la fiche sur
le calcul
trigonométrique,
ou encore me contacter.
Une fois le calcul terminé, je dois bien
évidemment terminer ma démonstation par
l'explication de la fin :
"l'angle est donc bien égal à
60°"
Et ma démonstration est terminée : pas
sorcier, non ???
Remarque : comme je vous l'ai dit plus haut, il se
peut certaines fois que ce soit les
éléments démontrés avant qui
servent à la démonstration, ou encore qu'il
faille faire une démonstration préalable,
avant de répondre à la question de la
consigne.
Dans l'énoncé du problème que je
viens de traiter on aurait pu par exemple me donner une
autre configuration de figure :
Soit un triangle ABC et AH une hauteur : on donne AC = 3
cm et AH = 2,6 cm
Montrer que l'angle est égal à 60°
Je fais la figure avec les éléments qu'on
me donne, pour situer les choses :
Quelle est la variante ? Et
bien simplement que non seulement on ne me donne pas plus
d'éléments concernant les angles que dans
l'énoncé précédent, mais
encore moins : on ne me dit même plus que le
triangle est rectangle. Je ne vais donc pas pouvoir
utiliser les formules trigonométriques, car leur
condition d'utilisation est indépendante du
triangle rectangle. Que faire ?
Je réfléchis et regarde mon
énoncé : tiens par contre, on me donne un
nouvel élément :
AH
hauteur
Je vais donc rechercher les interprétations de ce
nouvel éléments par rapport aux
propriétés que je connais :
HAUTEUR =
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Si une droite est hauteur dans un
triangle, alors elle est perpendiculaire
à un côté et passe par le
sommet opposé
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TILT ! Et à moi de
dire si la hauteur AH est hauteur alors elle est
perpendiculaire à BC, elle forme donc avec ce
dernier un angle droit !! Et ainsi je
récupère mon triangle rectangle, donc ma
formule trigonométrique pour la
démonstration de la mesure de ACB.
Je viens de faire une démonstration, obligatoire,
car elle me donne un élément manquant dans
mon énoncé pour la démonstration
initiale : bien sûr on ne me la demandait pas, mais
c'est ma réflexion autour des
éléments de l'énoncé qui m'a
permis de l'établir. Malin non ?
Je fais donc une phrase d'explication de mon raisonnement
:
"Si dans le
triangle ABC, AH est une hauteur alors AH est
perpendiculaire à BC, car dans un triangle, une
hauteur issue d'un des sommets est perpendiculaire au
côté
opposé."
" Si AH
perpendiculaire à BC alors le triangle AHC est
rectangle en H, car droites perpendiculaires forment
un angle droit (90°), angle du triangle retangle
"
Puis de continuer ma
démonstration :
"Le triangle AHC est
rectangle en H - Je peux donc utiliser les formules
trigonométriques pour calculer la mesure de
l'angle ACB "
Et ainsi de
suite.........
ATTENTION : si vous avez bien suivi, vous pourrez
dire que vous n'utiliserez pas la même formule
trigonomérique que dans l'exercice
précédent, n'est-ce pas ?
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Alors cela est-il plus clair
maintenant ?
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Il faut quand même que je reconnaisse que l'art de
la démonstration demande un certain
entraînement : mais rassurez-vous : à force
d'en faire et de voir des figures, vous arriverez
à reconnaître les situations et les
propriétés qui en découlent.
Finalement, les exercices de démonstration
concernent souvent les mêmes
propriétés. Non, ce qui'l faut surtout,
c'esr un certain recule par rapport à toutes les
propriétés géométriques. Et
pour avoir ce recul, bien entendu, il faut en
connaître le plus grand nombre et le plus
précisément possible. Vous voyez que c'est
bien utile tout de même.
Tiens d'ailleurs, ce que vous pouvez faire, c'est de
fouiller dans toutes les fiches de Stefb@se, et de
répertorier dans un tableau toutes les
propriétés rencontrées : je pense
que la liste est assez complète (si j'en ai
oublié certaines d'ailleurs, contactez-moi !). L'idéal serait de les classer
par types de figures, et par types de
propriétés (calcul ou règle de
géométrie). Je vous ferai un classement de
ce type prochainement. Mais si vous le faîtes de
votre côté, envoyez-le moi : j'en serais
ravie .........
En attendant, et parce que je vois déjà que
vous croulez sous le poids des propriétés,
je vous donne un tuyau : un internaute a mis en ligne une
liste assez exhaustive des propriétés
utiles à la démonstration : c'est assez
bien fait, et je pense, que en attendant votre propre
liste, celle-ci peut beaucoup vous aider. En voici
l'adresse :
http://mathocollege.free.fr/dem/demonstration.htm
Et n'oubliez pas de le remercier pour son aide
précieuse ! (n'hésitez pas aussi à
visiter l'intégralité de son site : il est
très bien fait)
Allez courage.........Je suis persuadée qu'avec
tout ça, vous allez rapidement devenir des as de
la démonstration !!
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