CALCUL D'AIRE

L'aire d'une figure géométrique est aussi appelée surface ou superficie. Pour moi, dire que je dois calculer la superficie ou l'aire d'une figure géométrique, revient à mesurer l'espace, c'est à dire la place qu'occupe cette figure géométrique :

Il ne s'agit plus cette fois-ci de la mesure de son contour (périmètre), mais de l'espace que cette figure remplit : je mesure une surface pleine. On confond souvent périmètre et aire, et pourtant il n'y a aucune confusion possible : n'avez-vous jamais entendu parler de la superficie d'un pays, ou d'un terrain ? Et bien pour une figure géométrique c'est la même chose : pas si compliqué finalement !!

L'unité de mesure d'une aire (ou surface - ou superficie) est le mètre carré (m²), et autres mesures de longueur au carré (centimètre carré, kilomètre carré pour les plus courantes) : le carré (exposant 2), rappelle :

• la multiplication de 2 grandeurs pour chacune des surfaces calculées (ou carrément une grandeur au carré)
  
• la conversion des unités de mesure des surfaces de deux en deux
  exemple : 1 mètre carré = 100 décimètres carrés = 10 000 centimètres carrés = 0,01 décamètre carré
  
  Conformément au tableau de conversion ci-dessous :

Equivalences de surfaces qu'il faut connaître :

Car elles sont quelquefois utilisées en énoncés, et sont présentes aussi dans la vie courante, notamment en ce qui concerne la surface d'un terrain :

• L'are : 1 are (noté a) = 1 dam² = 100 m²
• L'hectare : 1 hectare (noté Ha) = 1 hm² = 100 dam² = 10 000m² = 100 ares
   

  ATTENTION : pour être exprimé dans une certaine unité de surface, (exemple le centimètre carré), toutes les mesures prises en compte dans le calcul du périmètre devront être en centimètre. Dans le cas contraire, je serais obligée de convertir toute valeur exprimée dans une autre unité de mesure, avant de commencer mon calcul, conformément au tableau de conversion des unités de longueur (voir fiche le périmètre) :

  
  Règle :

  • Longueur en cm longueur en cm = surface en cm²
  • Longueur en m longueur en m = surface en m²
  • Longueur en mm longueur en mm = surface en mm²

  
  MAIS :

  • Longueur en cm longueur en m = surface impossible à calculer : je suis obligée de convertir l'une des deux valeurs, soit la 1ère en mètre, ou la seconde en cm

Aire des figures géométriques que je connais

Chacune des figures géométriques étudiées possède une formule précise pour le calcul de son aire : je dois bien sûr les apprendre par coeur, mais dois aussi comprendre qu'elles appartiennent à une logique, la comprendre et savoir laquelle :

Aire des quadrilatères

 

Le rectangle
	Longueur largeur soit : AB AC Exemple : on donne AC = 4 cm et AB = 6 cm Aire du rectangle = 4 6 = 24 cm2
Le carré
	Même chose que pour le rectangle, sauf que puisqu'un carré a ses 4 côtés de même longueur, sa largeur est égale à sa longueur (et inversement). Je peux donc dire que : l'aire d'un carré est égale à : (Mesure d'un côté)2 soit : AB2 ou AC2 ou CD2 ou BD2 Exemple : on donne AC = 4 cm Aire du carré = (4 )2 = 16 cm2
Le parallèlogramme
	Je m'aperçois que si je trace une hauteur issue d'un des angles de la base (droite perpendiculaire au côté opposé), je forme un rectangle en rapportant la surface "en trop" d'un côté de l'autre côté. Je peux donc dire que la surface d'un parallèlogramme = surface d'un rectangle avec pour longueur la base du parallèlogramme et pour largeur la hauteur issue de cette base. J'écris : l'aire d'un parallèlogramme est égale à : Base Hauteur soit : CD CO Exemple : on donne CD = 4 cm et CO = 2 cm Aire du parallèlogramme = 4 2 = 8 cm2
Le losange
	Même chose que pour le parallèlogramme : Je m'aperçois que je peux obtenir un rectangle, non plus cette fois-ci avec une hauteur mais avec les diagonales du losange : l'espace "en trop" reforme un losange dont la surface est égale au 1er. Je peux donc dire que la surface d'un losange = surface d'un rectangle avec pour longueur sa 1ere diagonale et pour largeur sa 2ème diagonale. J'écris : l'aire d'un losange est égale à: soit : Exemple : on donne AD = 4 cm et BC = 6 cm Aire du rectangle contenant le losange ABCD = 4 6 = 24 cm2 Aire du losange ABCD = surface du rectangle le contenant = 24 cm2 /2 = 12 cm2
Le trapèze
	Même chose que pour le parallèlogramme ou le losange : Je m'aperçois que je peux former un rectangle : en faisant quoi ? comme pour le parallèlogramme, je dois tracer une hauteur issue d'une des 2 bases : si en plus, j'ajoute à la longueur de la base principale, la longueur de la 2è base, c'est à dire le côté qui lui est parallèle je vois que l'espace "en trop" dans mon rectangle ainsi formé correspond à un trapèze dont la surface est égale au 1er. Je peux donc dire que la surface d'un trapèze = surface d'un rectangle qui a pour longueur la somme des 2 bases du trapèze et pour largeur une hauteur issue de l'une des 2 bases. J'écris : l'aire d'un trapèze est égale à : soit : Exemple : on donne AB = 4 cm et CD = 6 cm et AO = 4 cm Aire du trapèze = (4 + 6)4 = 10 4 = 40 ; 40 ÷ 2 = 20 cm2

Aire des triangles

Tous les triangles ont la même formule de calcul de leur surface :

Pourquoi une telle formule ?

Et bien je vais m'apercevoir simplement que je peux former un rectangle avec tous les triangles : en faisant quoi ? en traçant la hauteur issue de la base du triangle : A chaque fois, la surface "en trop" ainsi formée correspondra toujours à un autre triangle, dont la surface est égale à celle du 1er. Je peux donc dire que la surface de tout triangle e = surface d'un rectangle qui a pour longueur la base du triangle et pour largeur la hauteur issue de cette base. J'écris donc:

Surface d'un triangle =

triangle isocèle	triangle équilatéral	triangle rectangle

Exemple de calcul :
Dans le triangle isocèle ABC on a : CB = 6 cm - La hauteur issue de A mesure 4 cm
Aire du triangle ABC = 4 6 = 24 / 2 ) 12 cm²

ATTENTION : Particularité du triangle rectangle :
Dans un triangle rectangle, un des côtés de l'angle droit est aussi hauteur du 2è côté de l'angle droit : je peux donc me servir de la mesure de ces 2 côtés pour calculer l'aire de mon triangle. En tous les cas, cette particularité m'est bien utile, notamment quand je ne peux calculer ou que l'on ne me donne pas la mesure d'une autre hauteur.

Exemple : on me donne, ou je viens de calculer la mesure des côtés AC et AB de mon triangle rectangle ABC : je peux dire que AC est la hauteur issue du côté AB, que je prendrai alors comme base du triangle.

Si AC = 5 cm et AB = 3 cm, alors l'aire de mon triangle rectangle sera : 5 3 = 15 / 2 = 7,5 cm²

Comme ce dernier, bien évidemment, le disque n'a ni largeur ni longueur, ni hauteur, et bien évidement, je ne peux essayer de le comparer à un rectangle. Comme ce dernier touujours, il aura donc une formule de calcul d'aire bien particulière. Aire du disque =

R2

Explication :

• = nombre Pi : j'ai déjà vu ce nombre à l'occasion du calcul du périmètre d'un cercle. Sa valeur est égale à 3, 141592654.......(touche de la calculatrice)
  
  
• R = rayon du cercle qui forme le disque

  Aire = rayon au carré

 

Exemple sur la figure :On donne OA = 4 cm

OA rayon

Aire du disque = (4)²
= 16
= 50,27 cm²

Le truc pour ne pas confondre la circonférence d'un cercle et l'aire d'un disque:

Je m'aperçois en effet, que les 2 formules sont très proches, se ressemblent beaucoup. Je dois donc me dire que j'ai le choix entre 2 formules : une dans laquelle je multiplie le rayon par 2, et l'autre par l'exposant 2 (au carré) ; je me rappelle alors que le carré (exposant 2), rappelle obligatoirement l'aire.... Et je n'hésite plus.

IMPORTANT : les aires données ci-dessus sont celles des figures les plus fréquemment rencontrées dans les exercices. Par contre, il faut quand même garder à l'esprit que d'autres figures existent : l'ensemble des figures que je peux tracer s'appelle des polygones (signifie "plusieurs côtés"). Et bien sûr, toutes les figures géométriques possèdent une mesure de leur tour (le périmètre) et une mesure de leur surface (l'aire).

Un polygone peut avoir 3 côtés, (les triangles), 4 côtés (les quadrilatères), mais aussi 5 côtés, 6 côtés, 7 côtés, 8 côtés .....Si vous voulez, vous pouvez vous amusez à rechercher les noms de ces figures à plus de quatre côtés. Vous pouvez également réfléchir à la façon de calculer l'aire du polygone ACDEB, figure à 5 côtés appelée.......

Amusant non ?? Si vraiment vous séchez, contactez-moi !!!