Rappelez vous :
une inconnue : c'est un nombre que je ne connais pas ; il
est symbolisé par une lettre ( 
, y, a, b, t
....)
Résoudre
une équation, c'est donc
calculer la valeur de la ou des inconnues
de l'égalité
Et bien dans un
système, la différence avec une
équation simple, c'est qu'il n'y a pas qu'une
seule inconnue, mais au moins 2 ; et il n'y a pas qu'une
seule équation, mais au moins 2
Règle : système =
au moins 2 inconnues = au moins deux équations
à résoudre
Le
système est généralement
présenté en accolades, pour montrer que les
2 équations sont liées, c'est à dire
que les inconnues respectent à la fois les
conditions de la 1ère et de la 2è
équation
Le but du système : comme une équation
simple , le système doit permettre de trouver la
valeur des différentes inconnues : c'est
d'ailleurs pour cela que mon système comporte au
moins deux équations (car je ne peux trouver la
valeur de 2 inconnues qu'avec une seule équation)
: Mais vous allez voir ; vous allez tout de suite mieux
comprendre : voici la méthode de résolution
:
|
Résoudre un
système d'équations
|
Je
reprends mon exemple ci-dessus et réfléchis
:
+ y = 3 - 5
2 + 4 = 3y - 2
Avec une
équation simple, pour trouver la valeur de , qu'aurais-je fait
??
Et bien j'aurais regroupé les termes de même
nature, et isolé , de façon à obtenir = .....
1ère
équation : + y = 3 - 5
+ y = - 2
= - 2 - y
Je ne peux plus rien faire car les termes sont de nature
différente
Je n'obtiens pas une valeur unique de , mais une expression
avec des y
2ème
équation : 2 + 4 = 3y - 2
2 + 4 = 3y - 2 - 4
2 = 3y - 6
= 
Bon, cela se complique : mais de toutes façons, je
n'obtiens pas plus une valeur unique de , mais bien toujours
une expression avec des y !!
Je résume : si résoudre un système
d'équations c'est trouver la valeur des
différentes inconnues : est-ce que j'ai atteint ce
but ici ??
NON : car j'ai réussi à dégager une
valeur de ;
mais sous la forme d'une expression en y ; et du coup,
pour y, je ne m'en suis même pas occupée :
j'aurais très bien pu l'isoler, comme j'ai fait
pour ,
mais qu'aurais-je obtenu ??
Et bien sûrement une valeur de y, sous la forme
d'une expression avec des
Exemple de ma 1ère équation :
+ y = 3 - 5
+ y = - 2
y = - 2 +
Et voilà : je ne peux plus rien calculer, car mes
termes sont de nautre différente, et du
coup.....Je tourne en rond !!
Je me rends bien compte donc, que en résolvant le
système comme de simples équations, je
n'arrive pas à grand chose : il va donc me falloir
trouver une autre solution, car je ne sais en fait
résoudre une équation, que si elle comporte
une seule inconnue.
Alors quelle est la solution ??
Et bien sachez, chers Stef@nautes, que je ne me trompais
guère dans mon raisonnement : je ne sais
effectivement résoudre que des équations
avec une seule inconnue, et il n'existe aucun autre moyen
de résolution d'équations ....
Oui, mais, alors comment faire pour 2 inconnues ??
Et bien, la règle sera de faire en sorte que je ne
me retrouve chaque fois qu'avec une seule
inconnue.....
....Je voudrais bien savoir comment ??
Et bien, en éliminant l'autre, tout
simplement .....
Regardez plutôt :
Lorsque j'ai dégagé mes valeurs de et de y en
résolvant mes équations, j'ai obtenu
respectivement des expressions en y et en n'est-ce pas ??
Et bien, ne serait-ce pas à ce moment là,
l'occasion de me débarasser de l'un ou de l'autre
???
Je reprends mon système :
+ y = 3 - 5
2 + 4 = 3y - 2
Admettons, que, en résolvant ma 1ère
équation, j'ais dégagé :
Comme je l'ai montré + haut, j'ai ainsi obtenu une
valeur de,
sous forme d'une expression avec des y !!
+ y = 3 - 5 =
- 2 - y
Et comme les 2 équations de mon système
sont inter-dépendantes, ne serait-ce pas
l'occasion alors de dire YOUPII !! J'ai obtenu une valeur
de
par rapport à y : je vais ainsi pouvoir l'utiliser
dans ma 2ème équation, et ainsi
écrire :
2 + 4 = 3y - 2 2 (- 2 - y) + 4 = 3y - 2
Et oui : en
remplaçant simplement par son équivalent sous forme d'une
expression avec des y, j'obtiens ainsi une
deuxième équation qui ne comporte plus que
des y : alors, là, je suis contente parce que je
sais faire !!
Je peux alors résoudre cette équation
normalement comme une simple équation à une
inconnue :
2 (- 2 - y) + 4 = 3y - 2 = 2 x (- 2 - y) + 4 = 3y - 2 (car 2 = 2 x )
2 x (- 2 - y) = 2 x (-2) + 2 x (-y) =
- 4 - 2y
- 4
- 2y + 4 = 3y - 2
- 2y - 3y = - 2 + 4 - 4
- 5y = - 2
y = 
Ça y est : j'ai la valeur de ma première
inconnue : ouff !! J'avance dans mon travail :
Ensuite, alors, rien de plus facile pour terminer la
résolution de mon système : et bien oui, il
ne me reste qu'une seule inconnue .....
Regardez plutôt ce qu'est devenu mon système
:
+ =
3 - 5
2 + 4 = 3 () -
2
J'ai tout simplement remplacé y par sa valeur :
mes deux équations devenant alors de simples
équations à une inconnue :
Je les calcule :
+ =
3 - 5
= - 2 -
- 2 = -
= -
-
= - 
J'ai trouvé ainsi la valeur de ma 2è
inconnue :
Puisque les 2 équations du système sont
inter-dépendantes, cela implique que la
résolution de la 2ème équation doit
aussi me donner =
-
Je contrôle que l'équation se vérifie
en remplaçant
:
2 + 4 = 3 () -
2 2 (- ) + 4 doit être
égal à 3 ( ) - 2
Je calcule :
D'un côté :
2 (- ) =
2 x (- ) = - 
- +
4 = - +
=
- 
De l'autre :
3 () =
- 2 = -
-
=
-
2 + 4 est bien
égal à 3y - 2 lorsque = (- )
et y =
J'ai trouvé les 2 valeurs de mes 2 inconnues : mon
système est résolu :
Et voilà : grâce à la substitution de
l'une des 2 inconnue par l'autre, j'arrive à
résoudre mon système
Remarque
: cette
méthode de résolution s'appelle
effectivement la méthode de résolution par
substitution : je la résume :
1/ Je
résous une première équation de
mon système et dégage ainsi une valeur
de
(ou de y) sous la forme d'une expression
respectivement avec des y (ou des )
2/ Cela me permets de remplacer l'une de mes inconnues
par sa valeur en y (ou en ), dans la deuxième
équation, qui ne comportera alors plus qu'une
seule inconnue :
Je pourrais ainsi la résoudre et trouver une
première valeur d'inconnue : y (ou )
3/ Une fois que j'ai dégagé la valeur
d'une première inconnue, il ne me reste alors
plus qu'à la remplacer dans les
équations : celles-ci ne comportera alors plus
qu'une inconnue
(ou y), qu'il me sera alors facile de calculer, par la
résolution de l'une des 2
équations
ATTENTION CEPENDANT :
Cette méthode nous l'avons vu est efficace, mais
peut s'avérer un peu compliquée, notamment
parce qu'elle implique l'écriture d'une inconnue
en fonction de l'autre : je peux alors vite me retrouver
avec des calculs très complexes à faire :
(vous pourrez vous en rendre compte vous-même en
l'utilisant) : aussi, il faut savoir qu'il existe une
autre méthode de
résolution,.....peut-être plus simple
(enfin, en général, les
élèves la préfèrent....je
crois ....!!)
|
Autre
méthode de résolution d'un
système
|
Cette méthode s'appelle la méthode de
résolution par annulation (ou addition) : vous
allez vite comprendre pourquoi :
Elle ne change rien à la constation et
règle faites plus haut :
Je ne sais que résoudre des équations
à une seule inconnue, et il n'existe pas de
technique spécifique pour trouver directement la
valeur de 2 inconnues ;
Cette nouvelle technique n'échappera donc pas
à la règle : faire en sorte que je ne me
retrouve chaque fois qu'avec une seule
inconnue.....grâce à
l'élimination de l'autre....
Cette méthode sera donc nouvelle de par sa
technique d'élimination d'une inconnue : Pas trop
dur jusque là
Comment allons-nous procéder avec cette
méthode de résolution par annulation ??
Et bien encore une fois, cette technique porte bien son
nom : c'est-à-dire qu'elle va cette fois
éliminer une inconnue en l'annulant : tout
bête non ??
Mais alors ?? Je voudrais bien savoir comment on peut
annuler une inconnue ?? Et surtout de quel droit ?? Si je
reprends mon système par exemple ??...
+ y = 3 - 5
2 + 4 = 3y - 2
Je peux au choix supprimer ou y ?? Supprimer veut bien dire annuler
non ?
Non, je ne crois pas que cela ait beaucoup de sens
....
La technique de résolution par annulation fait en
réalité appel à une
propriété de calcul :
Quelqu'un un jour (je ne sais pas qui d'ailleurs ??!!) a
du se dire :
"Ne savons-nous pas que 2 nombres lorsqu'ils sont de
signe contraire, s'annulent ??"
Par exemple 2 et (-2), 3 et (-3) ;
y
et (- y)
etc.....
Tous ces nombres additionnés ensemble, et parce
qu'ils sont de signe contraire, donnent bien 0, donc
s'annulent ??!!
Et alors, on est parti de ce principe pour arriver
à l'élimination d'une des 2 inconnues :
Regardez plutôt :
L'addition des 2 équations ne me mènera
à rien, car je n'ai aucun terme qui s'annule (pas
de nombre de signe contraire)
|
|
+ y = 3 - 5
|
|
+
|
2 + 4 = 3y - 2
|
|
|
3 + y + 4 = 3y - 4
|
J'additionne ensemble les termes à gauche de
l'égalité, et ensemble les termes à
droite
Et si je modifiai l'une des 2 équations (ou les 2)
pour faire en sorte que l'une des 2 inconnue par addition
s'annule ??
Je sais que je peux modifier une équation,
(rappelez-vous le cas où j'ai des fractions), si
et seulement si je modifie tous les termes de
l'équation de la même façon
Comment alors pourrais-je modifier l'une des 2 pour que
l'une des 2 inconnues s'annulent ??
Si je veux par exemple, annuler
Pour que les 2 termes en des 2 équations
s'annulent par addition, il me faudrait 2 même
termes, mais de signe contraire : c'est à dire par
exemple : 2
dans la 2ème équation et (- 2) alors dans la
1ère : ce serais bien car j'obtiendrais alors une
addition du type :
|
|
-2+ y = 3 - 5
|
|
+
|
2 + 4 = 3y - 2
|
|
|
0 + y + 4 = 3y - 4
|
Et ainsi, j'éliminerais l'inconnue
BINGO : c'est donc ce que je vais faire : comment ?? et
bien pour passer de ,
valeur initiale dans ma première équation,
à (-2),
valeur dont j'ai besoin pour l'élimination, je
dois multiplier le terme par (-2)
Conformément à la règle de
transformation d'une équation, je devrai donc
multiplier tous les termes de mon équation par ce
même nombre :
Je note :
|
(x
-2)
|
+ y = 3 - 5
|
-2 - 2y = 4(*)
|
|
|
2 + 4 = 3y - 2
|
|
(*)
Détail du calcul : (-2) x = - 2 ; (-2) x y = - 2y ;
(-2) x (3 - 5) = (-2) x ( - 2) = 4
Et je peux maintenant écrire :
|
|
-2 - 2y = 4
|
|
+
|
2 + 4 = 3y - 2
|
|
=
|
0 - 2y + 4 = 3y - 2 + 4
|
A nouveau, j'additionne ensemble les termes à
gauche de l'égalité, et ensemble les termes
à droite : cette fois-ci je vois que les termes en
ont disparu ; le
résultat de mon addition fait apparaître une
équation avec une seule inconnue, qu'il ne me sera
donc pas difficile de résoudre :
- 2y + 4 = 3y - 2 + 4
- 2y - 3y = - 2 + 4 - 4
- 5y = - 2
y =
Et voilà : j'ai dégagé ainsi et par
cette nouvelle méthode la valeur d'une
première inconnue : ensuite, il ne me reste plus
qu'à la remplacer dans mon système
Attention : je peux cette fois-ci reprendre mon
sytème initial
Regardez plutôt ce qu'est devenu mon système
:
+ =
3 - 5
2 + 4 = 3 () -
2
Et de retomber du coup sur le même système
que plus haut : il ne me restera ensuite plus qu'à
calculer la valeur de la deuxième inconnue (ici
) en résolvant
l'une des 2 équations du sytème, qui sont
devenues de simples équations à une seule
inconnue :
J'ai déjà fait le travail + haut ; de
même que sa vérification :
Je vais juste renoter ici son résultat :
= -
J'ai trouvé et vérifié ainsi la
valeur de ma 2è inconnue :
Mon système d'équations est
résolu
Remarque
sur cette technique :
Je ne sais pas ce que vous aurez pensé de cette
technique de résolution par annulation, ni de sa
simplicité et praticité par rapport
à la technique précédente, mais le
conseil que je peux vous donner et qu'i faut
connaître et comprendre toutes les deux, pour
pouvoir les utiliser l'une ou l'autre : celle qui nous
paraît la plus simple en fonction du système
à résoudre : il peut arriver en effet ,
dans certaines situations de systèmes, que la
méthode par substitution soit plus simple à
utiliser que l'autre, contrairement à ce que l'on
croit.....
Attention aussi : pour cette
méthode par annulation : de bien calculer tous les
termes en ou
en y d'une équation avant de chercher comment
annuler cette inconnue
Attention également : que l'inconnue se trouve
bien du même côté de
l'égalité, pour pouvoir l'annuler par
l'addition
Essayez par exemple, et pour vous familiariser avec
l'importance de ces deux conseils, de résoudre le
système par l'annulation de y : et dites-moi vite
comment, si vous n'avez pas respecté ceci, vous
vous en êtes sorti ?? stefladino@wanadoo.fr
|
Utilisation pratique des
systèmes
|
Vous aurez l'occasion de rencontrer des systèmes
d'équations dans 2 types d'exercices :
1/ Des
exercices où la consigne sera simplement de
résoudre les systèmes : soit par une
méthode que l'on vous impose (substitution ou
annulation) ou par celle de votre choix : vous n'aurez
qu'à reproduire et suivre à la lettre
l'une des méthodes expliquées ci-dessus
: en vérifiant que vous les avez comprises,
bien évidemment !
2/ On pourra aussi vous demander de résoudre
des problèmes grâce à un
système d'équations : c'est le cas
souvent par exemple d'un exercice de brevet des
collèges (voir le sujet d'annales
corrigées N° 1 : rubrique spéciale
brevet/activité numérique/exo N°
4)
Il faut donc
comprendre comment écrire un système
d'équations par rapport à un
énoncé de problème et surtout
comment sa résolution va permettre de
répondre à la question posée par ce
même problème .
C'est ce que
nous allons voir ici :
1/ Dans un premier temps, je vous renverrai à la
fiche sur les équations : nous y avons vu et
expliqué la mise en équation simple d'un
problème : revoyer bien ce principe car il sera le
même pour notre mise en système ici
2/ Comprenons dans un 2è temps les
différences qu'il y aura entre les 2 types de
problèmes :
Mise en
équation = 1 inconnue à extraire de
l'énoncé
Mise en système d'équations = 2 inconnues
à extraire de l'énoncé
C'est
d'ailleurs ce qui fait au départ la
différence fondamentale entre une simple
équation et un système
Autre grande différence :
Mise en
équation = 1 problème à mettre sous
la forme mathématique d'une équation
Mise en système d'équations = 1
problème à mettre sous la forme
mathématique de 2 équations
Nous
l'avons vu également au départ et par le
principe de résolution : la valeur de 2 inconnues
ne peut pas se trouver grâce à une seule
équation : il m'en faut écrire au moins 2,
inter-dépendantes, qui précisent chacune 2
conditions différentes pour mes 2 inconnues
Je retiens donc une ligne directrice pour la mise en
système d'équations d'un problème
:
"Qui dit système, dit 2 inconnues à
dégager, et donc deux équations à
écrire"
Et la
règle inverse :
"Qui dit 2 inconnues à dégager, dit
système d'équations et donc deux
équations à écrire"
Et lorsque l'on ne me parle ni de système, ni de 2
inconnues, quels sont les indices qui me laissent voir
que je vais résoudre le problème par un
système ??
2 questions : 2 valeurs à trouver donc 2 inconnues
: souvenez-vous : l'inconnue dans un problème est
posée par la question de
l'énoncé
ou encore : 2 indices d'énoncé, qui vont
permettre d'écrire deux équations.
D'où système
etc...
Exemple de problème
à résoudre par un système
:
"Elodie possède 13 pièces dan son porte
monnaie. Il y a des pièces de 1 Euro et 2 Euros.
Elle dispose en tout dune somme de 17 Euros. Combien
possède-t-elle de pièces de 1 Euro ?
Combien possède-t-elle de pièces de 2 Euros
? "
Résolution du problème :
Méthode :
1ère étape : J'anlayse les données
:
Ce problème pose deux questions :
1/ Combien de
pièces de 1 Elodie possède-t-elle
?
2/ Combien de pièces de 2 Elodie
possède-t-elle ?
Réaction
: j'ai deux nombres à trouver ; j'aurais donc 2
inconnues
Et qui dit, 2 inconnues, dit :....Résolution du
problème par un système d'équations
!! Et oui, je sais par conséquent que je vais
devoir écrire 2 équations en relation avec
mes inconnues : Mais je vais dans un premier temps, poser
mes inconnues, et indiquer ce qu'elles désignent
:
Soit le nombre de pièces de
1
Soit y le nombre de pièces de 2
2ème
étape : J'ai mes inconnues : j'essaie
maintenant de comprendre mon problème et d'isoler
les éléments qui vont me permettre
d'écrire mon système d'équations
(c'est à dire les éléments qui ont
un rapport avec mes inconnues). Ensuite, j'essaie
d'interpréter les données, et les
retranscrire en écriture mathématique
(c'est à dire en équations)
Qu'est-ce qu'on
me dit ?
a / Que Elodie
possède 13 pièces dans son porte monnaie,
qui sont des pièces de 1 et de 2
Concrètement, cela veut
dire quoi ? Que les 13 pièces du porte monnaie
correspondent au nombre de pièces de 1 + le
nombre de pièces de 2 non ??
Et que si, j'ai appelé le nombre de pièces de 1 et y le
nombre de pièces de 2 , alors les 13
pièces du porte monnaie correspondent à
+ y
Je peux donc écrire :
13
(pièces )= (pièces de 1 ) + y (pièces
de 2 )
DONC :
13 = + y
J'ai la
1ère équation de mon système
b / Je ne peux à ce stade, et avec une seule
équation, trouver la valeur de mes inconnues :
j'ai besoin d'écire une deuxième
équation, qui formera alors un système avec
celle-ci
Je dois donc
trouver dans l'énoncé du problème
d'autres éléments en rapport avec mes 2
inconnues :
On me dit
ensuite que Elodie possède en tout 17 : quel est
le rapport avec mes inconnues, et y , qui correspondent respectivement au
nombre de pièces de 1 et de 2 ??
Et bien 17 , n'est-ce pas ce que l'on lorsque l'on fait
le total de la valeur des pièces de 1 et qu'on
lui ajoute le total de la valeur des pièces de 2
??
Et comment j'obtiens la valeur totale des pièces
de 1 ? en multipliant 1 par le nombre de
pièces
Et comment
j'obtiens la valeur totale des pièces de 2 ? en
multipliant 2 par le nombre de pièces
Et si j'appelle : le
nombre de pièces de 1 et y le nombre de
pièces de 2 , alors :
valeur totale des pièces de 1 =
1 x 1 x
valeur totale des pièces de 1 =
2 x y 2 x y 2y
Et DONC : 17
= (valeur totale des
pièces de 1 ) + 2y (valeur totale des
pièces de 2 )
17 = + 2y
J'ai la
2ère équation de mon système : DONC
: j'ai mon système
Je l'écris :
3ème
étape : J'ai mis mon problème en
système d'équations : il ne me reste plus
qu'à le résoudre
Je vais choisir pour le résoudre la méthode
de résolution par substitution : elle me
parâit plus rapide dans cet exemple :
1/ Je
résous une première équation de mon
système pour dégager une valeur de sous la forme d'une
expression avec des y
13 = + y
= 13 - y
2/ Cela me
permets de remplacer
par sa valeur en y , dans la deuxième
équation, qui ne comportera alors plus qu'une
seule inconnue :
17 = + 2y
17 = (13 - y) + 2y
Je peux ainsi
la résoudre et trouver une première valeur
d'inconnue : y
17 = 13 - y +
2y
17 - 13 = - y + 2y
4 = y
3/ Une fois que
j'ai dégagé la valeur d'une première
inconnue, il ne me reste alors plus qu'à la
remplacer dans les équations : celles-ci ne
comportera alors plus qu'une inconnue qu'il me sera alors
facile de calculer, par la résolution de l'une des
2 équations
Mon
système devient :
13 =
+ 4
17 =
+ 2 x (4)
Si je prends la 1ère équation :
13 =
+ 4
= 13 - 4
= 9
Je
vérifie sa valeur dans la deuxième
équation :
17 = + 2 x (4) ! 17 doit
être égal à + 2 x (4)
+ 2 x (4) = 9 + 8 = 17
Mes valeurs
sont cohérentes et vérifiées :
j'obtiens ainsi la valeur de mes 2 inconnues :
= 9 ; y =
4
La
résolution de mon système est
terminée
Dernière étape du problème : Il ne
me reste plus qu'à restituer le résultat de
mon système dans le contexte de mon
problème : au départ, j'ai choisi pour remplacer le
nombre de pièces de 1 , et y le nombre de
pièces de 2 Par
conséquent, trouver que = 9 et y = 4 signifie que :
Il y a 9 pièces de 1 et 4 pièces de 2
dans le porte-monnaie d'Elodie
J'écris
une phrase en toutes lettres pour répondre
à la question du problème :
"Il y a 9 pièces de 1
et 4 pièces de 2 dans le porte-monnaie
d'Elodie "
J'ai
répondu aux 2 questions de mon problème ;
mon problème est terminé.
NB : je vérifie toujours la cohérence de
mon résultat dans l'autre sens : si il y 9
pièces de 1 et 4 pièces de 2 dans le
porte-monnaie d'Elodie, cela signifie qu'Elodie
possède :
9 + 4 = 13
pièces dans son porte-monnaie
et 9 x 1 + 4 x 2 = 9 + 8 = 17 au total
Mes
données sont vérifiées ; mon
problème a de grandes chances d'être
juste
Et voilà : tout ce qu'il faut savoir sur les
systèmes d'équations : il ne reste plus
qu'à s'entraîner maintenant ....!!
