LE THEOREME DE PYTHAGORE :
SA RECIPROQUE

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J'ai compris le théorème de Pythagore ? Je dois maintenant connaître sa réciproque : que dit la réciproque du Théorème de Pythagore :


La réciproque du théorème de Pythagore


Si dans un triangle on a : BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle est rectangle en A
(BC étant l'hypoténuse)


Cette fois, je pars du théorème de Pythagore pour vérifier qu' un triangle est rectangle

 


J'utiliserai donc la réciproque du théorème de Pythagore, chaque fois que, dans un exercice, on me demandera de montrer qu'un triangle est rectangle

ATTENTION : La condition pour pouvoir appliquer la réciproque du Théorème ? Connaître la mesure des 3 côtés du triangle


Exemple d'exercice utilisant la réciproque du théorème :

ABC est un triangle AB = 3,6cm - AC = 4,8 cm - BC = 6 cm


1. Construire la figure
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A

1ère question : . Je réalise la figure, et porte toutes les indications qui me sont données :


(*) le dessin n'a pas été réalisé aux mesures réelles

 

2è question : Je dois montrer que le triangle ABC est rectangle - Comment faire ?

Bien sûr, je peux le constater par le dessin, mais une constatation n'est pas une démonstration :

1. Une démonstration, se fait toujours grâce aux éléments de l'énoncé, et à des règles ou théorèmes qui s'appliquent sur ces éléments : Tilt ! Je viens justement d'apprendre une règle qui me permet de montrer qu'un triangle est rectangle : la réciproque du théorème de Pythagore.

2. Je sais que, pour pouvoir appliquer la réciproque du théorème de Pythagore, je dois impérativement connaître la mesure des 3 côtés du triangle : je vérifie que tel est le cas dans mon exercice : je possède la mesure de AB - la mesure de AC- la mesure de BC : je suis bien en situation exacte pour appliquer la réciproque du théorème

NB : dans certains exercices, il se peut qu'il manque à l'énoncé une des mesures du triangle concerné : en contre-partie, je dois connaître d'autres éléments qui me permettront de la calculer.

3. J'applique la réciproque:

Méthode :

a/Je la sais par coeur, je l'écris, en prenant soin de l'adapter à mon exercice :

Que dit la réciproque du Théorème de Pythagore ? Si dans un traingle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle

J'imagine l'hypoténuse dans mon exercice ? (côté opposé à l'angle droit ? angle droit : A) réponse : BC

Dans mon exercice, j'explique par quel moyen je vais montrer que le triangle ABC est rectangle, en expliquant la réciproque :

"Selon la réciproque du théorème de Pythagore :

    si : BC2 = AB2+ AC2,

    alors le triangle ABC est rectangle en A (car BC hypothénuse)"
    b/Dès que j'ai adapté la réciproque à mon exercice, je fais les calculs, en remplacment les côtés par leur mesure :
      BC2 = 62 = 36
      AB      2+ AC2 = 3,62 + 4,82 = 12,96 + 23,04 =       36


      BC2 est bien égal à AB2+ AC2       : la réciproque du théorème de Pythagore se vérifie : le triangle ABC est donc rectangle en A

    Au même titre que le théorème, sa réciproque doit être parfaitement maîtrisée, car très utilisée.

 

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