J'ai compris le théorème de
Thalès ? Je dois maintenant connaître sa
réciproque : que dit la réciproque du
Théorème de Thalès ?
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La réciproque du
théorème de Thalès
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On a toujours le
même cas de figure que pour le théorème
:
2 droites sécantes
en un même point
2 points alignés
sur chacune des 2 droites
2 droites
parallèles
La différence
fondamentale avec le théorème : dans un
énoncé d'exercice, on ne me dira pas que les
droites qui joignent les points deux à deux sont
parallèles, mais on me le demandera. Pourquoi ? Parce
que la réciproque du théorème de
Thalès dit que :
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Si  , alors (BE) //
(CF)
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C'est à dire : si il y a égalité
de rapport entre la plus petite mesure sur la plus grande
pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes,
alors les 2 droites qui relient les 4 points respectivement
2 à 2 sont parallèles - Ici (BE) et (CF).
Cette fois, je pars du
théorème de Thalès pour vérifier
que 2 droites sont parallèles
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Je pourrai donc utiliser la réciproque du
théorème de Thalès, chaque
fois que, dans un exercice :
On me donnera une figure en
situation de Thalès
Et on me demandera de montrer que 2 droites sont
parallèles
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Application de la
réciproque
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Exercice type utilisant la
réciproque :
Puisque qu'on ne me dit pas de construire 2 droites
parallèles, on me donne en général un
énoncé avec une figure déjà
construite; on peut aussi me donner un exercice dans lequel,
par la construction d'une figure avec différentes
consignes, je me retrouve finalement en situation de
Thalès
Exemple d'exercice : Soit la figure ci-dessous :
On donne : AC = 5 cm ; AB = 3 cm ; AE = 4,2 cm. et EF = 2,8
cm.
Montrer que les droites BE et CF sont parallèles.
Résolution de l'exercice :
Tiens, il me semble reconnaître une figure en
situation de Thalès :
2 droites sécantes en un
même point
2 points alignés sur chacune des 2 droites
2 droites parallèles
Je vais donc pouvoir appliquer le théorème.
ATTENTION ! Dans mon énoncé, on ne me dit pas
que (BE) et (CF), on me demande de le démonter. En
fait, je le constate sur le dessin tout simplement. Et on a
déjà vu qu'une constatation n'est pas une
démonstration. Je ne suis donc pas en situation
d'application du théorème (en plus, on ne me
demande pas de calculer une mesure d'un des segments, ce
à quoi sert finalement le théorème),
mais on me demande de dire si 2 droites sont
parallèles
Tilt ! Je viens justement d'apprendre une règle qui
me permet de montrer qu'en situation de 2 droites,
sécantes, 2 points alignés sur chacune des 2
droites, et deux droites qui me paraissent
parallèles, les 2 droites sont effectivement ou non
parallèles : c'est : la réciproque du
théorème de Thalès.
Le Réflexe :
Figure en situation de Thalès + démontrer
que 2 droites sont parallèles = ce n'est pas le
théorème de Thalès que je vais
utiliser, mais sa réciproque.
Méthode d'application de la
réciproque :
J'énonce la réciproque que je
connais par coeur :
Si il y a égalité de rapport entre la plus
petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux
segments des 2 droites sécantes, alors les 2 droites
qui relient les 4 points respectivement 2 à 2 sont
parallèles
Je l'applique à ma figure :
Si alors (BE) // (CF)
Je
remplace sur ma figure les valeurs que je connais :
Donc AF = AE + EF = 4,2 + 2,8 = 7 cm
Je remplace maintenant les
égalités de ma réciproque par ces
mêmes valeurs :
; 
Comment vérifier maintenant que ( et donc que (BE) // (CF)) ?
Et bien, je vais à nouveau utiliser la
propriété des produits en croix pour montrer
que 2 fractions sont égales :
Je sais que : Si les produits du numérateur de
chaque fraction à comparer par le dénominateur
de l'autre sont égaux, alors je peux dire que mes
fractions sont égales
Donc pour montrer que je dois vérifier que AB 
AF =
AC AE
Je regarde :
AB AF = 3 7 =
21
AC AE = 5 4,2 =
21
YOUPI !!! Je viens de vérifier que AB AF =
AC AE
DONC : je peux dire que
DONC : je peux dire que (BE) // (CF) non ?? Je viens de le
démontrer par le calcul
J'écris :
(BE) // (CF) car selon la réciproque du
théorème de Thalès :
Si alors (BE) // (CF)
Bien entendu, j'ai pris soin auparavant d'expliquer mes
calculs.
Et voilà ! C'est tout également pour la
réciproque du théorème de Thalès
: un réflexe à adopter : chaque fois qu'on me
présente une figure en situation de Thalès,
qu'on me donne les mesures des segments et qu'on me demande
de montrer que 2 droites sont parallèles, je suis
sûre qu'à tous les coups je devrai me servir de
la réciproque du théorème de
Thalès.
