Annales N° 3 | Activité numérique | Activité géométrique |

 

 Problème

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Sujet



III. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités.

1. Tracer la représentation graphique des fonctions f et g définies par :
   f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 - 3,6 x.

2. Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm2 en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.

3. Soit K le point d'intersection des deux droites obtenues.
     a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K.
     b. En utilisant les résultats obtenus à la question II 2-c :
                   - Que représente l'abscisse du point K ?
                   - Que représente l'ordonnée du point K ?

Oupss !!! On me parle ici de fonctions, de plan, de coordonnées etc....:

Tout de suite alors je révise:


Le repère et les coordonnées de points

Les fonctions


Ensuite, je trace mon repère à l'échelle demandée ..:

Sur l'axe des x (abscisses) = 1 cm = 1 unité
Sur l'axe des
y (ordonnées) = 1 cm = 10 unités

 
On me demande ensuite :

de représenter graphiquement les fonctions :

 
  f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 - 3,6 x.

Tiens, on dirait les équations des aires des triangles LAM et MAC, comme calculé dans le II
Mais oui bien sûr : en fait dans ce III, on me demande la représentation graphique de ces aires :
Après avoir revu la fiche sur le principe de représentation graphique d'une fonction, je sais que :

f(x) = 3,6x siginifie que si un point a telle coordonnée x, alors il aura pour coordonnée y = 3,6x

et de la même façon :
g(
x) = 54 - 3,6x signifie que que si un point a telle coordonnée x, alors il aura pour coordonnée y = 54 - 3,6x


Je vais donc choisir en fonction de cela des coordonnées
x de points :
2 suffisent pour chacune de mes fonctions, pour pouvoir construire leur droite de représentation :
J'essaie de choisir des valeurs pratiques pour ma représentation :

x

0

5

f(x) ou y

0

18

f(
0) : y = 3,6 x
0 ; y = 0
f(5) : y = 3,6 x
5 ; y = 18

x

0

5

g(x) ou y

54

36

g(0) : y = 54 - 3,6 x
0 ; y = 54
g(5) : y = 54 - 3,6 x
5 ; y = 54 - 18 = 36


Je peux donc représenter mes 2 fonctions dans le repère :



Attention : la position des points en raison de l'échelle imposée, n'est pas d'une précision extrême ici; mais elle doit l'être pour vous qui travaillez sur papier millimétré, grâce aux interlignes

2/ On me demande ensuite :

De déterminer graphiquement la valeur de
x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm2 en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.

Je réfléchis : quelle droite représente l'aire du triangle MAC ?? Celle qui représente la fonction g(x) car le triangle MAC a pour formule d'aire : 54 - 3,6x
(cf II.)

Rechercher la valeur de
x pour laquelle l'aire de ce triangle est égale à 36 cm2, reviens à lire sur le graphique la valeur de x, lorsque la droite rencontre y à la valeur 36

En effet, dans nos coordonnées de point
y est bien égal au résultat de 54 - 3,6x , c'est à dire dans le contexte de notre problème à l'aire du triangle non ??
Il me suffit donc de me placer en
y = 36 , et d'arriver jusqu'au tracé de g(x) ; je n'ai alors plus qu'à lire la valeur correspondante à cette intersection sur l'axe des x :


J'arrive donc en
x à la valeur 5 : de toutes façon, c'est logique, car le point de coordonnées (5; 36) m'a servi à construire la droite g(x) : je laisse bien les traits de lecture apparents, comme demandé, et je fais une phrase de réponse :

"Pour une aire du triangle MAC = 36 cm2, j'ai une valeur de x de 5 (cm)"


3/ Enfin on me demande de :

Placer K , point d'intersection de f(
x) et g(x) : je le note sur le dessin :


a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K. : comme tout à l'heure, je regarde à quelle valeur ce point rencontre l'axe des x et celui des y :



sur x : environ 7,5
sur
y : environ 27

Ici encore, et grâce à votre papier millimétré, ce ne doit pas être des "environs" mais des valeurs exactes

Pourquoi ces valeurs ? Et bien tout simplement, parce que, dans le contexte de mon problème, le point K, intersection des 2 droites, représente les valeurs pour lesquelles les 2 triangles auront la même aire :

C'est à dire : une aire de 27 cm
2 ( y = 27)
Pour une valeur de
x (soit mesure du côté LM du triangle) = 7,5 cm

Regardez ce que l'on a écrit dans le
II 2-c

Et c'est d'ailleurs ce que l'on me demande de dire dans la question b :

" En utilisant les résultats obtenus à la question II 2-c :
                   - Que représente l'abscisse du point K ?
                   - Que représente l'ordonnée du point K ? "

Donc je réponds :

"L'abscisse du point K représente la valeur de x pour laquelle les aires des 2 triangles seront égales "

"L'ordonnée du point K représente cette aire "

Et voilà !! Fin de l'épreuve.....

Remarque sur cet exercice :

On trouvera souvent dans la partie problème une question faisant appel aux fonctions : c'est le cas généralement après un exercice où je dois exprimer une valeur par un
x, (style question II de ce problème) : la fonction sera alors la représentation graphique de cette même équation, ce qui est logique ....Ce type d'exercice permet de savoir si l'élève sait faire ou non la relation entre les 2......

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