J'ai besoin de connaître pour cet exercice :

Le repère : placement de points et calculs
 

Je revois les fiches correspondantes :

Les coordonnées de points
Travail avec des coordonnées


1/ Je place mes points dans mon repère selon leurs coordonnées : j'ai bien fait attention de prendre comme mesure : 1 graduation = 1 cm (comme demandé) ; le dessin ne respecte pas cette échelle

 

2/ Je dois calculer les coordonnées de : je le dessine dans mon repère :

J'écris sur mon brouillon la formule de calcul des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées de 2 points :
Pour deux points AB donnés , les coordonnées du vecteur formé par ces points sont égales à : (x_B - x_A ; y _B - y_A)

Je réécris mes coordonnées de points donnés par l'énoncé :

A (2; 1) ; B (5;5)

Il ne me reste plus qu'à remplacer les valeurs dans la formule :
x_B - x_A = 5 - 2 = 3
y _B - y_A = 5 - 1 = 4

DONC : coordonnées du vecteur : (3;4)

Je vérifie sur mon dessin :



 

Pour aller de A vers B :
Je me déplace en x de 3 graduations vers la droite : l'abcisse de mon vecteur est donc bien égale à 3
Je me déplace en y de 4 graduations vers le haut : l'ordonnée de mon vecteur est donc bien égale à 4



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3/ Je calcule maintenant la distance AB :
J'écris sur mon brouillon, la formule de calcul de distance entre deux points dans un repère que je sais par coeur :

AB =

Il ne me reste plus qu'à remplacer les valeurs de A et de B dans la formule par leurs coordonnéees :
A (2 ; 1) ; B (5 ; 5)

AB =
(5 - 2)² = (3)² = 9
(5 - 1)² = (4)² = 16
9 + 16 = 25
25 = 5

AB = 5 cm

Je peux vérifier sur le dessin en mesurant le segment avec ma règle



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4/ Je doit maintenant placer un point D tel que ABCD soit un parallèlogramme : je regarde mon dessin :


Où va se trouver mon point D : si je suis les points dans l'ordre de présentation, mon point D se trouvera quelque part en dessous de mon point A : mais où exactement ??
Je connais une propriété qui dit que :

Je cite : 2 vecteurs égaux : ont les mêmes coordonnées et forment un parallèlogramme (puisque même mesure, et parallèles)

Je regarde mon dessin : pour que ABCD forme un parallèlogramme, il faudra donc que :

soit égal à

ou encore : soit égal à

Et pour qu'ils soient égaux, il faut qu'ils aient les mêmes coordonnées :
J'ai déjà délimité sur le dessin le tracé du vecteur : je vais donc construire le vecteur de la même façon : j'obtiendrai ainsi l'emplacement de mon point D :


J'ai dit : Pour aller de A vers B :
Je me déplace en x de 3 graduations vers la droite : et en y de 4 graduations vers le haut
Je fais de la même façon pour aller de D vers C :



J'ai placé mon point D : je vérifie que le quadrilatère formé par les points ABCD est bien un parallèlogramme :



Mon point D semble placé correctement



5/ Je donne sans justifier les coordonnées du point D
Sans justifier : c'est à dire : je ne dois pas les calculer mais simplement les lire :
Je regarde donc sur le dessin la position du point D :

Il rencontre l'axe des x à la graduation 2 et l'axe des y à la graduation - 2

Le point D aura donc pour coordonnées : x = 2 ; y = - 2

Je note : D (2 ; - 2)

6/ Enfin, on me demande de calculer les coordonnées du point W, qui se doit d'être le centre de symétrie du parallèlogramme ABCD

Dans un parallèlogramme, où se trouve son centre de symétrie ?? Et bien c'est tout simplement le point d'intersection de ses diagonales : regardez plutôt :



Si je place le point W à l'intersection des diagonales du parallèlogramme, j'ai bien :

C image de A par la symétrie de centre W
D image de B par la symétrie de centre W
Et inversement

Le point W est bien alors le centre de syémtrie qui a permis de construire mes 4 points, sommets de mon parallèlogramme ....Encore faut-il que je me souvienne de ce qu'est une symétrie centrale : je revois pour cela la fiche correspondante : les transformations

J'ai placé mon point W : je dois maintenant calculer ses coordonnées (cette fois, ce n'est plus les lire sur le dessin, mais les trouver, grâce à une formule de calcul).

Quelle formule de calcul vais-je utiliser ??

Je regarde ce que je sais calculer dans un repère :

 
• Une distance entre 2 points : cette formule m'impose de connaître les coordonnées des points formant la distance : inapproprié ici
  
• Les coordonnées d'un vecteur : Idem : je dois connaître pour cela les coordonnées des 2 points formés par le vecteur
  
• Les coordonnées du milieu d'un segment : bon, cela ressemble déjà plus au calcul des coordonnées d'un point : mais est-ce que mon point W est milieu d'un segment ??
  MAIS BIEN SÛR QUE OUI !!
  Si je regarde les propriétés de la symétrie centrale dans la fiche, je vois que :
  
  Je cite : Si A' image de A par la symétrie de centre O, alors O est le milieu du segment AA'. Je peux alors appliquer les mêmes propriétés que pour le milieu d'un segment
  

DONC : si par exemple C est l'image de A par la symétrie de centre W, alors W est le milieur du segment AC non ??

Je peux alors ainsi calculer ses coordonnées grâce à la formule de calcul des coordonnées du milieu d'un segment : BINGO !!

Je relève sur mon brouillon, cette formule que je connais par coeur :

Pour un segment AB donné, le milieu I de ce segment aura pour coordonnées :

I (; )

Je l'applique à mon milieu W et mon segment AC :

W []
A (2 ; 1)
C (6 ; 2)

x_w = ; y_w =
= 8 ÷ 2 = 4
= 3 ÷ 2 = 1,5
x_w = 4 ; y_w = 1,5 : j'ai les coordonnées de mon point W

Je note : W (4 ; 1,5)

Je peux le vérifier sur mon dessin :



Pour arriver au point W depuis le centre O du repère :
Je me déplace en x de 4 graduations vers la droite : l'abcisse de mon point est donc bien égale à 4
Je me déplace en y de 1,5 graduations vers le haut : l'ordonnée de mon point est donc bien égale à 1,5

Fin de mon 1er exercice